吴一梅赵临龙(安康学院数学系安康市725000)

1、一元函数与多元函数基本性质异同性的分析*吴一梅 赵临龙(安康学院数学系安康市 725000)摘 要：通过对一元函数到多元函数基本性质的讨论，分析了从一元函数到多元函數中异同点的原因，归纳出一元 函数丰命题的正确性在多元函数中能否得以保持的内在结构.关縄词：一元函数；多元函数；极限；连续性；可导性；可积性幺尤函数是一元函数的推广，肉此它保M着一尤怖数的许女性质，但也由自变彊的变化范由 由一维空间扩展到了 n维空间(n>2),使研究的问题更加复杂化，研究的方法更加多样化.1从一元函数到多元函数中出现的异同点我们在研究多元函数时采用了两种思想方法一种是在多个口变战同时变化的情况卜进彳J：研究，

2、 我们称为多尤法另一种是在氏中一个自变起变化，而其余的自变员暂时看作常数的情况卜进行研 究，即单一法.在幺尤隨数中的概念，有些是用务元法给出的，如极限、连续、可微、晅枳分等，而 仃些是用单法给出的，如偏导数，驻点等.在一尤函数的研究中，因它只有一个自变最，其研究问题的方法就没仃多尤法与单一法之分， 这就使得原來在一元函数中概念间的关系，在多尤隨数屮仃些会发生质的变化.1. 1 一元函数与多元函数的相同点(1) “连续=>有极限”的关系在多元函数中仍然成立.在多元隨数中，由F连续和有极限这两个 概念都是用多元法给出的，这样，一元函数/(x)在点兀处连续的表达式lrni/Ct )=/(x0

3、),可-t>.t(>以换成多元函数/(P)在点"。处连续的表达式(点P和点Po是多维空间的点)， lnn/(p )=f(p0 ).从而便皿在点氏处“连续=>有极限”的关系在多元函数中仍然成立."TP。“可微二>可导”的关系,在多元函数中也成立在多元函数中,由于可微这一概念是用多元 法给出的，/(“刃在点(x0,y0)处可微，既有 Az = 4 Ax + B + o(p)(其屮 Q = y/(Ax)2 4-(Ay)：) 成立，此式屮的心Ay是任意的，其中蕴涵了当心=o时，fv(x0,儿)存在或Ay = 0时，fx(x0, y0) 存在旳怙:况卜也成、匚

4、显然,对微这概念用单 法给出的偏导数極念所以尤濒数中“对 微n可导”的关系，在多元函数中也成立.1.2 一元函数与多元函数的相异点(1)“偏导数存在n连续”的结论不一定成立.例如，在二元函数中，/g刃在点(x°, y0)处的偏导数是由一尤曲数中的导数推广來的，而偏导数远不及导数的功能丰富.因为f T(X。，y°)和f v (x0, y°)只是分别表示几“)在点(x0, y0)处沿平行丁飞轴和y轴的变化率，它们的存在只能 保证点(x。，y°)分别沿这样两个特殊方向趙X。时，函数值/("*)趙J：f (x0, y0).但不能保证 点(x°

5、, y0)以任何方式、沿任何路径趋时，函数值八3)都趙J：f (x°, y0).因此，对多尤 函数來说“偏导数存在=>连续”的结论不一定成立.例1x-*0,y->0lim当沿直线y = la趙J：点(0, 0)时，冇x2 + y2=lim1+k2显然,该极限值随k值而改变即点(x, y)沿不同的直线趋于点(0, 0)时，极限值不相同, 故 血 仝一7不存在因此，/U>，)在点(0, 0)处是不连续的.而xtO jtO 开 + y' ' ° 一 o/f(o,o)= iim n "°丿- / 2 °)= hm +

6、°：= 0AxAxA>-° -0/v(0,0) = hm /(0,0 + "/(0,0)= hm 氐+ 0：“oAyo Av所以，P直数/(")在(0, 0)处的两个偏导数均存在，但它在(0, 0)处并不连续.(2) “连续=> 偏导数存在”也不一定成立.例2/U，y) = Vx2 + r在点(0, 0)处连续，但它在(0, 0)处的两个偏导数都不存在.这是因为 lim /(x,y)= lim </x2 + y2 =0=/(0,0),故 f(x , y)在(0 , 0)处连续，但 xt0.、t0xt0、t0 /(x,o)=F=|.q.由

7、一兀皈数的结论知/(x,o)=卜|在x = o处不可导.同理，/(o, y)= VF=|y|在 =o处也不 可导所以，/(x,y) = 7x： + r在点(0,0)处连续，但它在(0,0)处的两个偏导数/；(0,0)和/；(0,0)都不存在.(3) “偏导数存在=可微”不-定成立.在点(0, 0)处有偏导数人(0.0) = 0及/*(0.0) = 0,但在该点不可微，若旳数/(X,y)在点(0, 0)点可微，则Z-dz= /(0 + A.V, 0 + Av) - /(0,0) - /'(0,0)A.r - /' (0,0)Ay = f、，应该是较 yjx2 + y2p = J2

8、 + A 高阶的无穷小因此，考察极限= lim AVAV .当动点"(x,刃沿直线y = m.x rfii趋定点(0, QTO p QTO 厶厂 + Av*0)时，由例1知上述极限不存在，因而函数f(x,y)在原点不可微.2 一元函数与多元函数异同点的分析2.1拧关于多尤函数的命题，苴题设条件中所涉及的概念是用多尤法给出的，而结论中所涉及 的概念是用单一法给出的，则这命题的正确性也町得以保持.例如，在多尤函数中，可微和极值点两个概念是用多元法给出的，而可导和驻点这两个概念是 用单一法给出的.所以，在一元函数中的“可微二 町导”和“极值点必为驻点”两命题的正确性仍 可保持.例4讨论函数

9、z = x一巧+于一2x+y的极值.(Zx=2x-6=0解：由zy=10y+10=0 ,得稳定点几(3,-1).由 丁 Z 口 (3,-1) = 2, Zyv(3,-l) = 10, zxv(3,-l) = 0,且 zxxZy-zl=200.故/("，刃在 点(3, -1)取得极小值/(X-l) = -82.2若关J：多尤函数的命题，其题设条件和结论屮所涉及的概念均是用第元法给出的，则这一 命题的正确性，在多元函数中能够得以保持.例如，在多尤函数中的极限、连续、可微、朿积分、最大(小)值等概念，均是用多尤法给出 的.所以,一元函数中的“可微=连续”，“可微=有极限”，“连续=有极限”

10、等命题的正确性在 多尤怖数中仍然保持.5一尤函数屮的“在闭IX间上连续的朗数必可积”和“在闭IX间上连续的函数必勺最人值和最小 值”两命题，在多元函数屮，可分别推广为“在闭区间上连续的函数必存在巫枳分”和“在闭区域 上连续的函数必有最人值和最小值”.例5 若/(3)在有界闭区域D上非负连续，J1在D上不恒为零，则j7(x,y)d5>0,由J： D/gy)在d上不恒为零，则3J>0 ,及pgyJwD , f(x0.y0)>S则对J；任一分割T = 5,6”.s，设几(无，儿)丘6 则 jf f(x9y)dS = lim,由"，刃为DII i»l非负函数，则上

11、式人f(xQ,yQ)ak = 3ak > 0 ,命题得证.2.3廿关丁多元函数的命题，其题设条件屮所涉及的概念足用单一法给出的，而结论中所涉及 的概念是用多尤法给出的，则这一命题的正确件在多尤两数屮不再保持.例如，一元两数/(")在点入处可导，则有“可导二>可微”、"可导二>连续”、“可导二>有极限” 成工因为在多元函数中，偏导数概念是用单一法给出的，可微、连续、冇极限等概念是用多元法给 出的，则上述命题的正确性在幺尤两数屮不再保持，即“偏导数存在=> 可微”，“偏导数存在=连续”, “偏导数存在=>冇极限”不成立.从一兀两数到多尤函数中出现的问题可以看作是一个吊变与质变的过程