正弦曲线拟合若干问题探讨

1、，第 29 卷 第 14 期计算机工程与设计Computer Engineering and Design2008 年 7 月July 2008Vol . 2 9No . 1 4正弦曲线拟合若干问题探讨齐国清 1， 吕健 2(1. 大连海事大学 信息工程学院，辽宁 大连 116024；2. 大连海事大学 航海学院，辽宁 大连 116024)摘 要：研究了测量噪声较小情况下正弦曲线的最小二乘多项式拟合误差与拟合阶数的关系，分别采用均方误差和误差平 方和分析了测量噪声以及测量数据有效位数对拟合误差的影响，对多周期正弦曲线拟合以及正弦曲线的外推存在的问题进 行了探讨，指出了正弦曲线的最小二乘多项式拟

2、合方法的局限性。最后，提出了一种基于傅利叶变换的频率已知正弦曲线 拟合方法, 仿真结果表明其性能优于最小二乘多项式拟合方法。关键词：曲线拟合; 最小二乘拟合; 正弦曲线; 误差分析; 傅利叶变换中图法分类号：TP311.11文献标识码：A文章编号：1000-7024 (2008) 14-3677-04Investigation of sine wave fitting algorithms. .QI Guo-qing1,LU Jian2(1. College of Information Engineering, Dalian Maritime University, Dalian 11602

3、4, China;2. College of Navigation, Dalian Maritime University, Dalian 116024, China)Abstract：The relation between the order of the polynomials and fitting error of LS sine-wave fitting algorithm is discussed. The effects of measurement noise and the significant digits of the measured data on fitting

4、 error are also studied in terms of mean square error and sum of squared error. Problems encountered in fitting multi-cycle sine wave and extrapolation of sine-wave are investigated. The limitations of applying LS fitting to sine-wave fitting are pointed out. Finally, a simple fitting algorithm base

5、d on Fourier transform for sine wave withknown frequency is proposed. Simulation results show that the performance of the proposed method is better than LS polynomial fitting.Key words：curve fitting; LS fitting; sine wave; error analysis;Fourier transform多于所需要的最小数目。前者只是一般建立和求解方程的过0引言程，得到解析表达式 =的目的仅仅

6、是为了得到不在采样根据有限的离散测量点进行曲线拟合是工程实践中经常遇到的问题。设变量 与自变量 ( 通常为时间) 之间的关系点上的 所对应的 值，没有滤除测量噪声的作用，也不涉及最小二乘法或其它优化准则；只有后者(当测量数据多于拟合所 选定的曲线的阶数所需要的最小数目时) 才涉及最小二乘曲 线拟合问题。而对于第 3 种情况，即采样数据的平滑处理，为 了有效地滤除测量噪声一般采样数据个数远远超过拟合曲线 的阶数，通常采用最小二乘法(或其它优化准则)。可以用 =来表示，实际当中一般无法直接得到该解析表达式，通常只能通过测量获得自变量 离散采样点 对应的函数值 ，而且测量值一般都不同程度的带有测量噪

7、声。曲线拟合的目的就是根据有限的测量值( , )得到解析表达式=(或者是表达式中的参数)，或者得到最小二乘法的思想是寻找合适的函数之间的误差平方和使其与测量值的多项式近似表达式。根据获得解析表达式的目的不同曲线拟合通常分以下几种情况：插值：为了根据离散的测量数据获得位于 离散采样点 之间的任意点的 值；或者由于某种原因致使测量过程中 的 取值不准确(不均匀)，根据拟合曲线经过插值获得所需要的 点对应的 值；外推：利用测量的某一范围的 对应的 值， 根据拟合曲线获得测量范围之外的 对应的 值；滤波 (平 滑)：通过曲线拟合减小测量噪声的影响，获得离散采样点 对 应的 的更精确的值。上述第 1 和

8、第 2 种情况，拟合过程中所 利用的测量数据个数可以正好满足拟合所选定的曲线的阶数 所需要的最小数目，如利用 3 个测量值拟合二次曲线，也可以(1)2 =2= 0达到最小1。当信号模型为正弦函数时(考虑到初始相位可以任意，在信处理中通常余弦和正弦统称为正弦)，即= sin2 是和 的高度非线性函数，无法求出使 2 最小的闭+合解，通常只能通过搜索或迭代最小化法1，如三参数法2-3 和四参数3-5。搜索迭代法虽然精度较高，但当未知参数较多时，速度较慢。当的准确表示式未知或直接拟合困难时，也可以采用多项式拟合方法。即在一定范围之内用一个 阶多项收稿日期：2007-08-07E-mail：qgq作者

9、简介：齐国清 (1960)， 男， 辽宁凌海人，博士，教授，研究方向为雷达、通信及图像信号处理； 吕健 (1957)，男，北京人，副教授，研究方向为电子海图及船舶导航雷达。：，-式来近似，并将带入式(1)求出使 2 达到最=1.510.50-0.5-1-1.51.510.50-0.5-1-1.5= 0小的多项式系数= 0。此时问题的求解过程简化为求解线性方程组，复杂程度远远低于直接用正弦函数拟合。最小二乘法多项式拟合是一种常用的方法，当测量误差可以用高 斯白噪声来表示时，最小二乘准则与最大似然准则等价7。文 献6对最小二乘法多项式拟合应用于正弦曲线的拟和进行了 研究。本文对最小二乘法正弦曲线拟

10、合中的一些问题进行研 究和分析。02460246(a) 3 次拟合(b) 5 次拟合1.510.50-0.5-1-1.51.510.50-0.5-1-1.51无测量噪声情况下拟合多项式阶数对误差的影响02460246文献 6 中给出了正弦曲线 19 阶多项式拟合系数，其中9 阶拟合系数是错误的，对应的拟合曲线和拟合误差都是错误 的，并由此得出了(无测量噪声条件下，正弦曲线)拟合多项式 阶数越高拟合效果不一定越好的错误结论。按照文献6中给 出的原始数据计算出的 9 次拟合系数为：a0 = 0.000 000 56，a1 =0.999 88，a2 = 0.001 121 9，a3 = -0.169

11、 729 6，a4 = 0.004 017 2，a5 =0.005 361 59，a6 = 0.001 331 4，a7 = -0.000 566 5，a8 = 0.000 060 4，a9 = -0.000 002 14。拟合结果如图 1 所示。另外，文献6中的7 次拟合系数略有误差，因此造成拟合效果较差。可见高阶拟 合要求系数精度非常高。表 1 给出了文献6中的数据对应的311 次拟合的误差平方和( 2)。(c) 7 次拟合(d) 9 次拟合* 测量值；理想正弦曲线；拟合曲线图 2 加噪声时拟合结果 (= 0.1 )正弦曲线。为了定量描述拟合曲线与理想正弦曲线 (真值曲线)的偏离程度，定义

12、拟合曲线与真值曲线之间的误差平方和 2(2)2 =2= 0式中 拟合曲线上的点 不含有噪声测量值(真值)。表 2 列出的是加入 = 0.01高斯白噪声时拟合误差的 1000 次平均结果，其中 2 为拟合曲线与测量值(包括测量噪声)的误差平 方和 2 为拟合曲线与正弦曲线真值的误差平方和( 2 的多次平1.510.50-0.5-1-1.5均值相当于均方误差)。可见在有噪声的情况下，尽管正弦曲线拟合的误差平方和随拟合阶数的增加而减小，但阶数过高 时拟合曲线的均方误差反而增加( 当然，实际当中由于并不知 道正弦曲线的真值 ，因此并不能利用 2 判断拟合效果)。在表2 给定的条件下 7 次拟合效果最好

13、。01234567o 测量值图 1 正弦曲线 9 次拟合结果表 2 有噪声情况下的拟合误差( = 0.01，1000 次平均)表 1 利用文献 6 数据的拟合误差测量数据的有效位数同样会影响拟合精度，表 3 分别列出了对文献 6 的测量数据只保留小数点后 3 位以及增加到 5 位的拟合误差。可见 7 阶以下拟合精度受测量数据有效位数 影响不大，测量数据有效位数较少时，拟合阶数太高没有意义。可见，在不考虑测量噪声(或测量噪声很小) 的情况下，对于正弦曲线的拟合多项式的阶数越高，拟合误差平方和 2越小。 并不存在文献6所得到的阶数高了拟合效果反而不好的情况。表 3 测量数据有效位数对拟合误差的影响

14、2有测量噪声情况下拟合多项式阶数对误差的影响一般来说，拟合误差平方和 2 随拟合多项式阶数的提高而减小。但应当注意最小二乘法的核心思想是拟合多项式阶数 不变的情况下寻找使得 2 达到最小的多项式系数。在给定多 项式阶数并且没有关于测量噪声的任何先验知识的前提下， 可以认为 2 越小拟合效果越好。但多项式阶数不同的情况下，2 小不等于拟合效果就一定好。在有测量噪声存在的情况下， 多项式阶数越高滤除噪声的性能越差。图 2 为在文献6所用 原始数据中加入 = 0.1高斯白噪声时的拟合结果，可见有噪声 的情况下，随着拟合阶数的增加，拟合曲线越来越明显的偏离3正弦曲线拟合的外推误差根据拟合曲线进行内插一

15、般不会带来太大的误差，但是 外推的情况要复杂得多。如果是对直线或二次曲线进行拟合， 小范围的外推可以得到满意的结果。但对于正弦曲线根据拟 合多项式进行外推效果较差。图 3 是根据文献6中所用的一 个周期 17 个点的测量数据分别进行 5、7、9 和 11 阶拟合然后 根据拟合曲线外推 6 点的仿真结果。可见即使 11 阶拟合外推-拟合次数3579112(3 位有效数)0.10594.30e-045.45e-073.12e-071.89e-072(5 位有效数)0.10594.30e-044.23e-076.66e-113.29e-11拟合次数35791120.10604.3e-044.03e-

16、072.39e-091.43e-09拟合次数35791120.10730.00158.96e-047.07e-045.12e-0420.10640.00118.25e-040.00100.0013-/-：，：利用参数估计方法计算出正弦信号的频率、幅度及相位等参数，从而获得其表达式。在一些应用当中，正弦信号的频率是 已知的，只有幅度和初始相位是未知的。针对这种频率已知 的正弦波形可以采用下面基于傅利叶变换的拟合方法 (FT 拟 合)。设正弦信号可以表示为221100-1-1-2-2(3)= sin0 +，0< 0246802468(a) 5 次拟合(b) 7 次拟合的傅利叶变换为(只考虑频

17、率正半轴)式中0 已知=在22sin/2=0 处的值0/2+ 0 /2(4)110=00(5)-1-10 =/22-2-2于是可根据0 分别得到幅度和相位的估计值0246802468= 2= 2(c) 9 次拟合(d) 11 次拟合(6)0表示外推值(7)0 可0图 3正弦曲线外推结果式中0 0 在0 处的相角。在实际当中=到第 6 点已经出现明显偏差。以用数值方法计算4多周期正弦曲线的拟合(8)0 =0= 1将幅度和相位的估计值带入原表达式，得到拟合正弦曲线对于单个周期的正弦波形用 5 阶或者 7 阶多项式拟合误差已经很小。但是对于多个周期的正弦波形则需要用较高阶 数来拟合。图 4 所示的两

18、个周期的正弦波形至少需要 9 阶多 项式来拟合。从表 4 所列的 2 个周期正弦曲线拟合误差可见 多周期正弦曲线拟合的误差明显高于(相同阶数) 的单周期正 弦曲线情况 (即使排除波形周期数增加带来的测量点数增加 对 2 的影响)。仿真结果表明随着正弦波的周期数的进一步增 加，拟合误差迅速增加。因此实际当中多项式拟合方法不适 合多周期的正弦波形的拟合。= sin0 +(9)表 5 列出的为正弦信号频率已知，A = 1，加 = 0.1 的测量噪声时，利用 FT 拟合的结果和多项式拟和的 2 对比。 = 0.01时 FT 拟合 2 = 2.35e-04(同条件下多项式拟和结果见表 2)。可见噪声背景

19、中基于 FT 的拟和方法精度优于多项式拟合。表 5 频率已知利用 FT 拟合与多项式拟合误差对比(= 0.1，单周期 17 点，1000 次平均结果)1.510.50-0.5-1-1.51.510.50-0.5-1-1.5在频率已知情况下利用 FT 拟合正弦曲线，不仅算法简单、拟合精度高，而且外推精度远远高于多项式拟合方法。 在测量过程中不仅存在高斯分布的白噪声，有时还存在脉冲干扰。与多项式拟合相比，FT 拟合抗脉冲噪声的能力更 强。图 5 所示为在第 5 个测量点出现一个较大的噪声时，FT 拟合和多项式拟合 (7 阶) 结果，表 6 所示为 FT 拟合与多项式 拟合 (311 阶) 受脉冲干

20、扰引起的误差对比结果，可见多项式 拟合受影响较大。05(b) 5 次拟合1005(a) 3 次拟合101.510.50-0.5-1-1.51.510.50-0.5-1-1.505(c) 7 次拟合1005(d) 9 次拟合101100图 4 两个周期正弦波的拟合结果 (无测量噪声)-1-10 12 3 4 5 (a) FT 拟合6 70 1 2 3 4 56 7 (b) 7 阶多项式拟合表 4 2 个周期正弦曲线拟合误差图 5 脉冲噪声对拟和效果的影响5频率已知正弦曲线的拟合表 6脉冲干扰引起 FT 拟合与多项式拟合偏差对比对于正弦曲线的拟合，除了上面讨论的最小二乘多项式拟合方法外，常用的方法

21、还有基于参数估计的拟合方法。即-<<-<<<-FT 拟合3 次拟合5 次拟合7 次拟合9 次拟合11 次拟合20.020.13630.03840.05880.07690.0879拟合次数357911215.47622.26030.07438.27e-043.91e-06-FT 拟合3 次拟合5 次拟合7 次拟合9 次拟合11 次拟合20.020.14480.05910.07920.09870.1119-基于 FT 的拟合方法在频率较低( 即测量数据包含的正弦波周期数较少时)时应尽量采用整数个周期的测量值，否则正 弦信号傅利叶变换的负频率成分的频谱泄漏对幅度和相位的

22、 估计精度影响较大。的多项式系数计算误差所引起，因为高阶多项式对系数误差非常敏感。7结束语最小二乘多项式曲线拟合是一种常用的曲线拟合方法。 这种方法用于正弦曲线拟合时具有一定的局限性。对于一个 周期的正弦曲线拟合，采用最小二乘多项式曲线拟合可以取 得满意的效果，在测量精度较高情况下，可以采用 7 阶或 9 阶 拟合，达到较高的拟合精度。测量数据有效位数对高阶拟合 的效果影响较大，测量数据有效位数较少时，拟合阶数不宜太 高。在有测量噪声存在的情况下，拟合误差平方和 2 不能完全 反映拟合效果，均方误差能更好地反映拟合曲线与理想曲线 的偏差情况。有较明显测量噪声时，不宜采用 9 阶以上多项 式拟合

23、，否则不但增加计算量，而且造成拟合均方误差上升、 曲线平滑程度下降。采用最小二乘多项式拟合正弦曲线的外 推精度较差，不宜作多点外推。对于多周期的正弦曲线需要 较高阶数的多项式进行拟合，例如 2 个周期的正弦波至少需 要 11 阶多项式，才能取得较好的拟合效果。对于非正弦曲线， 根据曲线的具体类型不同，拟合多项式的阶数越高不一定性 能越好。在实际当中经常遇到频率已知的正弦曲线的拟合问 题。针对这种特定条件可以利用傅利叶变换估计其幅度和相 位实现曲线拟合，这种方法不但算法简单、易于实现，而且精 度高、适应性强。6非正弦曲线拟合阶次的影响以上讨论的都是正弦曲线的拟合情况。根据上面分析，对于正弦曲线，

24、在不考虑测量噪声和计算误差的情况下，拟合 多项式的阶数越高，拟合曲线与实际测量值越接近。但如果 测量曲线本身并不是正弦曲线，而是一个多项式曲线，则如文 献 8 所验证的，并非拟合多项式的阶数越高越好。以下面 5 次曲线为例110005= +332768根据 从 0 到 20，按上式计算的 值进行 39 阶多项式拟合。拟合多项式系数及拟合误差如表 7 所示，图 6 为 5 阶拟合 结果，11 次拟合的误差为 1.6226e-013。可见 5 次拟合效果最 好。由于曲线本身为 5 阶多项式，当用高于 5 阶的多项式拟 合时，高于 5 阶的系数并不为零，因此造成拟合误差增加。100-10-20-30

25、-40-50-60-70参考文献:051015201Steven M Kay. 统计信号处理基础-估计与检测理论M. 罗鹏飞,译.北京:电子工业出版社,2003:182-225.IEEE Std 1057-1994, IEEE Standard for digitizing waveform re- cordersS.IEEE Standards Board,1994.Peter Handel.Properties of the IEEE-STD-1057 four-parameter sine wave fit algorithmJ.IEEE Transactions on Instrume

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