华北电力大学,理论力学第13章机械振动基础ppt课件

1、第第13章章 机械振动基础机械振动基础13-1 机械振动及其描述机械振动及其描述13-2 单自由度系统振动单自由度系统振动13-3 两自由度系统振动两自由度系统振动13-4 机械振动的工程应用机械振动的工程应用 13.1.1机械振动现象 振动是日常生活和工程实际中常见的现象。 例如：钟摆的往复摆动,汽车行驶时的颠簸，电动机、机床等工作时的振动，以及地震时引起的建筑物的振动等。 利：振动给料机利：振动给料机 弊：磨损，减少寿命，影响强度弊：磨损，减少寿命，影响强度 振动筛振动筛 引起噪声，影响劳动条件引起噪声，影响劳动条件 振动沉拔桩机等振动沉拔桩机等 消耗能量，降低精度等。消耗能量，降低精度等

2、。研究振动的目的：消除或减小有害的振动，充分利用振动研究振动的目的：消除或减小有害的振动，充分利用振动 为人类服务。为人类服务。 振动的利弊：振动的利弊：所谓机械振动就是系统在平衡位置附近作往复运动。所谓机械振动就是系统在平衡位置附近作往复运动。13-1 机械振动及其描述3. 振动系统：按运动微分方程的形式分振动系统：按运动微分方程的形式分振动振动/ /系统分类系统分类运动方程运动方程线性叠加原理线性叠加原理线性振动线性振动/ /系统系统线性微分方程成立非线性振动非线性振动/ /系统系统 非线性微分方程不成立4. 振动分类振动分类 按激励的有无和性质分按激励的有无和性质分振动分类振动分类定义定

3、义特点与例子特点与例子固有振动固有振动无激励时系统所有可能运动的无激励时系统所有可能运动的集合集合不是现实的振动，不是现实的振动，仅反映系统关于振动仅反映系统关于振动的固有属性。的固有属性。自由振动自由振动激励消失后系统所作的振动激励消失后系统所作的振动是现实的振动。是现实的振动。强迫振动强迫振动系统在外界激励下所作的振动系统在外界激励下所作的振动随机振动随机振动系统在非确定性的随机激励下系统在非确定性的随机激励下所作的振动。所作的振动。包括物理参数具有随机性质的系统发生包括物理参数具有随机性质的系统发生的振动。行驶在公路上的汽车的振动。的振动。行驶在公路上的汽车的振动。自激振动自激振动系统受

4、到由其自身运动诱发出系统受到由其自身运动诱发出来的激励作用而产生和维持的来的激励作用而产生和维持的振动。振动。系统包含有补充能量的能源系统包含有补充能量的能源。演奏提琴。演奏提琴所发出的乐声所发出的乐声, , 是琴弦作自激振动所致。是琴弦作自激振动所致。车床切削加工时在某种切削用量下所发车床切削加工时在某种切削用量下所发生的激烈的高频振动生的激烈的高频振动, , 架空电缆在风作架空电缆在风作用下所发生的与风向垂直的上下振动以用下所发生的与风向垂直的上下振动以及飞机机翼的颤振等。及飞机机翼的颤振等。参数振动参数振动激励因素以系统本身的参数随激励因素以系统本身的参数随时间变化的形式出现的振动。时间

5、变化的形式出现的振动。秋千在初始小摆角下被越荡越高，受到秋千在初始小摆角下被越荡越高，受到的激励以摆长随时间变化的形式出现，的激励以摆长随时间变化的形式出现，摆长的变化由人体的下蹲及站直造成。摆长的变化由人体的下蹲及站直造成。(2)Af 振幅圆频率初相角13.1.2. 13.1.2. 简谐振动简谐振动 1. 1. 表示表示 2. 2. 三要素三要素( )sin()x tAt12Tf3. 周期与频率周期与频率周期周期 T 频率频率 f12fT单位：单位：T：s(秒秒) f：Hz(赫兹赫兹) ：rad/s4. 位移、速度与加速度位移、速度与加速度位移位移 速度速度加速度加速度( )sin()xx

6、tAt( )cos()sin()2dx txAtdtAt2222( )sin()sin()d x txAtdtAt 5. 位移、速度与加速度关系位移、速度与加速度关系(1) 位移、速度与加速度均为简谐函数，位移、速度与加速度均为简谐函数，且同频。且同频。(2) 速度超前位移速度超前位移90，加速度超前位移，加速度超前位移180。(3) 加速度与位移关系：加速度与位移关系： 加速度与位移成正比加速度与位移成正比, 方向相反方向相反, 指指向平衡位置。向平衡位置。2xx 旋转矢量旋转矢量简谐振动表示简谐振动表示位移、速度与加速度关系位移、速度与加速度关系xReImoMtMReImoAReImoAA

7、A26. 旋转矢量表示旋转矢量表示( )sin()x tAt()jtzAe( )Im( )sin()x tzAt( )jj tj tz tAeeAejAAe旋转矢量旋转矢量复振幅，包含振幅和相位信息复振幅，包含振幅和相位信息cos()sin()AtjAt7.复数表示二. 简谐振动合成1. 两个同频率振动合成111( )sin()x tAt12( )( )( )sin()x tx tx tAt2211221122(sinsin)(coscos)AAAAA11221122sinsincoscosAAtgAA222( )sin()x tAt同频振动合成ReIm x(t)oAA11A22111222(

8、 )sin( )sinx tAtx tAt二. 简谐振动合成2. 两个不同频率振动合成(1) 1与2之比为有理数11221222mmnTmTnTn设12( )( )( )x tx tx t12112212()()()()()( )( )( )x tTx tTx tTx tmTx tnTx tx tx t111222( )sin( )sinx tAtx tAt二. 简谐振动合成2. 两个不同频率振动合成(1) 1与2之比为有理数T为x1(t)和x2(t)合成之周期。结论： 两不同频振动合成不再为简谐振动。但频率比为有理数时，可合成为周期振动。合成振动周期为两简谐振动周期之最小公倍数。( )2co

9、ssin2( )sinx tAttA tt1212AAA若，设(2) 1与与 2之比为无理数之比为无理数结论结论:无公共周期，合成振动为非周无公共周期，合成振动为非周期振动。期振动。111222( )sin( )sinx tAtx tAt21212 cossin22Att121122( )( )( )sinsinx tx tx tAtAt21212令：，( )2 cos2A tAt(2) 1与与 2之比为无理数之比为无理数“拍拍”: 频率为频率为的变幅振动，振幅在的变幅振动，振幅在02A之间缓慢之间缓慢周期变化。包络线为周期变化。包络线为A(t)，拍频为，拍频为 。2A124212tx(t)o

10、x(t)stl0kABxomgFm 物块质量 k 弹簧刚度l0 弹簧自然长度st弹簧静变形静止时0,0stXmgk运动时0,()stXmgkxmx0mxkx20nxx常系数二阶齐次微分方程13.2.1 单自由度系统自由振动 1.单自由度弹簧质量系统模型13-2 单自由度系统振动固有圆频率式中mkn2.单自由度固有振动方程求解0012020)sin()(xxtgxxAtAtxnnn02xxn 振动方程：txtxxnnnsincos00解nxCxC020100, 0 xxxxt 初始条件：积分常数、通解：2121,sincosCCtCtCxnn无阻尼自由振动周期kmTn22固有频率mkTfnn21

11、21nnf23.单自由度系统自由振动初始条件：xxxxt)()(初始速度：初始位移：时，ttxtxtxnnn),(sin)(cos)(时刻后自由振动解：对于t=0初始条件：00)0()0(0 xxxxt，0,sincos)(00ttxtxtxnnn0012020 xxtgxxAnn，4.固有频率计算 静变形法stkmgstngmk13.2.213.2.2计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法: :原理与方法原理与方法对不计阻尼的系统，因为没有能量损失，所以可以用能量守恒原理建立自由振动微分方程，或直接求出系统固有频率。方法方法设系统任一瞬时的动能及势能分别为T及U，由机械能守恒有0)(UTd

12、td将系统能量的具体表达式代入，便可导出自由振动微分方程，并求出系统固有频率。原理原理例例1 1 弹簧质点系统弹簧质点系统 221xmT2021kxkxdxUx动能动能势能势能0)(0)2121()(22xkxxmkxxmdtdUTdtd 0kxxm 由于速度不可能恒为零k2maxmax21xmT2maxmax21kxU在静平衡位置，系统势能为零，动能最大在静平衡位置，系统势能为零，动能最大在最大位移处，系统动能为零，势能最大在最大位移处，系统动能为零，势能最大maxmaxUTmaxmaxxxn固有圆频率mkn能量守恒能量守恒考虑两个特殊位置上系统能量：考虑两个特殊位置上系统能量： 由于系统的

13、固有振动是以固有频率为振动频率的简谐振动，所以最大速度与最大位移有关系：例例2 位移计位移计k2 BWk1bcO质量块重W,摇臂AB绕支点O的转动惯量为I,两弹簧刚度为k1,k2,求系统固有频率。解22max)(2121bxIxgWTmm 2221max)(2121mmxbckxkU最大动能最大动能最大势能最大势能maxmaxUT22221/)/(bIgWkbckn能量守恒能量守恒22221)(21mxkbck 222)(21nmxbIgW设质块最大速度和最大位移为mmxx ，2/mmxbkcxb摇臂最大角速度弹簧最大伸长量例3 圆柱体微振动重重W半径半径r的圆柱体在半径为的圆柱体在半径为R圆

14、柱面内作圆柱面内作无滑动滚动。求圆柱体在平衡位置附近作无滑动滚动。求圆柱体在平衡位置附近作微振动的微分方程和固有频率。微振动的微分方程和固有频率。解 设角坐标，系统势能为2/)()cos1)(2rRWrRWUA为瞬心，质心线速度为设圆柱体转动角速度为 rrRrrRvc/)()(系统动能222222)(43)(21(2121rRgWrrRrgWrgWITA)( 320)( 320)()(232rRgrRgrRWrRgWn 弹簧串并联1.并联弹簧变形相等21kkKe等效弹簧刚度stl0mgF1 F2k1 k2stl0mgFKeststststkkkkFFkF)(2121212.串联弹簧受力相等21

15、21kkkkKe等效弹簧刚度stststlllll21210l0stmgFKe1stl1l22st21111kkKe21kmgkmgKmge21111kkKek1k2mgF 13.2.4 单自由度系统的无阻尼强迫振动单自由度系统的无阻尼强迫振动一、强迫振动的概念一、强迫振动的概念 强迫振动：在外加激振力作用下的振动。强迫振动：在外加激振力作用下的振动。 简谐激振力：简谐激振力： H力幅；力幅； 激振力的圆频率激振力的圆频率 ； 激振力的初相位。激振力的初相位。)sin(tHS)sin(tHkxxm 则令 , 2mHhmkn)sin(2thxxn 无阻尼强迫振动微分方程的标准形式，二阶常系数非齐次线性微分方程。二、无阻尼强迫振动微分方程及其解二、无阻尼强迫振动微分方程及其解 21xxx)sin()sin(21tbxtAxn为对应齐次方程的通解为特解)sin( , 22222thxhbnn)sin()sin(22thtAxnn全解为：稳态强迫振动 3、强迫振动的振幅大小与运动初始条件无关，而与振动系统 的固