第全微分ppt课件

1、第三节第三节 全微分及应用全微分及应用一元函数一元函数 y = f (x) 的增量概念：的增量概念：)()(xfxxfy 考虑二元函数考虑二元函数 z = f ( x , y )关于关于 x 的偏增量的偏增量zx 关于关于 y 的偏增量的偏增量),(),(yxfyyxfzy 全增量全增量),(),(yxfyyxxfz ,lim),(0 xzyxfxxx ,lim),(0yzyxfyyy ),(),(yxfyxxf 一元函数一元函数 y = f (x) 的微分概念：的微分概念：若函数的增量：若函数的增量：)()(xfxxfy 能表示为：能表示为：xAyd 则称函数则称函数 y = f (x) 在

2、点在点 x 处是可微的，并称处是可微的，并称)(xoxAy 为函数的微分为函数的微分2xS xx xx xx 2)( x 当当xxfyd )( )( xf例如：例如：2xS 22)(xxxS 2)(2xxx xxSd 2 存在时，存在时，考虑边长分别为考虑边长分别为 x 和和 y 的矩形的面积：的矩形的面积：yxS 当两边长分别取得增量当两边长分别取得增量 和和 时的改变量时的改变量x y yxyyxxS )()( yxyxxy xy yx yxS x y xyyx 第一部分第一部分yxxy 是是 的线性函数的线性函数yx , 第二部分第二部分yx 22)0,0(),()()(limyxyxy

3、x yx0lim yxyyxxS )()( yxyxxy xy yx yxS x y xyyx 第一部分第一部分yxxy 是是 的线性函数的线性函数yx , 第二部分第二部分yx 22)0,0(),()()(limyxyxyx yx0lim 0 )( oyxxyS |0 yx 2)(22yx |222baba 2 定义定义 ：如果函数：如果函数 z = f ( x , y ) 的全增量的全增量),(),(yxfyyxxfz 可以表示为可以表示为)( oyBxAz 其中其中 A 、B 与与 x , y 无关无关 ( 仅与仅与 x , y 有关有关 )22)()(yx 则称则称 z = f ( x

4、 , y ) 在点在点 ( x , y ) 处可微，处可微，),(yxfd),(yxfdzd yBxA 并称并称 A x + B y 为为 z = f ( x , y ) 在点在点 ( x , y ) 处的全微分，记作处的全微分，记作 d z 或或 证明：证明： ),( oyBxAz , 0lim0 z 得得),(lim00yyxxfyx ),(lim0zyxf ),(yxf 故故函函数数),(yxfz 在在点点),(yx处处连连续续.),(),(yxfyyxxfz 又又.)()(22yx 定义定义 ：如果函数：如果函数 z = f ( x , y ) 的全增量的全增量),(),(yxfyyx

5、xfz 可以表示为可以表示为)( oyBxAz 则称则称 z = f ( x , y ) 在点在点 ( x , y ) 处可微，记作处可微，记作),(yxfdzd yBxA 问题问题1：函数：函数 z = f ( x , y ) 在什么条件下可微？在什么条件下可微？问题问题2：在可微的条件下，：在可微的条件下，A = ？，？，B = ？)( oyBxAz )( ozd 假如假如 z = f ( x , y ) 在点在点 ( x , y )可微，可微，),(),(yxfyxfyx和和必存在，必存在，yyxfxyxfzdyx ),(),(证明：证明： 因为因为 z = f ( x , y ) 在点

6、在点 ( x , y ) 可微，可微，故故 z )( oyBxA 22)()(yx ),(),(yxfyyxxf 且且 z = f ( x , y ) 在点在点 ( x , y ) 处的微分可表示处的微分可表示为为定理定理1必要条件）必要条件）则函数在该点则函数在该点 ( x , y ) 处的两个一阶偏导数处的两个一阶偏导数（1令令 ，得，得0,0 yx ),(),(yxfyxxf xA xyxfyxxf ),(),( xxoA ) | ( ) | (xo ),(),(yxfyyxxfz )( oyBxA 22)()(yx xyxfyxxfx ),(),(lim0 xxoAx ) | (lim

7、0 ),(yxfAx （2令令 ，同理得：，同理得：0,0 yx ),(yxfBy 所以，当函数可微时，全微分可写成所以，当函数可微时，全微分可写成 yyxfxyxfzdyx ),(),(若分别取若分别取 z = x 和和 z = y ，那么那么 zdyxxxyx )()( x yyxyyx )()( y ydyxfxdyxfzdyx),(),( 所所以以记记,),(xdyxfzdxx 分别称为分别称为 z = f ( x , y ) 在点在点 ( x , y ) 处对处对 x 和和 y 的偏微分。的偏微分。xd zd,),(xdyxfzdyy zdzdzdyx yd叠加原理：二元函数的全微分

8、等于它的两个偏叠加原理：二元函数的全微分等于它的两个偏 微分之和。微分之和。叠加原理也适用于二元以上的多元函数的情形。叠加原理也适用于二元以上的多元函数的情形。如设如设 u = f ( x , y , z ) 则有则有zdzyxfydzyxfxdzyxfudzyx),(),(),( （1对于一元函数，可微对于一元函数，可微 可导；可导；几点说明：几点说明：（2对于多元函数，可微一定连续，对于多元函数，可微一定连续，（3对于多元函数，若可微，则偏导数一定存在，对于多元函数，若可微，则偏导数一定存在，问题问题3：对于多元函数，偏导数存在，函数是否一：对于多元函数，偏导数存在，函数是否一 定可微？定

9、可微？ 例例1.000),(222222 yxyxyxxyyxf试证明：在点试证明：在点)0 , 0(处有处有0)0 , 0()0 , 0( yxff 但但 f ( x , y ) 在点在点 ( 0 , 0 ) 处不可微。处不可微。证明：证明：)0 , 0(xf, 00lim0 xx0)0 , 0( yf同理同理xfxfx )0 , 0()0 ,(lim0 xxxx 000lim20证明：证明：用反证法证明函数在点用反证法证明函数在点 ( 0 , 0 ) 处不可微。处不可微。假如假如 f ( x , y ) 在点在点 ( 0 , 0 ) 处可微，则必有处可微，则必有)0, 0()0,0(fyx

10、fz )( oyBxA 由定理由定理1)()0, 0()0, 0( oyfxfyx 即有即有22yxyx 0 )(00 oyx )( o 例例1.000),(222222 yxyxyxxyyxf试证明：在点试证明：在点)0 , 0(处有处有0)0 , 0()0 , 0( yxff 但但 f ( x , y ) 在点在点 ( 0 , 0 ) 处不可微。处不可微。因此必有因此必有 220limyxyx 2200limyxyxyx 0 但当但当,)0, 0(),(时时沿沿直直线线 kxyyxxky 即有即有22yxyx 0 )(00 oyx )( o 2200limyxyxyx 22220limxk

11、xxkxkyx 21kk 与与k有关有关 ,lim2200不不存存在在yxyxyx 矛盾！矛盾！),()0 , 0()0 , 0( oyfxfzyx 即即所以函数在点所以函数在点 ( 0 , 0 ) 处不可微。处不可微。上述例子有两个重要性上述例子有两个重要性（1它具体说明了即使函数在某点处的各个偏它具体说明了即使函数在某点处的各个偏导数存在，也不能保证函数在该点可微。导数存在，也不能保证函数在该点可微。（2它给出了证明函数在某点不可微的一般方法。它给出了证明函数在某点不可微的一般方法。),(),(yxfyxfyx和和定理定理2可微的充分条件）可微的充分条件）: 假如假如 z = f ( x

12、, y ) 的偏导数的偏导数 在点在点 ( x , y ) 的某邻域内连续，那么的某邻域内连续，那么 z = f ( x , y ) 在点在点 ( x , y ) 处可微。处可微。问题问题1：函数：函数 z = f ( x , y ) 在什么条件下可微？在什么条件下可微？多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续偏导数存在偏导数存在例例2：计算：计算yxez 解：解：,yxxeyz 12 yxxz,2e 12 yxyz,22e 12 yxyxeyydexdezd222 在点在点 ( 2 , 1 ) 处的全微分。处的全微分。,

13、yxyexz 全微分的计算全微分的计算当函数可微时，全微分可表示为当函数可微时，全微分可表示为 ydyxfxdyxfzdyx),(),( 所以全微分的计算实际上就是偏导数的计算问题。所以全微分的计算实际上就是偏导数的计算问题。例例3：计算函数：计算函数 的全微分的全微分zyeyxu 2sin解：解：xu )2sin(zyeyxx 1 yu )2sin(zyeyxy zyezy 2cos21zu )2sin(zyeyxz zyey zdeyydezyxdudzyzy )2cos21(解解),2sin(yxyxz ),2sin(2)2cos(yxyyxyz dyyzdxxzdz),4(),4(),

14、4( ).74(82 224 yxxz 2224 yxyz解答解答则则且且, 1)0, 0(, 3)0, 0( yxff思考题：假设思考题：假设 f ( x , y ) 在点在点 ( 0 , 0 ) 的某邻域内有定的某邻域内有定义义dydxyxfd 3| ),()0,0( 假设假设 f ( x , y ) 在点在点 ( 0 , 0 ) 处可微，则必处可微，则必有有dydxyxfd 3| ),()0,0(假设假设 f ( x , y ) 在点在点 ( 0 , 0 ) 处不可微，则表达处不可微，则表达式式dyfdxfyx)0, 0()0, 0( 可以存在，可以存在， 但它不代表函数在但它不代表函数

15、在 ( 0, 0 ) 处的微分。处的微分。第八章作业第八章作业第三节：全微分第三节：全微分习题习题8 3: 1(1, 3), 2, 4 定义定义 ：如果函数：如果函数 z = f ( x , y ) 的全增量的全增量),(),(yxfyyxxfz 可以表示为可以表示为)( oyBxAz 其中其中 A 、B 与与 x , y 无关无关 ( 仅与仅与 x , y 有关有关 )22)()(yx 则称则称 z = f ( x , y ) 在点在点 ( x , y ) 处可微，处可微，),(yxfd),(yxfdzd yBxA 并称并称 A x + B y 为为 z = f ( x , y ) 在点在点 ( x , y ) 处的全微分，记作处的全微分，记作 d z 或或 内容回顾内容回顾定理定理1必要条件）：必要条件）： 假如假如 z = f ( x