导数的解题技巧

1、专题三导数的解题技巧第时共_4_课【考点聚焦】i了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念.2 熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则了解复合函数的求导法则，会求 某些简单函数的导数.3 理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值.【命题趋向】导数命题趋势：综观2007年全国各套高考数学试题，我们发现对导数的考查有以下一些知识类型与 特点：（1） 多项式求导（结合不等式求参

2、数取值范围），和求斜率（切线方程结合函数求最值） 问题（2）求极值，函数单调性，应用题,与三角函数或向量结合.分值在12-17分之间，一般为1个选择题或1个填空题，1个解答题.【重点难点热点】考点1：导数的概念对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义， 理解导函数的概念.【问题1】（2007年北京卷）f（x）是f（x-x3 2x 1的导函数，贝U（-1）的值是.3考查目的本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力.解答过程；'f（X）= X2 +2八 f （-1）=（-1 ）+2=3.故填3.演练例 2. （ 2006 年湖南卷）设函数 f（x）=

3、g,集合 M=x|f（x）：o ,P=x|f'（x）.0,若 M 二 P,x -1则实数a的取值范围是（）A.（- % ,1）B.（0,1）C.（1,+ %）D. 1,+ x）考查目的本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力 解答过程由亠兰：o,.当a>1 时,1 ：x :a;当a<1 时,a ：x ：1.x -1综上可得M呈P时，” a>1.x兰1x A1在x = 1处可导，贝U a =b =例 1 y =f (x)="2xax +b-/ 2xx兰1思路：y=f(x)=:在x = 1处可导，必连续lim f (x) = 1、ax + bx >

4、1lim 亠 f (x)xT十=a +bf(1)=1a + b =1lim - = 2 lim y = aa = 2 b - -1 x P X. X 旷 x例2.已知f(x)在x=a处可导，且f ' (a)=b，求下列极限：2(八f (a+3h) f (a-h)f(a + h)-f(a)(1) lim;(2) limZhT2h2h分析：在导数定义中，增量 X的形式是多种多样，但不论厶X选择哪种形式，-也 必须选择相对应的形式。利用函数f(X)在x=a处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等 变形转化为导数定义的结构形式。1moHhf (a 3h) - f(a -h)2hf (a 3h)

5、f (a) f (a) f (a h)2h叫Hh2f (a h2) - f (a)f (a h2) - f (a)说明：只有深刻理解概念的本质，才能灵活应用概念解题。解决这类问题的关键是等 价变形，使极限式转化为导数定义的结构形式。例3.观察(xn) = nxn J， (sinx)二cosx， (cosx)二-sin x，是否可判断，可导的奇函 数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。解：若 f (X)为偶函数f(-x) = f(x) 令 l.jm卫'= f(X)可导的偶函数的导函数是奇函数另证：f =f (-X) f ( x) (-x)f (X)可导的偶函数的导函数是奇函数

6、考点一：考小题，重在基础有关函数与导数的小题，其考查的重点在于基础知识， 如：导数的定义、导数的几何意义、函数解析式、图像、定义域、值域、性质等仍是高考 的重点例1.(福建11)如果函数y=f(x)的图象如图1，那么导函数y = f/(x)的图象可能是(、图1解析：利用函数与导数的关系：函数递增则导数大于 0,函数递减则导数小于0,从图 1可以看出，函数先递增再递减又递增再递减，故导函数的图像应该是先大于 0再小于0 又大于0再小于0,符合条件的只有A答案，故选A评注：利用函数的图像求导函数的图像，应注意函数的单调性与导函数的正、负的关 系。例2.(湖北卷7)若fX)2Xw1天2在(-1+:)

7、上是减函数，则b的取值范围是()A. -1, =) B.C.(Y',-1D. (T)解析:由条件，函数f (x) 一 -*x2 bln(x 2)在(-1,+：)上是减函数，则f (x) < 0，即f，(x) - -x b0,对任意的x(-1,+ ：)恒成立，.b < x(x 2)对任意的x(-1,+ :)恒x+2成立，而x(x 2)在X. (-1,+ ：)上的最小值为-1，故b1，选C例3.(北京卷12)如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A, B, C 的坐标分别为 (，Q,4,)(，f(f (二 ；lim f (V x)型二.(用数字作答)x 0x”4(0*2)

8、,由导数的定义知lim -f (1：x) - f (1)f卞-2(2vxE6)X解析：由图易知f (f(0)二f 4 =2;(1) = -2评注：用定义解题必须准确把握导数的定义f'(XQ)"xmof(X°：X)- f(X。)Ax另外还注意f Q)是先求f ,x)还是将X=1代入。1例4.(江苏卷8)直线y =?x b是曲线y = Inx x 0的一条切线，则实数b=.1 1 解析：由导数的几何意义，f，(x)=二-=x = 2，切点为2,ln2，把切点代入切线x 2方程得b T n 2 -1评注：用导数的几何意义求切线方程一直是高考的热点，但难度不是很大。考点二：

9、利用导数求函数的单调性例 5.(全国一 19).已知函数 f (x x3 ax2 x 1, a R .(I)讨论函数f(x)的单调区间；(U)设函数f(x)在区间 2，-1内是减函数，求a的取值范围.I 33丿解析：(1) f (x) = x3 ax2 x 1 求导：f (x)二 3x2 2ax 1 当 a2 < 3 时，二W 0 , f (x) > 0 , f(x)在 R 上递增-a - :a2 3当a23 , f (x) =0求得两根为x二即f(x)在上递减,上递增，在| _a _血2 _3， »荷_3I 33丿ajf 3，+盟上递增-a - J a - 3 孑 2(

10、2) 由(1)得3 3，且 a2 - 3解得：a A i-a+Ja2 _3 亠 14卩 I 33评注：利用导数处理函数的单调性，简洁明快，但要注意导数与可导函数单调性的关系，条件f，(x) 0是f(x)为增函数的充分不必要条件；f'(x) _0是f (x)为增函数的必要不充分考点三：利用导数求函数的极值kx +1例6.(陕西卷21).已知函数f(x) 2( c 0且c = 1 ,R )恰有一个极大值点和x +c一个极小值点，其中一个是X = C .(I)求函数f (x)的另一个极值点；(U)求函数f(x)的极大值M和极小值m，并求M - m > 1时k的取值范围.解析：(I) f

11、 (x)2 2= k(xc)-2x(kx 1)=七-2x ck，由题意知 f(_c)= o ,2 2(x c)2 2(x c)即得 c2k2c-ck =0 ,(*)* c = 0, k = 0 .由 f (x) = 0 得-kx2 -2x ck = 0 , 由韦达定理知另一个极值点为x=1 (或x=c-).k99(儿)由(*)式得k =，即c=1 .c -1k当 c 1 时，k 0 ；当 0 :c < 1 时，k ： -2.(i )当k 0时，f (x)在-c)和(1, ：)内是减函数，在(-c,1)内是增函数.M = f(1)=匸二£ 0,m=f(-c)I 匚“,c2+c2(

12、k+2)kk2l由M-m> 1及k 0，解得k >22 2(k +2)(ii )当k ： -2时，f(x)在(_：:，一c)和(1, ：)内是增函数，在(-c,)内是减函数.二 f ( _c)-k22(k 2)k甘(1)»。-k22(k2)2k 1 (k 1)1二 I _k 2综上可知，所求k的取值范围为(-：:,-2)U.2, ：).评注：利用导数求函数的极值，先求f ,(x)，再令f ,(x0求得根xo，然后检验极值点Xo左右f，(x)的符号，左正右负为极大值，左负右正为极小值，对于含参数问题，注意分类 讨论。考点四：利用导数求函数的最值例7.(江苏卷17).某地有三

13、家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A,B及CD的中点P处, 已知AB=20km,C閔Okm，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上(含边界)，且A,B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP，设排污管道的总长为y km(I)按下列要求写出函数关系式：设/ BAO= (rad)，将y表示成二的函数关系式;设OP= x(km)，将y表示成xx的函数关系式.(U)请你选用(I)中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短.解析：(I)由条件知PQ垂直平分AB,若/BAO= (rad)故10OB，又 O圧 10-10ta10 10ta 二,

14、cos寸10 10所以 y =OA OB OP10-10ta,cos日 cos日，则OA二 AQCOST10cos2010sin 日 (兀、所求函数关系式为y=F-10匚 若 OP=x(km)，则 O3 10 x,所以 OA =OB= 10 - x 2 102 = x2 - 20x 200所求函数关系式为 y = x 2 x(1) y=3x2'X-'2 = (3x 2)( -1)(1,，：)时 y 0 20x 200 0 ： x ：10-10cos |_cosv - 20_10sinv - sin v10 2sin -1(U)选择函数模型，y2厂cos日cos日令y=0得sin

15、 1，因为0,所以二二,2 46当"0,二 时，y，0，y是二的减函数；当厂时，y' .0 ， y是二的增函数，I 6丿16 4丿所以当二二丄时，丫斷=10 10 3。这时点P位于线段AB的中垂线上，且距离 AB边6也km处。3例4.( 1)求曲线y二企在点(1, 1)处的切线方程；x +1(2)运动曲线方程为S= 2t2，求t=3时的速度。t2分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y=f(x)在X。处的导数就是曲线y=f(x)在点p(xo，y。)处的切线的斜率。瞬时速度是位移函数 S(t)对时间的导数。解：(1)y' =坐士冬詐,(x21)22 2y&#

16、39;|x屮-=0，即曲线在点(1，1)处的切线斜率k=0 4因此曲线y二二攵在(1，1 )处的切线方程为y=1(2) S'='曲*2x +1I G 4t t2 t1 226S'®12=11 - o9 2727例5.求下列函数单调区间(1)312y = f (x)二 x x - 2x 52(3)k2yx (k 0)x(4) y = 2x2 In :解:2 22x(3 >1) y ： 0. - (Y)'- 3， (1，： ：)(3 八3 332 x 12 x(- , 0) , (0 ,：)(3) yx 三(-：,-k) (k , p ；)y 0 x

17、 (_k , 0)(0, k) y :：: 0-(i：-,_'k),(k,：-)(_k,0) , (0,k八(4) y =4x力2"x定义域为（0 , ：）例7 .利用导数求和:(1) 4F - .工：二 S' -(2)V"分析：这两个问题可分别通过错位相减法及利用二项式定理来解决。转换思维角度， 由求导公式（xn） nxn°，可联想到它们是另外一个和式的导数，利用导数运算可使问题的解决更加简捷。解：（1）当x=1时，斗=1十2十?十十用二丄丹（旳+ °；7两边都是关于x的函数，求导得目口 e1 丄口Hi a»_11 - （&#

18、171; + 1）" +（1一力（2）： I “广 _ _ C + "> !两边都是关于x的函数，求导得 I丫 一一-令x=1得>.1 -二七 J即X.-匚;：工：二:心; :例 8.设 a 0 ,求函数 f (x) - . x 一 ln(x a)(x (0, ：)的单调区间.分析：本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力1 1解：f (x)(x . 0).2jx x+a当 a . 0, x 0 时 f (x) 0 x2 (2a - 4)x a20 .(i )当 a 1 时，对所有 x 0，有 x2(24) a20.即f (x)

19、0，此时f(x)在(0, ：)内单调递增.(ii )当 a=1 时，对 x=1，有 x2，(2a-4)x a2 0，即f (x) .0，此时f(x)在(0，1)内单调递增，又知函数f(x)在x=1处连续，因此， 函数f (x)在(0，+：)内单调递增(iii )当 0 a : 1 时，令 f (x)0，即 x2(2a-4)x a2 - 0.解得 x : 2 -a2. 1 匸a,或x 2 -a 2#1 - a .因此，函数f (x)在区间(0,2a-2 1a)内单调递增，在区间(2 - a 2 1 - a,：)内也单调递增.令 f (x) ： 0,即x2 (2a4)x a2 ： 0，解得 2a2

20、.1a ： x ： 2a 2、1a .因此，函数f (x)在区间(2-a-2： 1 -a,2 - a 2、. 1 - a)内单调递减.考点2:曲线的切线(1) 关于曲线在某一点的切线求曲线y=f(x)在某一点P(x,y)的切线，即求出函数y=f(x)在P点的导数就是曲线在该点 的切线的斜率.(2) 关于两曲线的公切线若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线.【问题2】(1)(2006湖南卷)曲线y-丄和y=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的x三角形面积是.解析：曲线y =丄和y=x2在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是y= x+2和y=2xx1,它们与x轴所围成的

21、三角形的面积是-.411(2)( 2007年湖南文)已知函数f (x2x3丄ax2 bx在区间T,1)，(1,3内各有一个极3 2值点.(I) 求a? 4b的最大值；(II) 当a2_4b=8时，设函数y = f(x)在点A(1, f(1)处的切线为I，若I在点A处穿过函数 y = f(x)的图象(即动点在点A附近沿曲线y = f(x)运动，经过点A时，从I的一侧进入另 一侧)，求函数f (x)的表达式.思路启迪：用求导来求得切线斜率解答过程：(I)因为函数f (x - x3 -ax2 bx在区间j,1)， (1,3内分别有一个极值点，3 2所以f (xx2 ax b =0在-1,1)，(1,

22、3内分别有一个实根，设两实根为 x-i，x2 ( x-1 : x2)，贝U x2 -为=a2 -4b，且 0 ： x2 -治 < 4 .于是0 ra2 -4b < 4，0 ： a2 -4b < 16，且当为=-1, x2 =3，即 a =-2，b = -3 时等号成立.故 a2 -4b的最大值是16 .(II)解法一：由f(1)=1 ab知f(x)在点(1, f(1)处的切线I的方程是2 1y - f (1) = f (1)(x -1)，即 y = (1 a b)xa ,3 2因为切线I在点A(1, f(x)处空过y = f(x)的图象， 所以g(x) = f (x) -(1

23、 - a - b)x-1 a在x = 1两边附近的函数值异号，则3 2x= 1不是g (x)的极值点.112 1而 g(x)x3ax2 bx -(1 a b)xa，且323 22 2g (x) = x ax b -(1 a b) = x ax -a T = (x -1)(x T a).若1 = -1 -a，则x =1和x = -1 - a都是g(x)的极值点.所以 1 = -1 -a，即 a = -2，又由 a2 -4b = 8，得 b = -1，故 f (x) =1 x3 - x2 - x .32 1解法二：同解法一得 g(x) = f (x) -(1 a b)x - §a12 3

24、a3= -(x-1)x(1 )x-(2 二 a).3因为切线I在点A(1, f(1)处穿过y = f (x)的图象，所以g(x)在x =1两边附近的函数值异号， 于是存在m1, m2 ( m1 : 1 ： m2).当 g ： x ： 1 时，g(x) ： 0 ,当 1 ： x ： 时，g(x) 0 ; 或当 g ：x：1 时，g(x) 0,当 1 ： x ： m2 时，g(x)：0 .设h(x) = x21西x - 2翌，则I 2丿I 2丿当 叶：x ： 1 时，h(x) 0 ,当 1 ： x ： 时，h(x) 0 ; 或当 g ： x ： 1 时，h(x) ： 0，当 1 ： x ： m2

25、时，h(x) ： 0 .3a由h(1)=0知x =1是h(x)的一个极值点，贝U h(1)=2 1 1出=0,2所以 a = -2，又由 a24b =8，得 b - -1，故 f (x)=x3 -x2x .3演练1(2006年安徽卷)若曲线y =x4的一条切线I与直线x，4y8 = 0垂直，则I的方 程为()A 4x _y _3 =0B x 亠4y _5 =0C 4x _y 3 =0D x U 4y 3=0考查目的本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.解答过程与直线x 4y =0垂直的直线I为4x _y m =0，即y =x4在某一点的导数为 4，而 y：=4x3，所以y =X

26、4在(1，1)处导数为4，此点的切线为4x_y_3=0.故选A.演练2(2006年重庆卷)过坐标原点且与x +y -4x+2y+5=0相切的直线的方程为()2A. y=-3x 或 y= lx B. y=-3x 或 y=-x C.y=-3x 或 y=-l x D. y=3x 或 y=lx3333考查目的本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力.解答过程解法1 ：设切线的方程为y =kx,. kx _y =0.225乂(x _2 2 +(y +1 ) =3,几圆心为(2, -1 )故选A.解法2:由解法1知切点坐标为(1 G 1丨由(2 2；2,2 /故选A.演练3(全国II

27、 )过点(1, 0)作抛物线y=x2+x+1的切线，则其中一条切线为()(A) 2x+y+2=0( B) 3x-y +3=0 (C) x+y+1=0(D) x-y+ 仁0解：y =2x+1，设切点坐标为(X0,y°)，则切线的斜率为2x+1，且y°=X02+x°+1 于是切线方程为y-( X02+X0+1)=(2x°+1)(x-x。)，因为点(一1，0)在切线上，可解得 x°= 0或4，代入可验正D正确。选D演练4.已知两抛物线C-y =x22x,C2：y=：-x2 a a取何值时C1，C2有且只有一条公切 线，求出此时公切线的方程.思路启迪：

28、先对C1 : y x2 2x,C2: y = _x2 a求导数.解答过程：函数甘 2*的导数为y' =2x 2，曲线C1在点P(X1,X12 2X)处的切线方程为y _(X12 - 2x1) =2(X1 2)(x -X1)，即 y =2(为 1)x_X12曲线C1在点Q(x2x22 a)的切线方程是y-(_x2 a) = _2x2 (x x2)即y - -2x2x x2 2 a若直线I是过点P点和Q点的公切线，则式和式都是I的方程，故得X1 1 - -X2, -X12 =X22 - 1， 消去X2得方程，2x-i2 2x1 10 若厶=4-4 2(1*)=0，即a=时，解得x-1，此时

29、点P、Q重合.2 2当时a=-1，C1和C2有且只有一条公切线，由式得公切线方程为y-x丄.241演练5(2007湖北理)已知定义在正实数集上的函数 f(x)x2 2ax，g(x) =3a2In x b，2其中a 0 设两曲线y = f(x)， y=g(x)有公共点，且在该点处的切线相同.(I)用a表示b，并求b的最大值；(II )求证：f (x) > g(x) ( x 0) 考查目的本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问 题的能力.解：(I)设y二f (x)与y = g(x)(x - 0)在公共点(x°, y°)处的切线相同.3a2

30、 f (x) =x 2a , g (x) ，由题意 f(x°) =g(x°) , f (x°) =g (x°). x1 2 2-x0 +2ax0 =3a ln x0 +b,2即*xo 2a3a2X。3a2由 x0 2a 得：x(0 = a，或 x° - - 3a (舍去).x5 22a a -3a In a .2故h(t)在0,1、e3为增函数，在e3,为减函数,于是h(t)在(0,)的最大值为h/ e323 3e322.2-2即有 b =爲2 2a2 -3a2 ln25令 h(t) t2-3t2l nt(t 0)，则 h(t)=2t(1-3l

31、 nt).于是1当 t(13l nt) 0 ,即 卩 0 ：t :e3 时，h (t)0 ;1当 t(13l nt) ：0, 即 卩 t e3 时，h (t) ：0 .1(U)设 F (x) = f (x) -g (x)x2 2ax -3a2 ln x - b(x 0),23a (x -a)(x 3a) / 则 F (x) =x 2a(x 0).xx故F (x)在(0, a)为减函数，在(a,)为增函数，x 0 时，f (x) > g(x)于是函数 F(x)在(0,)上的最小值是 F(a)二 F(x) = f (x。)- g (x。)= 0 .故当x 0时，有f(x)-g(x) >

32、 0,即当例9.已知抛物线y =x2 -4与直线y=x+2相交于A、B两点，过A、B两点的切线分别为h和(1)求A B两点的坐标；(2)求直线l1与l2的夹角。分析：理解导数的几何意义是解决本例的关键。 解 (1)由方程组r 2解得 A(-2 , 0) , B(3, 5)y = x -4,y = x 2,(2)由 y' =2x,则y'|x二乜二-4 , y'|x = 6。设两直线的夹角为B ,根据两直线的夹角公式,tan4 61(-4) 6102310所以 v - arctan 23说明：本例中直线与抛物线的交点处的切线，就是该点处抛物线的切线。注意两条直 线的夹角公式

33、有绝对值符旦考点3:导数的应用中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要 而有力的工具，特别是对于函数的单调性， 以“导数”为工具能对其进行全面的分析，为我 们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法，进而与不等式的证明，讨论方程 解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法复习时，应高度重视以下问题： 1.求函数的解析式；2.求函数的值域；3.解决单调性问题；4.求函数的极值(最值)； 5.构造函数证明不等式。【问题3】(2006年天津卷)函数f(x)的定义域为开区间(a,b)， 导函数f (x)在(a,b)内的图象如图所示，贝U函数f(x)在开

34、区间(a,b) 内有极小值点()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个考查目的本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力.解答过程由图象可见，在区间(a,0)内的图象上有一个极小值点故选A.演练1(江西卷)对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x- 1) f : (x) 9,则必有 ()A. f (0) + f (2) ：2f(1) B. f (0) + f (2) ：2f(1) C. f (0) + f (2) ：2f(1) D. f (0) + f (2) ：2f (1)解：依题意，当x ：1时，f ：(x) ：0,函数f (x)在(1，+ ：)上是增函数；当x ：1时，

35、f : (x) ：0, f(x)在(一：,1)上是减函数，故f(x)当x= 1时取得最小值，即有f(0) ：f(1) ,f( 2) :f(1)， 故选CC30y= f ' (x)，则不等式f ： (x) <0的解集为(A )1 14 8A .乙,1U2,3)B .-1,U：,;323 33 131 48C. -U1,2) D . (-c，-1U"U;,3)2 222 33Dx演练2若f/(x)是f (x)的导数函数，f/(x)的图像如图所示，贝U f(x)的图象可能是下面 各图中的(D)y = f(x)例6 .求证下列不等式Oy2 2xx(1) xIn(1 x) <

36、; xx (0 ,：)22(1+x)2x兀(2) sin xx (0 ,)2n(3) x -sinx ：tanx-x x (0 )证：(1) f (x) = In(1 x) -(x2xy)f(0)=0 f (x)二丄 一1x)1.01 XX 1八f(X)为(0 ,二)上 x (0,：) f(x) . 0 恒成立2xln(1 x) xg (x)匚22xXIn (1 X) g(0) =02(1 x) g(x)在(0 ,二)上2X2(1 x)-In(1 x) 0恒成立原式二如X cosx(xta nx)f (x)=(0 , ) cosx 0x - tan x ： 02x (0,)f (x) <

37、0(。，三八令 f (x)二 sin x / x x 二兀f(2)2x sinx(3)令 f(x)二 tanx-2x sinxf(0) =0JI (o2)x (0, ?)f (x) 0 tan x - x x - sin x【问题4】(2007年全国1)(I)求a、b的值；(U)若对于任意的x0,3, 思路启迪：利用函数f(x) 的值.解答过程：(I) f (x) =6x2 6ax 3b ,因为函数f (x)在x=1及x=2取得极值，则有(1) = 0, (2)=0 .6 ' 6a ' 3b = 0,即解得a - -3 , b = 4 .24 12a 3b =0.(U)由(I)

38、可知，f (x) =6x2 -18x 12 =6(x -1)(X -2).当 x (01)时，f (x)0 ;当 x (1,2)时，f (x) < 0 ;当 x (2,3)时，f (x)0 .所以，当 x =1 时，f(x)取得极大值 f(1)=5 8c，又 f(0) =8c , f( 3 9 8c . 则当x因为对于任意的x所以 9 ' 8c : c2 , 解得 c ：-1或c 9 , 因此c的取值范围为(：，-1)U(9,).演练1(2006年北京卷)已知函数f(x) =ax3 bx2 cx在点X0处取得极大值5，其导函数设函数f(x) =2X3 3ax2 3bx 8c在X=

39、1及X = 2时取得极值.都有f(x) : c2成立，求c的取值范围.= 2x3 - 3ax2 3bx 8c在X =1及X = 2时取得极值构造方程组求f (x) =2x3 -9x2 12x 8c ,0, l时,f(x)的最大值为f (3) -9 8c .0, l,有 f (x) : c2恒成立，y =f '(x)的图象经过点(1,0) , (2,0)，如图所示.求：()Xo的值；() a,b,c 的值.考查目的本小题考查了函数的导数，函数的极值的判定，闭区间上 二次函数的最值，函数与方程的转化等基础知识的综合应用，考查 了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力解答过程解法一：(

40、1)由图像可知，在(q,l 上 f'(xy>0，在(1,2 )上f'(x)<0，在(2,讼上f' x °,故f (x)在(-：:,1) ,( 2, +：:)上递增，在(1,2)上递减， 因此f x在x =1处取得极大值，所以X。=1(n) f'(x) =3ax2 2bx c,由 f'(1) =0, ( 2)= 0, ( 1)= 5, 得3a 2b c =0,解得得 12a 4b c =0,解得 a =2,b = -9,c =12.a b c =5,解法二：(I)同解法一(U) 设 f (x) =m(x -1)(x -2) =mx2

41、-3mx 2m,又 f (x) =3ax2 2bx c,所以 a 二山二-刁口工二 2m , f(X) =m x3 _3 mxS| 2mx,由 f M,即 m _3 m +2m =5 彳寸 m =6,以 a =2, b = -9, c =12 32'演练2函数yf 尹3的值域是.思路启迪：求函数的值域，是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性 质求解，也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂，采用导 数法求解较为容易。解答过程：由2x 4 -0得，x_Q，即函数的定义域为-2,七).x +3 启 0,112fx +3 j2x+4y' v2x

42、-+42 Jx +32 J2x +4 r'x +3又 2 x 3 - .2x 4 = 2x 8,2 Jx + 3 +J2x +4-当 x 2 时，y'0,函数y = . 2x亠4 -< x亠3在(_2,"巧上是增函数，而f ( -2) = -1 , . y = . 2x 4 - x 3的值域 是-1,:).演练3(2006年天津卷)已知函数f x =4x3 _3x2cosr -co，其中X，RC为参数，且 厂160乞V乞2二.(1) 当时cost -0，判断函数f x是否有极值；(2) 要使函数f(x)的极小值大于零，求参数二的取值范围；(3) 若对(2)中所求

43、的取值范围内的任意参数 -函数f X在区间2a -1,a内都是增函数, 求实数a的取值范围.考查目的本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，以及分类讨论的数学思想方法.解答过程()当cosv-0时，f(x)=4x3，则f(x)在(-：，=)内是增函数，故无极值f '(x) =12x2 -6xcos，令 f '(x) =0 ,cos t14寸为=0, x2由(I),只需分下面两种情况讨论.当cos, .0时，随x的变化f'(x)的符号及f(x)的变化情况如下表:X0+0-0+/极大值极小值/因此，函数f(x

44、)在x=co兰处取得极小值f(CO匹)，且f(竺)一 1cosU.?222416要使 f (C0StI)> 0，必有一丄 cos v(cos2 v _3) . 0，可得 0 ： cos '.2442由于0vcos”出，故或L 1.2 6 2 2 6当时cos V ：0，随x的变化，f '(x)的符号及f (x)的变化情况如下表:+0-0+极大值极小值因此，函数f (x)在x =0处取得极小值f(0)，且f (0)=2 cos日16右f (0) .0，则cosv .0.矛盾.所以当cos 0时，f (x)的极小值不会大于零.综上，要使函数f(x)在(皿,垃)内的极小值大于零

45、，参数B的取值范围为K>.(,1). (III)解：由(II)知，函数f(x)在区间(q,均与(泌，讼)内都是增函数。由题设，函数f(x)在(2a-1,a)内是增函数，贝U a须满足不等式组2a1 ：a a込02a -1 ：a12 a -1cos v23 二 11 二由(II)，参数时旅(匹均5匹竺)时，0<cos,逅.要使不等式2a_1*cos日关于参数日恒成6 ' 2 2 ' 6 2 2立，必有2a -1乜，即口畑.48综上，解得a m或心叮.8所以a的取值范围是(q,0)字).演练4(2007年全国2)1已知函数 f (x)ax3 -bx2 (2 -b)x 1

46、3在x =X1处取得极大值，在x *2处取得极小值，且0 X1 ：1 ： X2 ： 2 .(1) 证明a 0 ；(2) 若z=a+2b,求z的取值范围。解答过程求函数f (x)的导数f (x)二ax2 -2bx 2 - b .(I)由函数f (x)在X二为处取得极大值，在X =X2处取得极小值，知 为，X2是f (x) = 0的两个根.所以 f (x) = a(x-xj(x-X2)当 x ； X1 时，f (x)为增函数，f (x) 0，由 x -为：0，x - X2 ： 0 得 a 0 .(U)在题设下,2 b 0 即 <a2b + 2 bcO4a 4b + 2 b > 0z在这

47、三点的值依次为7,6,8 -f(0) 0I0 £人ex? c2等价于 f "(1)cOf t(2)> 02-b 0化简得a -3b 2 <0 4a -5b 2 0此不等式组表示的区域为平面 aOb上三条直线：2 -b = 0, a -3b 2二0,4a - 5b 2 = 0 .所围成的 ABC的内部，其三个顶点分别为：A - ,6 i, B(2,2) C(4,2) 辽7丿所以z的取值范围为兰,8 U丿小结：本题的新颖之处在把函数的导数与线性 规划有机结合.【问题5】(2006年山东卷)设函数f(x)=ax- (a+1)ln(x+1)，其中a_-1，求f(x)的单

48、调区间.考查目的本题考查了函数的导数求法，函数的极值的判定，考查了应用数形结合的数学思 想分析问题解决问题的能力解答过程由已知得函数f(x)的定义域为(-1,：)，且f'(x)=邑(a -1),x+1(1) 当 -1空a乞0时，f'(x) ：；0,函数f (x)在(-1,；)上单调递减，(2) 当 a 0时，由 f'(x) 0,解得 xJ.af'(x)、f(x)随x的变化情况如下表0+极小值从上表可知当(1,1)时，f'(x) <0,函数f (x)在(_1,丄)上单调递减aa当x1,匸)时，f'(x) .0,函数f(x)在(丄，匸)上单调递

49、增a，a'综上所述：当-1空兰0时，函数f(x)在(1，炖)上单调递减当a>0时，函数f(x)在(=丄)上单调递减，函数f(x)在(丄，炒上单调递增演练(2006年湖北卷)设x =3是函数f x = x2 ax b e3xR的一个极值点(I)求a与b的关系式(用a表示b)，并求f x的单调区间；(U)设a 0 , ga2 25 ex若存在m,0,4使得f “ - g ；2 ： 1成立，求a的取值V 4丿范围考查目的本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决 问题的能力解答过程(I) f'(x)二一x2+ (a 2)x + b a e3:由 f&

50、#39;(3)=0，得 一32 + (a 2)3 + b a e33 = 0，即得 b= 3 2a,则 f '(x) = x2 + (a 2)x 3 2a a e3x23 x3-x=x2 + (a 2)x 3 3a e = (x 3)(x+a+1)e x.令f '(x) = 0，得xi = 3或X2 = a 1,由于x= 3是极值点，所以x+a+1工0,那么a丰一4.当 a< 4 时，X2>3 = xi，贝U在区间(一x, 3) 上, f '(x)<0, f (x)为减函数；在区间(3, a 1) 上, f '(x)>0, f (x)为增

51、函数；在区间(一a 1,+x)上, f '(x)<0, f (x)为减函数.当 a> 4 时，X2<3= X1，贝U在区间(一x, a 1) 上, f '(x)<0, f (x)为减函数；在区间(一a 1, 3) 上, f '(x)>0, f (x)为增函数；在区间(3,+x)上, f '(x) <0, f (x)为减函数.(U)由(I)知，当a>0时，f(x)在区间(0, 3)上的单调递增，在区间(3, 4)上单调递减，那么f (x)在区间0 , 4上的值域是mi n(f (0) , f (4) ) , f, 而 f

52、(0) =( 2a+ 3) e3<0, f (4) =(2a + 13) e1>0, f (3) = a + 6, 那么f (x)在区间0 , 4上的值域是(2a + 3) e3, a + 6.又g(x) =(a2 25)ex在区间0，4上是增函数，且它在区间0 , 4上的值域是a2+ 25 ,( a2 + 25 ) e4,44由于(a + 25 ) ( a + 6)= a a+丄=(a_)0,所以只须仅须44_22(a + 25) ( a+ 6) <1 且 a>0,解得 0<a<3.42故a的取值范围是(0, 3)2【问题6】设函数f (x)与数列an满足下列关系：a1>a,其中a是方程f (x)=x的实数根; an+1=f(an) ( nN): f(x)的导函数 f ' (x) ( 0, 1)；证明：an>a；(门时)；2)判断an与an+1的大小，并证明你的结论。解答：(1)证明：用数学归纳法 n=1时，a1> a成立 假设n=k时，ak > a成立，则n=k+1时，由于f (x)>0 ,. f (x)在定义域内递增f (ak) f (a