导数地基本概念及性质应用

1、导数的基本概念及性质应用考点：1、掌握导数的基本概念及运算公式，并能灵活应用公式求解2、能运用导数求解单调区间及极值、最值3、理解并掌握极值及单调性的实质，并能灵活应用其性质解题。能力：数形结合方法：讲练结合新授课：一、知识点总结：导数的基本概念与运算公式1、导数的概念函数y = f(x)的导数f (x)，就是当厶X0时，函数的增量 y与自变量的增量厶X的比的极限，即 yf (x Ax)-f(x)f (x) = lim = limx 0x 0说明：分子和分母中间的变量必须保持一致2、导函数函数y = f (x)在区间(a, b )内每一点的导数都存在，就说在区f(x)间(a, b )内可导，其

2、导数也是(a ,b )内的函数，叫做f (x)的导函数，记作f(X)或yx，函数f (x)的导函数f (x)在x x0时的函数值f (x0)，就是f (x)在x0处的导数。3、导数的几何意义设函数y = f (x)在点x0处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点M (x0, y0)处的切线斜率。4、求导数的方法(1)基本求导公式c 0/ m、m 1 ,(x ) mx (m Q)(sin x) cosx(cos x)sin xxx(e ) e(ax) ax ln a(ln x) 土(log：)xnL(2) 导数的四则运算(u v) u v (uv) u v uvG)导(v 0)(3)

3、 复合函数的导数设u g(x)在点x处可导，y =在点f(x)处可导，则复合函数 fg(x)在点x处可导，fx'( (x) f'(u) '(x)导数性质：1、函数的单调性设函数y = f (x)在某个区间内可导， 若f(X)>0 ,贝y f(x)为增函数；若f (x) v 0则为减函数。 求可导函数单调区间的一般步聚和方法。 确定函数f (x)的定义区间 求f(X)，令f (x) = 0,解此方程，求出它在定义区间内的一切实根。 把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成

4、若干个小区间。 确定f(X)在各小开区间内的符号，根据f(X)的符号判定函数f(x)在各个相应小开区间内的增减性。说明：原函数单调性与导函数单调性无关，只与导函数正负号有关2 .可导函数的极值极值的概念设函数f (x)在点xo附近有定义，且对xo附近的所有点都有 f(x) v f(Xo)(或f (x) > f (xo), 则称f(Xo)为函数的一个极大(小)值点。称Xo为极大(小)值点。求可导函数极值的步骤。 求导数f (X) 求方程f (x) = o的根 检验f(X)在方程f(X)= 0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那 么函数y = f(x)在这个根处取得极大值

5、；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y=f (x)在这个根处取得极小值。说明：极值点的导数为0，导数为0的点不一定是极值点(隐含条件，说明某点是极值点，相当于给出了一个 f (x) = 0的方程3 函数的最大值与最小值设y= f (x)是定义在区间a ,b 上的函数，y= f (x)在(a ,b )内有导数，求函数y = f(x)在a ,b 上的最大值与最小值，可分两步进行。 求y= f(x)在(a ,b )内的极值。 将y = f (x)在各极值点的极值与f(a)、f (b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。若函数y = f (x)在a ,b 上单调增加，则f(a)为

6、函数的最小值，f (b)为函数的最大值；若函数y= f(x)在a ,b 上单调减少，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值。说明：极大值小于等于最大值，极小值大于等于最小值例题讲解题型一导数的概念【例1】设f(x)在点xo处可导,a为常数，则lim f(xo a x) f(xo a x)x 0A.f/(xo)B.2af/(xo)C.af/(xo)D.O【变式】设f (x)在x0处可导lim竺x 0X)f(x°)x题型二导数的几何意义、物理意义2x【例2】(1)求曲线y 在点(1 , 1 )处的切线方程;X 1(2 )运动曲线方程为St222t，求t=3时的速度。y=f(x)

7、分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y=f(x)在X。处的导数就是在点P(xo,y。)处的切线的斜率。瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数。题型三利用导数求单调区间【例3】求下列函数单调区间312(1) y f (x) x x 2x 52(2) y(3) yk2x (k0)2(4) y 2x In题型四：利用导数求函数的最(极)值【例4】求函数f(x) x3 3x 1在闭区间-3 , 0上的极值、最大值、最小值题型五：原函数图像与导函数图像如右图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是【例5】1、设f '(x)是函数f(x)的导函数，y=f'(x)的图象(D)A)

8、(B)(C)2、函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f (x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点()A. 1个B. 2个C. 3个D .4个题型六：利用极值的本质及单调性求解析式32【例6】已知函数f(x) ax bx 3x在x1处取得极值。(I) 讨论f (1)和f( 1)是函数f(x)的极大值还是极小值；(II) 过点A(0,16)作曲线yf (x)的切线，求此切线方程。325，其导函数【例7】已知函数f x ax bx ex在点xo处取得极大值0) ,( 2, 0 )如图所示求：(1) X。的值；(2) a、b、e 的值.【例8】已知函数

9、f (x) = x3+ ax2+ bx+ c,当x= 1时，取得极大值7 ；当x=3时,这个极小值及a、b、c的值【例9】已知f(x) ax4 bx2 c的图象经过点(0,1)，且在x 1处的切线方程是求y f(x)的解析式；(2 )求y f (x)的单调递增区间题型七：含参数的讨论A. (0,+)B. 0,+)C. (3,+)D. 3,+)取得极小值.求a的取值范围是【例10】(1 )如果函数f(x)=x3+ax的图象上各点处的切线斜率都为正数，则实数(2)如果函数f(x)=x3+ax的图象上有平行于x轴的切线，则实数 a的取值范围是【例11】已知函数f xax3 x2 bx 2 a,b,c

10、 R且a 0 在区间,0上都是增函数，在(0，4)上是减函数(1 )求b的值；(2 )求a的取值范围题型八：综合应用【例12】平面向量aJ -3(,一2 2)，若存在不同时为0的实数k和t，使r r 2 r rx a(t2 3)b, yka tb,且x y，试确定函数k f (t)的单调区间例题答案:【例1】解:lim f(xo a X)f(xoX 0a x)lXm0f (xo a x) f (xo) f (xo) f(xo a x)a lima x 0f (xoa x)a xf (xo)a lim 竺a x) f(x。)a x2af/(xo)故选（C）【变式】：-1【例2】（1） y'

11、;2(x21) 2x 2x(x2 1)22 2x2(x2 1)22 2y'|x i0,即曲线在点（1, 1）处的切线斜率k=o42x因此曲线y 在（1，1 ）处的切线方程为 y=1x 1(2)S'2(2t )'t2 2t(t 1)4tS'|t 3 1211- o92727【例3】（1） y3x2 x 2(3x 2)( x 1)x (,2)(1,)时 y o/2八2、 一/2八x（匚，1） yo (,),(1 ,)（1）333x21（2）y2 (,0) , (0,)t2t2t31 2 26(3)yk)(k ,)k ,0)(0,k) y 0k)，(k,)( k,0)

12、，(0, k)(4)y1 4x2 14x定义域为（0 ,x (1,) y o2【例4】略，注意强调学生的步骤完整性【例5】1、C 2、 A【例6】分析：（1 ）分析x= ±1处的极值情况，关键是分析x= ±1左右f （x）的符（2）要分清点 A（0, 16 ）是否在曲线上解：（1） f （ x）=3 ax2+2 bx 3，依题意，f （1 ）(-1 ) =0 ,即3a3a2b 30,2b 30.解得 a=1 , b=0.f (x) =x3 3x, f (x) =3x2 3=3 (x+1 )( x 1).令 f (x) =0，得 x= 1 , x=1.若 x ( g, 1)

13、U( 1 , + g),则 f (x)> 0 ,故f (x)在(g, 1)上是增函数，f (x)在(1 , +上是增函数若x ( 1 , 1)，则f (x)v 0,故f (x )在(1 , 1)上是减函数所以f ( 1) =2是极大值，f (1) = 2是极小值.X03 3x.(2)曲线y=x3 3x，点A (0, 16 )不在曲线上，设切点 M (x°, y°)，贝U yT f (X0)=3 X02 3 ,切线方程为 y y0=3 (X02 1 ) (x X0).代入 A (0 , 16 )得 16 X03+3 X0=3 (X02 1 )( 0 X0).解得 X0=

14、 2 ,.M ( 2 , 2 )，切线方程为 9x y+16=0.评述：过已知点求切线，当点不在曲线上时，求切点的坐标成了解题的关键【例7】解：函数f x的增减变化如下表：X,111,222,f X+0-0+f X/极、极大小(1 ) f x在x=1处由增变减，故f 1为极大值，即Xo=1.2(2)由于 f x 3ax 2bx c,f 10 3a 2b c 0 a 2f 2 012a 4b c 0b9f 1 5 a b c 5c 12【例8】解：f' X) =3x2+2ax+b.据题意，1 , 3是方程3x2+2 ax+ b=0的两个根，由韦达定理得1 3 空/-a= 3, b= 93

15、1 3 b打(x) =x3 3x2 9x+ c3Tf ( 1) =7 ,.C=2极小值 f (3) =3 3 3 X32 9 X3+2= 25极小值为25 , a= 3, b= 9, c=2【例9】解：(1) f (x)ax4 bx2 c的图象经过点(0,1)，则c 1 ,f (x) 4ax3 2bx,k f (1) 4a 2b 1,42切点为(1, 1)，则f(x) ax bx c的图象经过点(1, 1)1,得a 2，bf(x) 5x42【例【例(2) f (x)10x3单调递增区间为(10】(1) A ( 2)9x0,晋,0),(1011】解：由条件知 x0是函数2x 3ax3 10103

16、 10102x b，令 f 02x 3ax 2x令的极值点.0，得 b 0.x 0，得 x0瓷.由条件知x 0为极大值点，则x 应为极小值点又知曲线在区间（3a0, 4）上是减函数.3a竺0,得a 0,13a6【例12】解：由C.3, 1),b(1,-3)得agb2 20, a2, b三、a (t2rr3)bg( ka tb)0, ka2 上舌中2 rk(t 3)acb2 1 2t(t23)b2034k t 3tf'(t) |t24所以增区间为课堂演练:1.若曲线y=f（x）A. f' X。)>02.函数f(x) 2x23233 .函数0,k f(t34在点（B. f&#

17、39;0,得t1),(1,xo,X0)f (xo)<0x3在区间3y=x3 3x的极大值为4.已知函数f(x)5.在函数y6.三次函数1 33t), f (t) - (t 3t)4t、3 23/口1,或t1;-1-0,得144）;减区间为（1,1）。）处的切线方程为2x y 仁0，则C. f' Xo) =0 D. f' Xo)不存在0,6上的最大值是（163C. 12m，极小值为 n,则m + n为32x ax 3x 9 在 x3时取得极值，则实数a的值是（8x的图象上，其切线的倾斜角小于的点中,4坐标为整数的点的个数是（）y=f (x) = ax3+ x 在 x ( g

18、, +内是增函数，则A. a>0B . a<0C . a=11D . a=-37.与直线2x 6y+1=0垂直，且与曲线y= x3+3 x2 1相切的直线方程是8.已知a为实数，f (x) (x2 4)(xa)。求导数f (x)；若f ( 1)0，求f (x)在2，2上的最大值和最小值；若f (x)在(a, 2)和2 , + 7上都是递增的，求 a的取值范围1-6AAADAA , 7.3x+y+2=03 2 28.解：由原式得 f (x) x ax 4x 4a, f (x) 3x 2ax 4.1 2 1 2由 f ( 1)0 得 a ,此时有 f(x) (x 4)(x -), f (x) 3x x 4.2 24由 f ( 1)0 得 x 一或 x=-1 ,34509又 f(3)27, f( 1) 2, f( 2) 0, f(2) 0,3 2/2950所以f(x)在2,2上的最大值为,最小值为227解法一 ：f (x) 3x2 2ax 4的图象为开口向上且过点(0, 4)的抛物线，由条件得 f ( 2)0