大学物理教案(第一章质点运动学)

1、第一章 质点运动学物理学是研究物质最普遍、最基本的运动形式的基本规律的一门学科,这些运动形式包括机械运动、分子热运动、电磁运动、原子和原子核运动以及其它微观粒子运动等。机械运动是这些运动中最简单、最常见的运动形式 ,其基本形式有平动和转动。在平动过程中,若物体内各点的位置没有相对变化,那么各点所移动的路径完全相同,可用物体上任一点的运动来代表整个物体的运动,从而可研究物体的位置随时间而改变的情况。在力学中,这部分内容称为质点运动学。11参考系 时间和空间的测量11.1参考系 坐标系一、参考系在自然界中所有的物体都在不停地运动,绝对静止不动的物体是没有的。在观察一个物体的位置及位置的变化时,总要

2、选取其他物体作为标准,选取的标准物不同,对物体运动情况的描述也就不同，这就是运动描述的相对性。为描述物体的运动而选的标准物叫做参考系。不同的参考系对同一物体运动情况的描述是不同的。因此,在讲述物体的运动情况时,必须指明是对什么参考系而言的。参考系的选择是任意的。在讨论地面上物体的运动时,通常选地球作为参考系 。二、坐标系：建立在参照系上的计算系统确定好参照系后，只能定性地描述物体的运动情况，为了定量地描述运动规律，即为了能给出物体运动的数学表达式，则需在参照系中建立坐标系。常用的坐标系是直角坐标系，另外还有极坐标系、球面坐标系和柱面坐标系。1.1.2时间和空间1、时间：时间反映物理事件的先后顺

3、序和持续性。2、空间反映物体位置的变化和物体的大小。1.1.3长度的测量1.2 质点运动的矢量描述1.2.1质点物体都有大小和形状,运动方式又都各不相同。例如,太阳系中,行星除绕自身的轴线自转外, 还绕太阳公转；从枪口射出的子弹,它在空中向前飞行的同时,还绕自身的轴转动；有些双原子分子,除了分子的平动、转动外,分子内各个原子还在振动。这些事实都说明,物体的运动情况是十分复杂的。物体的大小、形状、质量也都是千差万别的。如果我们研究某一物体的运动,可以忽略其大小和形状,或者可以只考虑其平动,那么, 我们就可把物体当作是一个有一定质量的点,这样的点通常叫做质点。质点是经过科学抽象而形成的物理模型。把

4、物体当作质点是有条件的、相对的,而不是无条件的、绝对的,因而对具体情况要作具体分析。例如研究地球绕太阳公转时，由于地球至太阳的平均距离约为地球半径的 104 倍, 故地球上各点相对于太阳的运动可以看作是相同的,所以在研究地球公转时可以把地球当作质点。但是,在研究地球上物体的运动情况时,就不能再把地球当作质点处理了。应当指出, 把物体视为质点这种抽象的研究方法,在实践上和理论上都有重要意义的。当我们所研究的运动物体不能视为质点时,可把整个物体看成是由许多质点组成的,弄清这些质点的运动,可以弄清楚整个物体的运动。所以,研究质点的运动是研究物体运动的基础。1.2.2 位置矢量 运动方程和轨迹方程一位

5、置矢量描述质点在空间所处位置的矢量称为位置矢量，一般为坐标系的原点指向质点所在位置的矢量，位置矢量也称为位矢或矢径。在如右图所示的直角坐标系中，在时间，质点在坐标系里的位置可用位置矢量来表示。位置矢量简称位矢，它是一个有向线段，其始端位于坐标系的原点，末端则与质点在时刻的位置重合。从图中可以看出，位矢在ox轴、oy轴和oz轴上的投影(即质点的坐标)分别为、和。所以，质点在直角坐标系中的位置，既可以用位矢来表示，也可以用坐标、和来表示。那么位矢亦可写成其值为位矢的方向余弦由下式确定二、运动方程当质点运动时，它相对坐标原点的位矢是随时间而变化的。因此，是时间的函数，即上式叫做质点的运动方程；而、和

6、则是运动方程的分量式，从中消去参数便得到了质点运动的轨迹方程, 所以它们也是轨迹的参数方程。应当指出, 运动学的重要任务之一就是找出各种具体运动所遵循的运动方程。1.2.3速度和加速度一、位移在如图平面直角坐标系中，有一质点沿曲线从时刻的点运动到时刻的点，质点相对原点的位矢由变化到。显然，在时间间隔内，位矢的长度和方向都发生了变化。我们将由起始点指向终点的有向线段称为点到点的位移矢量，简称位移。位移反映了质点位矢的变化。如把写作，则质点从点到点的位移为 亦可写成 上式表明，当质点在平面上运动时，它的位移等于在轴和轴上的位移矢量和。若质点在三维空间运动，则在直角坐标系Oxyz中其位移为 应当注意

7、,位移是描述质点位置变化的物理量, 它只表示位置变化的实际效果,并非质点所经历的路程。如在上图中,曲线所示的路径是质点实际运动的轨迹,轨迹的长度为质点所经历的路程, 而位移则是。当质点经一闭合路径回到原来的起始位置时,其位移为零,而路程则不为零。所以,质点的位移和路程是两个完全不同的概念。只有在t 取得很小的极限情况下,位移的大小|才可视为与路程 AB 没有区别。二、速度在力学中,若仅知道质点在某时刻的位矢,而不能同时知道该质点是静还是动,是动又动到什么程度,就不能确定质点的运动状态。所以，还应引入一物理量来描述位置矢量随时间的变化程度，这就是速度。1、平均速度和平均速率如图所示，一个质点在平

8、面上沿轨迹曲线运动。在时刻，它处于点，其位矢为。在时刻，它处于点，其位矢为。在时间内，质点的位移为。在时间间隔内的平均速度为平均速度可写成 其中 是平均速度在轴和轴上的分量。 说明：与时间间隔相对应。平均速率：2、 瞬时速度和瞬时速率当时，平均速度的极限值叫做瞬时速度(简称速度)，用表示，有 结论：质点的速度等于位矢对时间的一阶导数。或 其中是速度在Ox轴和Oy轴上的分量，又称为速度分量。显然，如以分别表示速度在轴和上的分速度(注意:它们是分矢量!)，那么有上式亦可以写成 速度的方向与时的极限方向一致。当时，趋于和轨道相切，即与点的切线重合。所以当质点作曲线运动时，质点在某一点的速度方向就是沿

9、该点曲线的切线方向。 只有当质点的位矢和速度同时被确定时，其运动状态才被确知。所以位矢和速度是描述质点运动状态的两个物理量。这两个物理量可以从运动方程求出，所以知道了运动方程可以确定质点在任意时刻的运动状态。因此，概括说来，运动学问题有两类:一是由已知运动方程求解运动状态；另一是由已知运动状态求解运动方程。 瞬时速率：例： 设质点的运动方程为其中，求时的速度。 (2)作出质点的运动轨迹图。解 这是已知运动方程求运动状态的一类运动学问题，可以通过求导数的方法求出。(1)由题意可得速度分量分别为故时的速度分量为于是时，质点的速度为速度的值为，速度与之间的夹角为(2)由已知运动方程消去可得轨迹方程并

10、可作如图所示的质点运动轨迹图 三、加速度上面已经指出，作为描述质点状态的一个物理量，速度是一个矢量，所以，无论是速度的数值发生改变，还是其方向发生改变，都表示速度发生了变化。为衡量速度的变化，我们将从曲线运动出发引出加速度的概念。1、平均加速度如图所示，设在时刻，质点位于点，其速度为，在时刻，质点位于点，其速度为，则在时间间隔内，质点的速度增量为，它在单位时间内的速度增量即平均加速度为 2、瞬时加速度 当时，平均加速度的极限值叫做瞬时加速度，用表示，有，的方向是时的极限方向，而的数值是的极限值。 应当注意，加速度既反映了速度方向的变化，也反映了速度数值的变化。所以质点作曲线运动时，任一时刻质点

11、的加速度方向并不与速度方向相同，即加速度方向不沿着曲线的切线方向。在曲线运动中，加速度的方向指向曲线的凹侧。加速度公式可以写成即 其中 例 有一个球体在某液体中垂直下落，球体的初速度为，它在液体中的加速度为。问:(1)任一时刻的球体的速度。(2)时刻球体经历的路程有多长？解：由题意知，球体作变速直线运动，加速度的方向与球体的速度的方向相反，由加速度的定义，有得有上式表明，球体的速率随时间的增长而减小。又由速度的定义，有得 四、 运动学的基本问题运动学的问题一般分为两大类 :第一类问题是已知质点的位置矢量 r=r(t),而求质点的速度和加速度,这类问题可以通过矢径对时间的逐级微商得到。例 如图2

12、-13,长为l的细棒,在竖直平面内沿墙角下滑,上端A下滑速度为匀速v。当下端B离墙角距离为x (xl)时, B端水平速度和加速度多大?解：建立如图所示的坐标系 设A端离地高度为y方程两边对t求导 图2-13 加速度:例 质点作半径为R的圆周运动，其速率 ,求：质点任意时刻的加速度 ？解： 第二类问题是已知质点的加速度或速度,而反过来求质点的速度、位置及运动方程。第二类问题则是通过对加速度或速度积分而得到结果, 积分常数要由问题给定的初始条件,如初始位置和初始速度来决定。例1-5. 设某一质点以初速度作直线运动,其加速度为 . 问：质点在停止前运动的路程有多长？解：质点作直线运动1.2.4 自然

13、坐标系 圆周运动一、自然坐标系在右图中，BAC为质点轨迹，时刻质点P位于A点，、分别为A点切向及法向的单位矢量，以A为原点，切向和法向为坐标轴，由此构成的参照系为自然坐标系（可推广到三维）二、圆周运动的切向加速度及法向加速度1、切向加速度如图，质点做半径为的圆周运动，时刻，质点速度 （1）上式中，为速率。加速度为 （2）上式中，第一项是由质点运动速率变化引起的，方向与共线，称该项为切向加速度，记为 （3）其中， （4）为加速度的切向分量。结论：切向加速度分量等于速率对时间的一阶导数 。 2、法向加速度式2中，第二项是由质点运动方向改变引起的。如图，质点由A点运动到B点，有因为，所以、夹角为。当

14、时，有。因为，所以由A点指向圆心O，可有式2中第二项为：该项为矢量，其方向沿半径指向圆心。称此项为法向加速度，记为 大小为 ， 是加速度的法向分量。结论：法向加速度分量等于速率平方除以曲率半径 。3、总加速度 大小： （2-8）方向：与夹角满足1.43 相对运动质点的运动轨迹依赖于观察者( 即参考系 )的例子是很多的。例如一个人站在作匀速直线运动的车上,竖直向上抛出一块石子,车上的观察者看到石子竖直上升并竖直下落。但是,站在地面上的另一人却看到石子的运动轨迹为一抛物线。从这个例子可以看出,石子的运动情况依赖于参考系。在描述物体的运动时，总是相对选定的参考系而言的。通常，我们选地面（或相对于地面静止的物体作为参考系,但是有时为了方便起见，往往也改选相对于地面运动的物体作为参考系。由于参考系的变换，就要考虑物体相对于不同参考系的运动及其相互关系，这就是相对运动问题。如图所示，先选定一个基本参考系K（地面 ），如果另一个参考系（车）相对于基本参考系K在运动，则称为运动参考系K。设一运动物体（球）P在某一时刻相对于参考系K和K 的位置，可分别用位矢和表