《复变函数与积分变换》期末考试试卷A及答案详解

1、?复变函数与积分变换？期末试题（A）答案及评分标准?复变函数与积分变换？期末试题（A）一.填空题（每小题3分，共计15分）R1.上呈3的幅角是(£+2kn,k=0,±1,±2)；2.Ln(-1+i)的主值是23(须2+学)；3.f(z)=1,f(0)=(0)；z-sinz14.z=0是一z一的(一级)极点；5.f(z)=】，Resf(z),g=(-1)；二.选择题(每小题3分，共计15分)1 .解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的导函数为(B)；(A)f'(z)=Ux+iUy；(B)f'(z)=Ux-iUy；(C)f'(z)=U

2、x+iVy；(D)f'(z)=Uy+iVx.2 .C是正向圆周z=3,如果函数f(z)=(D),则(MzVzmO.（A）白；"（C）言十83 .如果级数ccnzn在z=2点收敛，则级数在（C）n1（A）z=-2点条件收敛；（B）z=2i点绝对收敛；（C）z=1+i点绝对收敛；（D）z=1+2i点一定发散.4 .下列结论正确的是（B）（A）如果函数f（z）在z。点可导,则f（z）在4点一定解析;(B)如果f(z)在C所围成的区域内解析,则:f(z)dz=0C(C)如果枭f(z)dz=0,则函数f(z)在c所围成的区域内一定解析；C(D)函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)

3、在区域内解析的充分必要条件是u(x,y)、v(x,y)在该区域内均为调和函数.5 .下列结论不正确的是(D).1(A)0c为sin的可去可点；g为sinz的本性奇点；z(C)史为彳的孤立奇点；(D)g为的孤立奇点.sin1sinzz三.按要求完成下列各题(每小题10分，共计40分)(1)设f(z)=x2+axy+by2+i(cx2+dxy+y2)是解析函数，求a,b,c,d.ze(2) .计算/二一涓dz其中c是正向圆周：z=2;Cz(z-1)(3)计算：z 315 z(1 z2)2(2 z4)3 dz(4)函数f (z)=z(z2-1)(z 2)3(z-3)2/ _ 一 3(sin z)在扩

4、充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级四、(本题14分)将函数f(z)=在以下区域内展开成罗朗级数;z(z-1)(1) 0<|z-1<1,(2)0<|z<1,(3)1<|z<8五.(本题10分)用Laplace变换求解常微分方程定解问题y(x)-5y(x)4y(x)=e-xy(0)=y(0)=1六、(本题6分)求f (t) = e pt|(P > 0)的傅立叶变换，并由此证明:xcos tJTe*.按要求完成下列各题(每小题 10分，共40分)(1 ).设 f(z)=x2 + axy + by2 + i(cx2 + dxy + y2)是

5、解析 函数，求a,b,c,d.解：因为f(z)解析,由C-R条件:v:x2x ay = dx 2y ax 2by= - 2cx - dy,c - - 1,b - -1,a=2,d=2,a=-2c,2b=-d,给出C-R条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。ze(2) .计算1;一dz其中c是正向圆周：C(z-1)z解：本题可以用柯西公式柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程z因为函数f(z)=e2在复平面内只有两个奇点z1=0,z2=1,分别以Zi，Z2(z-1)2z1为圆心画互不相交互不包含的小圆c1,c2且位于zedz ； z dzC2 (z - 1)z=0

6、ez.(z-1)2:-dz=-C(z-1)zC1zz2-ie2z.(z-1)2共6页第18页无论采用那种方法给出公式至少给一半分,其他酌情给分。(3)人15z(1z2)2(2z4)3dz解：设f(z)在有限复平面内所有奇点均在:<3内，由留数定理15zza(iz2)2(2z4)3dz-2二iResf(z),二(5分)11f(-)-2zz,11=2：iResf()2zz(1)15z-(112)2(2(1)4)3z2zz(8分)z(1z2)2(2z41)3有唯一的孤立奇点z=0,11Resf(-)?,0=iim(1z2)2(2z41)3=115zqz丸1z2)2(2z4)odz2二i3(10

7、分)(4)函数f(z)=z(z2-1)(z2)(sin二z)332-(z-3)在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.解f(z)=z(z2-1)(z2)3(z-3)2(sin二z)3的奇点为z=k,k=0,±1,±2,±3,，g(1)=k,k=0，士1,士2,士3,为(sisinz)3=0的三级零点,(2)z=0,z=±1,为f(z)的二级极点，z=-2是f(z)的可去奇点,(3)z=3为f(z)的一级极点,(4)z=2,-3，土4，为f(z)的三级极点;(5)g为f(z)的非孤立奇点。备注:给出全部奇点给5分，其他酌情给分。1四、(

8、本题14分)将函数f(z)=在以下区域内展开成罗朗级数;z(z-1)(1)0<z-1<1,(2)0<|z<1,(3)1<|z<8解：(1)当0<z1<1f(z)=z2(z-1)(z-1)(z-11)而(z-11)=(")n(z-1)nn=0一(-1)nn(z-1)nn=0f(z)=n 1n -2' (-1) n(z-1)n =0当0 <|z：1f(z)=z2(z-1)z2(1 - z)12zn=0(3)当 1 < znWzn =010f(z)=z2(z-1)31 z (1)zf (z)= (1)n=0 zn=0 zn

9、 ,314每步可以酌情给分。五.(本题10分)用Laplace变换求解常微分方程定解问题:；y"(x) 5y(x) +4y(x)=-x e、y(0)=1=y'(0)=1解：对y(x)的Laplace变换记做L(s),依据Laplace变换性质有(5分)s2L(s)-s-1-5(sL(s)-1)4L(s)=整理得八、L(s)=(s1)(s1)(s4)s-110(s1)10(s1)1.xy(x)=e106(s-1)15(s-4)s-16(s-1)15(s-4)x14x一e15(6分)求f(t)=e邳(P>-,cost-He解：F()=e-nOF()=eeJ-i)teF(卜f

10、二2-JI（7分）（10分）0）的傅立叶变换，并由此证明:Jte-tdt(0)oe4te'dt(0)Hocdt°e(：0)-0(-0)(P>0)4分1力eitF()d(2>0)5分_-：eit2d(0)2.2(costisint)d(-0)f(t)=二costsintd(0)二,0二cost2曲(P>0),七ccost兀2T?复变函数与积分变换？期末试题(B)一.填空题(每小题3分，共计15分)二.1.亨的幅角是()；2.Ln(-+i)的主值是()；3.a=(),22一22、f(z)=x+2xy-y+i(ax+2xy十y)在复平面内处处解z-sinz1析.4

11、.Z=0是3的()极点；5.f(z)=一,zzResf(z),00=()；二.选择题(每小题3分，共计15分)1.解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的导函数为()；(A)f'(z)=Uy+乂；(B)f'(z)=Uxiuy；(0f'(z)=Ux+ivy；(D)f'(z)=Ux+iUy.2. C是正向圆周z=2,如果函数f(z)=(),则可 f (z)dz = 0 . ' C(A)3；z -1(B)3zz -1(C)3z(z-1)2(D)(z-1)23.如果级数ZCnzn在z=2i点收敛,则级数在n1(A)z=-2点条件收敛；(B)z=-2i点绝

12、对收敛；(C)z=1+i点绝对收敛；(D)z=1+2i点一定发散.4.下列结论正确的是()(A)如果函数f(z)在zo点可导,则f(z)在zo点一定解析;(B)如果1f(z)dz=0,其中C复平面内正向封闭曲线,则f(z)在C所围成的区域内一定解析；(C)函数f(z)在z°点解析的充分必要条件是它在该点的邻域内一定可以展开成为z-z0的幕级数，而且展开式是唯一的；(D)函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域内解析的充分必要条件是u(x,y)、v(x,y)在该区域内均为调和函数.5.下列结论不正确的是().(A)、z是复平面上的多信函数；(B)、cosz是无界函数;(C)、s

13、inz是复平面上的有界函数；(D)、ez是周期函数.按要求完成下列各题(每小题8分，共计50分)(1)设f(z)=u(x,y)十i(x1z 一 z_(3) .计算久二万dz,其中C是正向圆周|z = 2;+g(y)是解析函数，且f(0)=0,求g(y),u(x,y),f(z)(2) .计算1Cz(z2 1)(z-i)2dz .其中C是正向圆周z =2 ；(4).利用留数计算C(z_1)(z_2)2dz.其中C是正向圆周|z = 3;23.,、z(z-1)(z2)(5)函数f(z)=7,.、3在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果(sinz)有极点，请指出它的级.、二1,四、(本题12分)将函数

14、f(z)=-在以下区域内展开成罗朗级数;z(z-1)(1) 0c z-1(2) 0< |z < 1 , 1Mlz .五.（本题10分）用Laplace变换求解常微分方程定解问题y (x)-5y(x) 4y(x) = e" y(0) = y(0) = 1六、（本题8分）求f（t）=e别。 0）的傅立叶变换，并由此证明:-Xcos t . nd 022：e一中?复变函数与积分变换?期末试题简答及评分标准（B）.填空题（每小题3分，共计15分）1 i 八一1 T的幅角是（-2k二* = 0 _1,_2, 4）；2. Ln（7 i）的主值是/ 1一 二、(-ln 2 -i );2

15、43.f (。)=(0z - sin z4. f(z) = -3 zResf(z),0二(0)； 5.Res f (z),°° =(二.选择题（每小题3分，共计15分）1-5 A A C C C.按要求完成下列各题（每小题 10分，共计40分）(1)求 a,b,c, d 使 f (z) = x2 + axy + by2 + i(cx2 + dxy + y2）是解析函数,解：因为f（z）解析，由C-R条件LLu vLLLLx y y x2xay=dx2yax2by=-2cx-dy,a=2,d=2,a=-2c,2b=-d,c=-1,b=-1,给出C-R条件6分，正确求导给2分，

16、结果正确2分。1,(2).0八2dZ.其中C是正向圆周z(z一I)解：本题可以用柯西公式柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算,仅给出用前者计算过程因为函数f(z)=在复平面内只有两个奇点z1=0,z2=1,分别以Zi，Z2(z-1)z圆心画互不相交互不包含的小圆Ci，C2且位于1(z-1)2zdz zC2 (z - 1)2 dz=2吧'z12 i 2 (z-1)2二 0z -013 z z ez(3)计算+；一； C (1 - z)dz,其中C是正向圆周z=2；解：设f(z)在有限复平面内所有奇点均在:z <2 内,由留数定理向 f (z)dz= -2叫 Resf (z

17、)产=2ic(5分)1 <|z :二二13 z z ez(1 一 z)1 z2ez 二 z- z2(12! z23! z3111)(1 - z z z=一 (z21r- -r2!3!z 4!z112)(11-2zzc< = 一(112! 3!ff(z)dz=82ni.zF3一、(z2-1)(z2)3(4)函数f(z)='八3'在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有(sin二z)极点，请指出它的级.f(z)的奇点为z=k,k=0,±1,±2,±3,，8z=k,k=0，土1注2注3，为(sinnz)3=0的三级零点，z=±1,为

18、f(z)的二级极点，z=-2是f(z)的可去奇点,z=0,2,-3,±4，为f(z)的三级极点；出为f(z)的非孤立奇点。给出全部奇点给5分。其他酌情给分、二1,四、(本题14分)将函数f(z)=-在以下区域内展开成罗朗级数;z(z1)(1)0<|z+1<1,(2)0Mlz<1,(3)1<|z<00(1)0<|z+1<1,(2)0<z<1,(3)1<|z<8解：(1)当0<z+1<1f (z)=12z (z 1)(z11)(1-(1z1)=L.而/d / 八(1 -(z 1)QOQO=(z 1)n = " n(z 1)n-1n =0