初三数学内部讲义寒假

1、燕园文博初三数学内部讲义·寒假2012此讲义只给冲刺名校实验班的学生！陆老师研究生学历，国家级示范学校教师，新西兰“友善用脑”、德国“卡片教学法”推广组成员；“初中数学不管三七二十一思维法”、“初中数学三十六技”创始人。曾参与教材编写，在国家级期刊发表论文多篇；2011年6月，获全国教师教学能力三等奖。影响初三学生一生命运的五句话第一句话是：优秀是一种习惯。这句话是古希腊哲学家亚里士多德说的。如果说优秀是一种习惯，那么懒惰也是一种习惯。人出生的时候，除了脾气会因为天性而有所不同，其他的东西基本都是后天形成的，是家庭影响和教育的结果。所以，我们的一言一行都是日积月累养成的习惯。我们有的

2、人形成了很好的习惯，有的人形成了很坏的习惯。所以我们从现在起就要把优秀变成一种习惯，使我们的优秀行为习以为常，变成我们的第二天性。让我们习惯性地去创造性思考，习惯性地去认真做事情，习惯性地对别人友好，习惯性地欣赏大自然。注解：要会“装”，要持续的、不间断的“装”，装久了就成了真的了，就成了习惯了，比如准时到会，每次都按时到会，你装装看，你装30年看看，装的时间长了就形成了习惯。第二句话是：生命是一种过程。事情的结果尽管重要，但是做事情的过程更加重要，因为结果好了我们会更加快乐，但过程使我们的生命充实。人的生命最后的结果一定是死亡，我们不能因此说我们的生命没有意义。世界上很少有永恒。体验也是丰富

3、你生命的一个过程。注解：生命本身其实是没有任何意义的，只是你自己赋予你的生命一种你希望实现的意义，因此享受生命的过程就是一种意义所在。 第三句话是：两点之间最短的距离并不一定是直线。在人与人的关系以及做事情的过程中，我们很难直截了当就把事情做好。我们有时需要等待，有时需要合作，有时需要技巧。我们做事情会碰到很多困难和障碍，有时候我们并不一定要硬挺、硬冲，我们可以选择有困难绕过去，有障碍绕过去，也许这样做事情更加顺利。大家想一想，我们和别人说话还得想想哪句话更好听呢。尤其在中国这个比较复杂的社会中，大家要学会想办法谅解别人，要让人觉得你这个人很成熟，很不错，你才能把事情做成。注解：如果你在考数学

4、试题，一定要答两点之间直线段最短，如果你在走路，从A到B，明明可以直接过去，但所有人都不走，你最好别走，因为有陷阱。在人际交往上，直线性思维在很多地方要碰壁，这是中国特色的中国处事方式。第四句话是：只有知道如何停止的人才知道如何加快速度。我在滑雪的时候，最大的体会就是停不下来。我刚开始学滑雪时没有请教练，看着别人滑雪，觉得很容易，不就是从山顶滑到山下吗？于是我穿上滑雪板，哧溜一下就滑下去了，结果我从山顶滑到山下，实际上是滚到山下，摔了很多个跟斗。我发现根本就不知道怎么停止、怎么保持平衡。最后我反复练习怎么在雪地上、斜坡上停下来。练了一个星期，我终于学会了在任何坡上停止、滑行、再停止。这个时候我

5、就发现自己会滑雪了，就敢从山顶高速地往山坡下冲。因为我知道只要我想停，一转身就能停下来。只要你能停下来，你就不会撞上树、撞上石头、撞上人，你就不会被撞死。因此，只有知道如何停止的人，才知道如何高速前进。第五句话是：放弃是一种智慧，缺陷是一种恩惠。当你拥有六个苹果的时候，千万不要把它们都吃掉，因为你把六个苹果全都吃掉，你也只吃到了六个苹果，只吃到了一种味道，那就是苹果的味道。如果你把六个苹果中的五个拿出来给别人吃，尽管表面上你丢了五个苹果，但实际上你却得到了其他五个人的友情和好感。以后你还能得到更多，当别人有了别的水果的时候，也一定会和你分享，你会从这个人手里得到一个橘子，那个人手里得到一个梨，

6、最后你可能就得到了六种不同的水果，六种不同的味道，六种不同的颜色，六个人的友谊。人一定要学会用你拥有的东西去换取对你来说更加重要和丰富的东西。所以说，放弃是一种智慧。1学好数学，不管三七二十一先抓住定义法再说。中考数学不管三七二十一思维法2去掉绝对值符号，不管三七二十一先讨论正负再说。3几何证明有困难，不管三七二十一先证明三角形全等再说。4证明矩形、菱形，不管三七二十一先证明平行四边形再说。80%5图形变化问题，不管三七二十一先抓住等量关系再说。6几何中求线段的长度，不管三七二十一先构造直角三角形再说。80%7直角坐标系中求线段的长度，不管三七二十一先考虑三角形相似再说。80%8动点问题，不管

7、三七二十一以静代动列方程（目标函数）再说。80%9方案选择与最值问题，不管三七二十一先建立目标函数再说。10求解方程，不管三七二十一先讨论方程类型（化成一般式）再说。11一看到一元二次方程（函数），不管三七二十一先考虑再说。12一看到X1、X2，不管三七二十一先考虑根与系数的关系再说。（中考不作要求）13函数图像交点问题，不管三七二十一先联立方程组求解再说。14二次函数性态问题，不管三七二十一先化成顶点式再说。15一看到二次三项式，不管三七二十一先配方（因式分解）再说。80%III1计算求值，核心降次消元2分类讨论不重复，不遗漏3. 序号法找规律4求解不等式，数轴是好帮手5特别的点，特别的爱中

8、考数学三十六技6不增根，不漏解7. 方程是否有解，关键在等式成立否8少设未知数，但不可不设9抓住大条件，注意小条件10分子分离法11分式性质，左右对称，上下对齐12k=tan13. 一次函数，两种求法14点在图像上，点的坐标满足方程15点的存在性，只有两种方法16线段关系转化为坐标关系17图形变化，对应点变化18距离最短关键是转化19动点问题，关键两句话20紧紧抓住特殊的角21几何中，两个基本的定理22求面积，直接法或割补法23两边非夹角三角形不一定全等24等腰三角形，三线合一，知二推二25直角三角形3大定理26相似三角形，关键找对应角27平行四边形311法28. 过对称中心的直线，一分为二2

9、9割补法作辅助线30角平分线法作辅助线31三角形全等法作辅助线32平行线（中位线）法作辅助线33切点与圆心连线要领先34垂径定理，知二推二（先引垂线）35圆的元素，知一推五36. 反例排除法 燕园文博 初三数学辅导班内部讲义·寒假 陆老师编第一讲：三角形与辅助线构造方法【知识点击】1 几何两个重要定理2三角形的边角关系：角与角：内角和及推论;外角和;n边形内角和;n边形外角和。边与边：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。角与边：在同一三角形中3全等三角形1 一般三角形全等的判定（SAS、ASA、AAS、SSS）特殊三角形全等的判定：4三角形的主要线段 高线 中线 角平分线

10、中垂线 中位线5直角三角形等腰三角形等边三角形6三角形的面积7辅助线的几种作法例1如图，已知：BAD=CAD，ADBD，M为BC之中点，求证：DM=（AB-AC）ACDMB陆老师点睛：（36技）等腰三角形，三线合一，知二推二例2.已知：BD、CE分别为ABC中ABC、ACB的外角平分线，ADBD，AECE，ADBCE求证：（1）DEBC，（2）若ABC的周长为18cm，求DE的长。例3已知：在RtABC中，AB=AC，A=900，点D为BC上任一点，DFAB于F，DEAC于E，M为BC的中点，试判断MEF是什么形状的三角形，并证明你的结论。AFBDMCE例4.已知，如图正方形ABCD中，（1）

11、若EPF=45°，则EF=BF+DE；ABFCED（2）若正方形的边长为1，CEF的周长为2，求EAF。陆老师点睛：三角形全等法作辅助线引例1（不讲）已知：如图6，直尺的宽度为2， A、B两点在直尺的一条边上，AB=6， C、D两点在直尺的另一条边上.若ACB=ADB=90°，则C、D两点之间的距离为 . 例5如图，P是正三角形 ABC 内的一点，且PA6，PB8，PC10若将PAC绕点A逆时针旋转后，得到P'AB ，则点P与点P' 之间的距离为_，APB_°例6如图，在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为a米，此时梯子

12、的倾斜角为75°如果梯子底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB为6米，梯子的倾斜角为45°则这间房子的宽AB是 米例7直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AD2，BC3，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，连AE、CE，则ADE的面积是 （ ） A1 B2 C3 D不能确定例8. 我们给出如下定义：如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2 倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”. 在ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c.对于任意的倍角三角形ABC（如图），其中A2B，有关系式（1）试求出一个倍角三角形的三条边的长，使这三条

13、边长恰为三个连续的正整数. 引例1（不讲）如图，ABC中，AD是BC边上的中线，求证：引例2（不讲）如图，ABC中，AD平分BAC,AB=AC+DC.求证：C=2B. 第二讲：相似三角形解题技巧【知识点击】一、比例的性质：1、2、等比性质：如果，那么注意：(1)此性质的证明运用了“设法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立如：；其中二、比例线段的有关定理：平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例推论：(1)平行于三角形一边的直线截其

14、它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例(2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边三、 相似的判定四、 相似的性质五、相似多边形：【例题品味】例1某老师上完“三角形相似的判定”后，出了如下一道思考题： 如图所示，梯形ABCD中，ADBC，对角线AC、BD相交于O，试问：AOB和DOC是否相似？ 某学生对上题作如下解答：答：AOBDOC理由如下：在AOB和DOC中，ADBC，AOB=DOC，AOBDOC 请你回答，该学生的解答是否正确？如果正

15、确，请在每一步后面写出根据；如果不正确，请简要说明理由陆老师点睛：相等的角所对的边是对应边，成比例的边所对的角是对应角。例2已知两个不相似的直角三角形ABC和ABC中，C=C=90°，能否将这两个三角形各分割成两个小三角形，使它们分别相似？你能想出几种分割方法？能否将这个问题推广到有一个角相等的两个任意三角形？陆老师点睛：相似三角形关键找对应角例3已知：ABC中，AB10；如图，若点D、E分别是AC、BC边的中点，求DE的长；如图，若点A1、A2把AC边三等分，过A1、A2作AB边的平行线，分别交BC边于点B1、B2，求A1B1A2B2的值；如图，若点A1、A2、A10把AC边十一等

16、分，过各点作AB边的平行线，分别交BC边于点B1、B2、B10。根据你所发现的规律，直接写出A1B1A2B2A10B10的结果。陆老师点睛：梯形中位线有两种情况例4将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G(如图).(1)如果M为CD边的中点，求证：DEDMEM345；(2)如果M为CD边上的任意一点，设AB2a，问CMG的周长是否与点M的位置关系？若有关，请把CMG的周长用含DM的长x的代数式表示；若无关，请说明理由.陆老师点睛：以退为进 “通过周长比等于相似比求周长” 例5.如图，ABC面积为1，第一次操作：分别延长AB，B

17、C，CA至点A1，B1，C1，使A1B=AB，B1C= BC，C1A=CA，顺次连结A1，B1，C1，得到A1B1C1. 第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1= A1B1，B2C1= B1C1，C2A1= C1A1，顺次连结A2，B2，C2，得到A2B2C2，按此规律，要使得到的三角形的面积超过2006，最少经过 次操作.引例：探索，在如图121至图123中，ABC的面积为a (1)如图121, 延长ABC的边BC到点D，使CD=BC，连结DA若ACD的面积为S1，则S1=_（用含a的代数式表示）；DEABCF图12233(2)如图122，延长ABC

18、的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连结DE若DEC的面积为S2，则S2=_（用含a的代数式表示），并写出理由；ABCDE图12222222图121ABCD   (3)在图122的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连结FD，FE，得到DEF（如图123）若阴影部分的面积为S3，则S3=_（用含a的代数式表示）发现像上面那样，将ABC各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到DEF（如图123），此时，我们称ABC向外扩展了一次可以发现，扩展一次后得到的DEF的面积是原来ABC面积的_倍应用图124DEABCFHMG去年在面积为10m2的ABC

19、空地上栽种了某种花卉今年准备扩大种植规模，把ABC向外进行两次扩展，第一次由ABC扩展成DEF，第二次由DEF扩展成MGH（如图124）求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少m2？例6如图，已知的面积在图（1）中，若，则；在图（2）中，若，则；在图（3）中，若，则；按此规律，若，则（1）（2）（3）例7如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点为，B（5,0），M为等腰梯形OBCD底边OB上一点，ODBC2，DMCDOB60°(1)求直线CB的解析式；(2)求点M的坐标；(3)DMC绕点M顺时针旋转(30°60°)后，得到D1MC1（点D1，C1依次与点D，C对

20、应），射线MD1交直线DC于点E，射线MC1交直线CB于点F，设DEm，BFn .求m与n的函数关系式陆老师点睛：注意小条件，射线、直线的区别。例8.如图11，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，BAC=AGF=90°，它们的斜边长为2，若ABC固定不动，AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=m，CD=n.(1)请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明.(2)求m与n的函数关系式，直接写出自变量n的取值范围.(3)以ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上

21、的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图12).在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并通过计算验证BDCE=DE.Gyx图12OFEDCBA(4)在旋转过程中,(3)中的等量关系BDCE=DE是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.G图11FEDCBA 例9善于学习的小敏查资料知道：对应角相等，对应边成比例的两个梯形，叫做相似梯形.他想到“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”，提出如下两个问题，你能帮助解决吗？问题一 平行于梯形底边的直线截两腰所得的小梯形和原梯形是否相似？(1) 从特殊情形入手探究.假设梯形ABCD中， ADBC

22、，AB=6，BC=8，CD=4，AD=2，MN是中位线（如图）.根据相似梯形的定义，请你说明梯形AMND与梯形ABCD是否相似?(2) 一般结论：平行于梯形底边的直线截两腰所得的梯形与原梯形_(填“相似”或“不相似”或“相似性无法确定”.不要求证明) .问题二 平行于梯形底边的直线截两腰所得的两个小梯形是否相似?(1) 从特殊平行线入手探究.梯形的中位线截两腰所得的两个小梯形_(填“相似”或“不相似”或“相似性无法确定”.不要求证明).(2) 从特殊梯形入手探究.同上假设，梯形ABCD中，ADBC，AB=6，BC=8，CD=4，AD=2，你能找到与梯形底边平行的直线PQ（点P,Q在梯形的两腰上

23、，如图）, 使得梯形APQD与梯形PBCQ相似吗? 请根据相似梯形的定义说明理由.第25题图28ADCB46PQACBDMN第25题图(3) 一般结论：对于任意梯形（如图），一定 (填“存在”或“不存在”)第25题图abADCBdcPQ平行于梯形底边的直线PQ，使截得的两个小梯形相似. 若存在，则确定这条平行线位置的条件是= (不妨设AD= a，BC= b，AB=c，CD= d.不要求证明 ) .陆老师点睛：紧紧抓住相似多边形的定义；“阅读理解题关键是抓住定义，以瓢画葫芦”第三讲：四边形证明思路培养与综合题中动点问题和存在性的解题技巧多边形内角和：多边形外角和：多边形对角线条数为：条 （序号法

24、找规律）学好数学不管三七二十一，先抓住定义法再说。 定义的功能： 定义： 定义： 定义： 定义： 311法 311法 对角线 311法 对角线 1定义法2 + 3 + 1定义法2 + 3 + + 等腰梯形 (1)两腰相等、两底平行(2)等腰梯形在同一底上的两个角相等(3)等腰梯形的对角线相等转化分割、拼接解决梯形问题的基本思路：梯形问题 三角形或平行四边形问题（作辅助线）几个有用的小结论： 过对称中心的直线把 一分为二. 四个小，面积相等. 梯形两个腰腰上的小，面积相等.几个特殊的图形：60的菱形黄金梯形辅助线方法： 【经典例题】例题1、将一张平行四边形的纸张折一次，便得折痕平分这个平行四边形

25、的面积，则这样的折纸方法有（ ）A、1种 B、2种 C、3种 D、无数种陆老师点睛：此题的证明过程很重要，考试重点（三角形全等）例题2已知菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上一点，D=EAF=600，BAE=200，求CEF的度数。陆老师点睛：60°菱形要记住，有两个等边三角形例题3、我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形。请解答下列问题：（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证

26、明你的结论。陆老师语：此题对考生能力要求比较大，阅读理解题关键“定义法”，“几何证明有困难不管三七二十一先证明三角形全等再说。”例题4、我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称 ， ；（2）如图，将绕顶点按顺时针方向旋转，得到，连结，求证：，即四边形是勾股四边形图16（2）例题5、我们把能平分四边形面积的直线称为“好线”。利用下面的作图，可以得到四边形的“好线”：在四边形ABCD中，取对角线BD的中点O，连结OA、OC。显然，折线AOC能

27、平分四边形ABCD的面积，再过点O作OEAC交CD于E，则直线AE即为一条“好线”。（1）试说明直线AE是“好线”的理由；ABCEDFABCDOE（2）如下图，AE为一条“好线”，F为AD边上的一点，请作出经过F点的“好线”，并对画图作适当说明(不需要说明理由)。陆老师点睛：梯形两个腰腰上三角形面积相等。注意辅助线技巧例题6、如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为和，将菱形的“接近度”定义为，于是，越小，菱形越接近于正方形若菱形的一个内角为，则该菱形的“接近度”

28、等于 ；当菱形的“接近度”等于 时，菱形是正方形（2）设矩形相邻两条边长分别是和（），将矩形的“接近度”定义为，于是越小，矩形越接近于正方形你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义陆老师点睛：四边形问题关键要掌握定义、判定方法。例题7、在中，是中线，为的中点，直线a过点，过、三点分别作直线a的垂线，垂足分别为、，当直线a绕点旋转到与垂直时（如图），易证：.当直线a绕点旋转到与不垂直时，在图、图两种情况下，线段、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对图的猜想给予证明.陆老师点睛：梯形中位线的推广也是解题的技巧之一，这个结论应该记住。例题8、在等腰梯形ABCD中，AB=

29、DC=5，AD=4，BC=10. 点E在下底边BC上，点F在腰AB上. （1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示BEF的面积；（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成12的两部分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由.陆老师点睛：动点问题关键记住两句话 例题9、如图，已知抛物线与坐标轴的交点依次是，（1） 求抛物线关于原点对称的抛物线的解析式；（2） 设抛物线的顶点为，抛物线与轴分别交于两点（点在点的左侧），顶点为，四边形

30、的面积为若点，点同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点，点同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点与点重合为止求出四边形的面积与运动时间之间的关系式，并写出自变量的取值范围；（3） 当为何值时，四边形的面积有最大值，并求出此最大值；（4） 在运动过程中，四边形能否形成矩形？若能，求出此时的值；若不能，请说明理由陆老师点睛：此题综合度很高，关键注意矩形的判定方法（几何证明应做到“有型”）、抛物线图形变化答题技巧、注意答题应具有函数思维。例题9、如图，已知抛物线l1：y=x2-4的图象与x轴相交于A、C两点，B是抛物线l1上的动点(B不与A、C重合)，抛物线l2与l1关于x轴对称，以AC为对角线的平行四边形ABCD的第四个顶点为D.(1) 求l2的解析式；(2) 求证：点D一定在l2上； (3) ABCD能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的