《利用函数性质判定方程解的存在》(北师大)教案

1、利用函数性质判定方程解的存在教材分析本课是北师大版普通高中数学必修一第四章第1节的内容。函数是高中的起始课程，函数的重要性有两方面，一是函数的思想价值，二是函数的应用的价值。本节内容就是函数应用价值的体现，利用函数和其他数学知识的有机联系，从函数特征判定方程解的存在性。教学目标【知识与能力目标】让学生明确方程的解与函数的零点之间的密切关系，掌握利用函数图像性质判定方程解的存在性。【过程与方法目标】通过本节课内容的学习，进一步拓展了学生的视野，使他们体会数学当中不同内容之间的内在联系。【情感态度价值观目标】通过本节课的教学，使学生感知数形结合和从特殊到一般的数学思想。教学重难点【教学重点】零点的

2、理解，利用函数性质判定方程解的存在。【教学难点】数形结合思想的合理应用。课前准备J电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。教学过程1LJ一、导入部分方程与函数是中学数学的重要内容，它们之间存在着必然的联系，“方程的根”与“函数与轴的交点”之间有什么关系？二、研探新知，建构概念1 .电子白板投影出下面实例。解方程求的根；画函数的图像。解：方程的根为一1和3,函数与轴的交点是(一1,0)和(3,0),方程的根就是函数图像与轴交点的横坐标。2 .教师组织学生分组讨论：先让学生分析，师生一起归纳。(1)函数的零点：定义：函数的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点。方程的根、

3、函数的图像、函数的零点三者之间的联系：函数y=f(x)有零点函数y= f(x)的图像与x方程f(x)=0有实数根轴有交点(2)函数零点的判定定理：若函数在闭区间上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即，则在区间)内，函数至少有一个零点，即相应的方程在区间)内至少有一个实数解。三、质疑答辩，发展思维1 .举例：求函数-的零点。解：令，解得2 .思考1:怎么求函数的零点？解：常用方法是解方程：(1) 一元二次方程可用求根公式求解；(2)高次方程可用因式分解法求根。思考2:如何判断函数零点的个数？解：判断函数零点个数的方法主要有：(1)解方程：当能直接求解零点时，就直接求出进行判断。(

4、2)用定理：零点存在性定理。(3)利用图像的交点：有些题目可先画出某两个函数，的图像，其交点的横坐标是的零点。思考3:如何确定函数零点所在的区间？解：确定函数零点、方程解所在的区间，通常利用函数零点的存在性定理，转化为确定区间两端点对应的函数值的符号是否相反，有时需要考察函数在区间上是否连续，若要判断零点(或根)的个数，还需结合函数的单调性。3 .例题例1、求下列函数的零点:解：方程(2)由于故函数的零点是例2函数A. (1,2)解：;；(2)的两根为一5,4.故函数的零点是，方程5,4的实数根是1,1 。1,1 。-的零点所在的大致区间是(B. (2,3)C.-和(3,4)D.(e,+

5、76;°)，在(1,2)无零点，A错;在(2,3)内有零点。例3判断下列函数零点个数:；(2)解：(1)在R上单调递增,在R上单调递增，R上单调递增.又在(0,3)上有一个零点.从而知此函数只有一个零点。(2)函数对应的方程为.即求函数与图像交点个数。从而函数在同一坐标系下，画出两个函数的图像，如图，知有2个交点。有两个零点。4 .巩固练习(1)判断下列说法是否正确:函数的零点为(0,0) , (0,2);函数的零点为解：函数的零点是使函数值为0的自变量的值，所以函数的零点为0和2,故错。虽然，但1?2,5,即1不在函数的定义域内，所以函数在定义域2,5内无零点，故错。(2)函数的零

6、点有()A.0个B.1个C.2个D.无数个解：令，即一，.故的零点有2个，故选C函数一-的零点个数是()A.0B.1C.2D.3解：函数-的零点个数，即方程-的根的个数，即函数一的图像与函数-图像的交点个数；画出两者的图像(如图)，可得交点的个数为1。(4)函数的零点所在区间为()A.-B.C.D.-解：-，故选Co四、课堂小结(1)函数的零点：定义：函数的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点。方程的根、函数的图像、函数的零点三者之间的联系：/函数y=f(x)有零点_*_函数y=f(x)的图像与x)C方程f(x)=0有实数根一一一一:轴有交点(2)函数零点的判定定理:若函数在闭区间上的图像是