哈工大大一(下)工科数学分析期末考试知识点总结-刘星斯维提整理

1、1102002班工科数学分析（下）知识点整理人：刘星斯维提（1）：曲线积分:第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：设f （x, y）在L上连续,L的参数方程为:冗（8级,则:y =屮（t）PJf (x,y)ds = Jf 申(t)，屮(t)jX(t) + 屮2(t)dt特殊情况:第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：设L的参数方程为P(x, y)dx - Q(x, y)dyL两类曲线积分之间的关L上积分起止点处切向量二(t)丿，则：=(t)P二 p ：(t)/-(t)r： (t) q(t)】t (t) dt0(系：Pdx Qdy 二(Pcos 很亠 Qcos |：,)ds，其中LL的方向角。格林公

2、式：（二9 _上）dxdy = ： Pdx - Qdy格林公式：d *:yl当p=_y,Q=x，即：印=2时，得到 D的面积:平面上曲线积分与路径无关的条件：:P()dxdyJ Jd :x:-y=Pdx QdyLA 二 dxdy J*xdy -ydxD2 L1、G是一个单连通区域;2、P（x, y）， Q （x, y）在G内具有一阶连续偏导数，且:Q:p=。注意奇点，女口 （0,0），应.:x: y减去对此奇点的积分,注意方向相反!二元函数的全微分求积在-Q = -P时，pdx Qdy才是二元函数u(x, y)的全微分，其中:jx(x,y)u(x,y) = P(x, y)dx 亠Q(x,y)d

3、y，通常设 x0 = y0 =0。(2):曲面积分:对面积的曲面积分:II f (x,y,z)ds = f x,y,z(x, y) 1 z：(x,y) z：(x, y)dxdyDxy对坐标的曲面积分:Il P(x, y, z)dydz Q (x, y,z)dzdx R(x,y, z)dxdy，其中: z! R(x,y,z)dxdyZIl P(x,y,z)dydzEiiQ(x, y,z)dzdxt:7 I I Rx, y, z(x, y)dxdy，Dxy取曲面的上侧时取正号;:7 I, Px(y,z), y,zdydz，Dyz取曲面的前侧时取正号;:iiQx, y(z, x), zdzdx，取曲

4、面的右侧时取正号。Dzx两类曲面积分之间的关系：！! Pdydz Qdzdx Rdxdy二 (Pcos很亠Qcos,：亠Rcos )dszt(3):高斯公式:111dv 二:.Pdydz 亠Qdzdx 亠 Rdxdy = ：. ( P cos 飞亠Q cos I，R cos )ds门：x刊：zv、高斯公式的物理意义通量与散度：散度:_P_Q R、div,即：单位体积内所产生科&的流体质量，若div、. ：0,则为消失通量:因此,IIA nds =Z高斯公式又可写n ds = (P cos ： 亠Q cos R cos )ds，s成：iijdiv Adv =An dsQ丈(4):斯托克斯公式曲线

5、积分与曲面积分的关系:-R(.:yg)dydz jz上式左端又可写成:空间曲线积分与路径无)dzdxL cQ+(- ex一ccydxdy=qpdxr+ Qdydydzdzdxdxdycos acosP cos=11CxcyCzIexcyCzPQRPQR关的条件：cR&QcPcRdQccyCz&CxCxCjzyk-Rdz(;P旋度： rot A二XP.：zR向量场 A沿有向闭曲线的环流量: Pdx - Qdyr:常数项级数:11n等比数列：亠-亠q2 =1 q等差数列： 1 U -2 - 3川卷n = (n1)n2111调和级数：1 u 1u2：-un ，其中 u n为任意实数; uJ 冷2 |

6、 冷3丨 一 -|u n如果 (2)收敛，则(1 )肯定收敛，且称为绝对 丄丄是发散的2 3n11:级数审敛法:11别法)1、正项级数的审敛法设：=lim n un，则n-.2、比值审敛法：设：lim乩，则nr ： U n根植审敛法(柯西判.1时，级数收敛* P1时，级数发散L p=1时，不确定：1时，级数收敛“ p1时，级数发散p=1时，不确定113、定义法:sn，u2亠亠un;lim sn存在，则收敛；否则发npC交错级数 6 -U2 73-口4(或一5u2-u3 ，un 0)的审敛法如果交错级数满足u un n -f-lim u =0n导一c那么级数收敛且其和s _u1,其余项散。-莱布

7、尼兹定理：rn的绝对值几空人111收敛级数;:绝对收敛与条件收敛:11如果 (2)发散，而 (1)收敛，则称(1)为条件收敛级数调和级数:级数:、发散，而 n1+收敛；P级数： nP 垃1时发散p 1时收敛1(5) :幕级数:23n亠X亠X 亠X 亠 亠X 亠时，收敛于1 _x_1时，发散对于级数(3)a0亠- a2x亠亠anx亠-，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全数轴上都收敛，则必存在R，使:R时收敛.R时发散，二R时不定其中R称为收敛半径。求收敛半径的方法：设a丄lim一=P,其中an， an+是(3)的系数，则 T an- 0时，R：? - :时，1_ P=R 二 02!2!(6) :函数展开成幕级数:函数展开成泰勒级数：f(x)(X0)(x_X0)f2!n!f (n 书(r充要条件是：lim Rn =0n J-:余项：Rn = (X -X0)n , f (X)可以展开成泰勒级数的(n 1)!x0 =0时即为麦克劳林公