中考数学复习-一次函数与反比例函数综合题型-教案

1、.专题复习三 一次函数与反比例函数综合题型【教学笔记】1、 求一次函数与反比例函数的解析式1、 待定系数法.2、 一次函数需要两个坐标点，反比例函数只需要一个坐标点.2、 图象中涉及的三角形及有关图形面积的问题1、 反比例函数.2、 将大三角形面积看作几个小三角形面积之和3、 图形面积与坐标点之间的关系3、 交点问题根据已知量求未知量4、 根据图象直接写出自变量的取值范围数形结合的思想【典型例题】考点一：求一次函数与反比例函数的解析式【例1】（2015资阳）如图10，直线yax1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线y（x0）相交于点P，PCx轴于点C，且PC=2，点A的坐标为（1） 求双

2、曲线的解析式；（2）若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且QHx轴于H，当以点Q、C、H为顶点的三角形与AOB相似时，求点Q的坐标.解：（1）把A（2，0）代入y=ax+1中，求得a=，y=x+1，由PC=2，把y=2代入y=x+1中，得x=2，即P（2，2），把P代入y=得：k=4，则双曲线解析式为y=；（2）设Q（a，b），Q（a，b）在y=上，b=，当QCHBAO时，可得=，即=，a2=2b，即a2=，解得：a=4或a=2（舍去），Q（4，1）；当QCHABO时，可得=，即=，整理得：2a4=，解得：a=1+或a=1（舍），Q（1+，22）综上，Q（4，1）或Q（1+，22）【例2】（201

3、6资阳）如图，在平行四边形ABCD中，点A、B、C的坐标分别是（1，0）、（3，1）、（3，3），双曲线y=（k0，x0）过点D（1）求双曲线的解析式；（2）作直线AC交y轴于点E，连结DE，求CDE的面积【解答】解：（1）在平行四边形ABCD中，点A、B、C的坐标分别是（1，0）、（3，1）、（3，3），点D的坐标是（1，2），双曲线y=（k0，x0）过点D，2=，得k=2，即双曲线的解析式是：y=；（2）直线AC交y轴于点E，SCDE=SEDA+SADC=，即CDE的面积是3【课后练习】1、 （2014资阳）如图，一次函数y=kx+b（k0）的图象过点P（，0），且与反比例函数y=（m0）

4、的图象相交于点A（2，1）和点B（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求点B的坐标，并根据图象回答：当x在什么范围内取值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值.解：（1）一次函数y=kx+b（k0）的图象过点P（，0）和A（2，1），解得，一次函数的解析式为y=2x3，反比例函数y=（m0）的图象过点A（2，1），解得m=2，反比例函数的解析式为y=；（2），解得，或，B（，4）由图象可知，当2x0或x时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值2、 如图，一次函数ykxb(k0)的图象与x轴，y轴分别交于A(1，0)，B(0，1)两点，且与反比例函数y(m0)的图象在第一象限交于C点

5、，C点的横坐标为2.(1)求一次函数的解析式；(2)求C点坐标及反比例函数的解析式解：(1)由题意得解得一次函数的解析式为yx1；(2)当x2时，y211，所以C点坐标为(2，1)；又C点在反比例函数y(m0)的图象上，1，解得m2.所以反比例函数的解析式为y.3、 (2016乐山中考)如图，反比例函数y与一次函数yaxb的图象交于点A(2，2)，B.(1)求这两个函数解析式；(2)将一次函数yaxb的图象沿y轴向下平移m个单位长度，使平移后的图象与反比例函数y的图象有且只有一个交点，求m的值解：(1)A(2，2)在反比例函数y的图象上，k4.反比例函数的解析式为y.又点B在反比例函数y的图象

6、上，n4，解得n8，即点B的坐标为.由A(2，2)，B在一次函数yaxb的图象上，得解得一次函数的解析式为y4x10； (2)将直线y4x10向下平移m个单位长度得直线的解析式为y4x10m，直线y4x10m与双曲线y有且只有一个交点，令4x10m，得4x2(m10)x40，(m10)2640，解得m2或18.4、 如图，一次函数（为常数，且）的图像与反比例函数的图像交于，两点.（1）求一次函数的表达式；ABOyx（2）若将直线向下平移个单位长度后与反比例函数的图像有且只有一个公共点，求的值.解：（1）将代入反比例函数，得： 将代入一次函数，得： 4=-2k+5，解得一次函数的表达式为 （2）

7、直线向下平移个单位长度后的表达式为， 由得：，平移个单位长度后的直线与反比例函数的图像有且只有一个公 共点；=0，即，解得，m的值为1或9.5、 (2016成都中考)如图，在平面直角坐标系xoy中，正比例函数的图象与反比例函数直线的图象都经过点A(2，-2) (1)分别求这两个函数的表达式；(2)将直线OA向上平移3个单位长度后与y轴相交于点B，与反比例函数的图象在第四象限内的交点为C，连接AB，AC，求点C的坐标及ABC的面积。解析：(1) 正比例函数的图象与反比例函数直线的图象都经过点A(2，-2)，解得：yx , y=- (2) 直线BC由直线OA向上平移3个单位所得 B （0，3），k

8、bc koa1 设直线BC的表达式为 yx3 由 解得， 因为点C在第四象限 点C的坐标为(4，-1) 解法一：如图1，过A作ADy轴于D，过C作CEy轴于E. SABCSBEC S梯形ADECSADB×4×4(24)×1×2×58356解法二：如图2，连接OC. OABC，SABCSBOC=OBxc×3×46考点二：图象中涉及的三角形及有关图形面积的问题【例1】如图，在平面直角坐标系中，直线ymx与双曲线y相交于A(1，a)，B两点，BCx轴，垂足为C，AOC的面积是1.(1)求m，n的值；(2)求直线AC的解析式解：(1

9、)直线ymx与双曲线y相交于A(1，a)，B两点，B点横坐标为1，即C(1，0)，AOC的面积为1，A(1，2)，将A(1，2)代入ymx，y可得m2，n2；(2)设直线AC的解析式为ykxb，由题意得解得k1，b1，直线AC的解析式为yx1.【课后练习】1、 (2016宜宾中考)如图，一次函数ykxb的图象与反比例函数y(x>0)的图象交于A(2，1)，B两点，直线y2与y轴交于点C.(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)求ABC的面积解：(1)把A(2，1)代入反比例解析式得：1，即m2，反比例解析式为y，把B代入反比例解析式得：n4，即B.把A与B的坐标代入ykxb中得：解得

10、则一次函数的解析式为y2x5；(2)设直线AB与y轴交于点E，则点E的坐标为(0，5)，点C的坐标为(0，2)，CE2(5)7，点A到y轴的距离为2，点B到y轴的距离为，SABCSACESBCE×7×2×7×7.2、 (2016泸州中考)如图，一次函数ykxb(k<0)与反比例函数y的图象相交于A、B两点，一次函数的图象与y轴相交于点C，已知点A(4，1)(1)求反比例函数的解析式；(2)连接OB(O是坐标原点)，若BOC的面积为3，求该一次函数的解析式解：(1)点A(4，1)在反比例函数y的图象上，m4×14，反比例函数的解析式为y；(

11、2)将点A(4，1)代入一次函数的解析式中，即14kb，解得b14k.ykx(14k)，令x0，则y14k，C(0， 14k)又kx2(14k)x40.xA·xB，xA4.xB，SOBCOC·xB3，k，yx3.考点三：交点问题【例1】（2014成都中考）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线相交于点A，B两点，C是第一象限内双曲线上一点，连接CA并延长交y轴于点P，连接BP、BC,若PBC的面积是20，则点C的坐标为。【解析】解：联立直线与反比例函数可得A、B的坐标分别为（2,3）（-2，-3）； 由对称性可知； 设，则：，； 又，将C点坐标代入得：，即，即， 整理

12、得：，解得：； 所以C点的坐标为。解法2：【例2】（2015资阳中考）如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线ly轴，且直线l分别与反比例函数（x0）和（x0）的图象交于P、Q两点，若SPOQ=14，则k的值为_考点：反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数系数k的几何意义.分析：由于SPOQ=SOMQ+SOMP，根据反比例函数比例系数k的几何意义得到|k|+×|8|=14，然后结合函数y=的图象所在的象限解方程得到满足条件的k的值解答：解：SPOQ=SOMQ+SOMP，|k|+×|8|=14，|k|=20，而k0，k=20【例2】如图，一次函数的图

13、象与反比例（为常数，且）的图象交于，两点.（1）求反比例函数的表达式及点的坐标；（2）在轴上找一点，使的值最小，求满足条件的点的坐标及的面积.【答案】：（1），；（2）P ，【解析】：（1）由已知可得，反比例函数的表达式为，联立解得或，所以。（2）如答图所示，把B点关于x轴对称，得到，连接交x轴于点，连接，则有，当P点和点重合时取到等号。易得直线：，令，得，即满足条件的P的坐标为， 设交x轴于点C，则， 即【课后练习】1、 (2016巴中10分)已知，如图，一次函数ykxb(k、b为常数，k0)的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y(n为常数且n0)的图象在第二象限交于点C.C

14、Dx轴，垂足为D.若OB2OA3OD6.(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)求两函数图象的另一个交点坐标；(3)直接写出不等式：kxb的解集考点四：根据图象直接写出自变量的取值范围【例1】(2014资阳)如图，一次函数y=kx+b（k0）的图象过点P（，0），且与反比例函数y=（m0）的图象相交于点A（2，1）和点B（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求点B的坐标，并根据图象回答：当x在什么范围内取值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值.考点：反比例函数与一次函数的交点问题菁优网版权所有分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据二元一次方程组，可得函数图象的交

15、点，根据一次函数图象位于反比例函数图象的下方，可得答案解答：解：（1）一次函数y=kx+b（k0）的图象过点P（，0）和A（2，1），解得，一次函数的解析式为y=2x3，反比例函数y=（m0）的图象过点A（2，1），解得m=2，反比例函数的解析式为y=；（2），解得，或，B（，4）由图象可知，当2x0或x时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值【课后练习】1、 如图，点A(2，n)，B(1，2)是一次函数ykxb的图象和反比例函数y的图象的两个交点(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围；(3)若C是x轴上一动点，设tCBCA，求

16、t的最大值，并求出此时点C的坐标解：(1)点A(2，n)，B(1，2)是一次函数ykxb的图象和反比例函数y的图象的两个交点，m2，反比例函数解析式为，n1，点A(2，1)，将点A(2，1)，B(1，2)代入ykxb，得一次函数的解析式为yx1；(2)结合图象知：当2x0或x1时，一次函数的值小于反比例函数的值；(3)如解图，作点A关于x轴的对称点A，连接BA延长交x轴于点C，则点C即为所求，A(2，1)，A(2，1)，设直线AB的解析式为ymxn，yx，令y0，得x5，则C点坐标为(5，0)，t的最大值为AB.2、 如图，直线y1x1与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y2(x>

17、;0)的图象交于点P，过点P作PBx轴于点B，且ACBC.(1)求点P的坐标和反比例函数y2的解析式；(2)请直接写出y1>y2时，x的取值范围；(3)反比例函数y2图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形.如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由解：(1)一次函数y1x1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，A(4，0)，C(0，1)，又ACBC，COAB，O为AB的中点，即OAOB4，且BP2OC2，点P的坐标为(4，2)，将点P(4，2)代入y2，得m8，反比例函数的解析式为y2；(2)x>4；【解法提示】由图象可知，当y1y2时，即是直线位于双曲线上方的部分，所对应

18、的自变量x的取值范围是x4.(3)存在假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，如解图，连接DC与PB交于点E，四边形BCPD为菱形，CEDE4，CD8，D点的坐标为(8，1)，将D(8，1)代入反比例函数，D点坐标满足函数关系式，即反比例函数图象上存在点D，使四边形BCPD为菱形，此时D点坐标为(8，1)【课后作业】1、 （2013四川凉山）二次函数的图象如图所示，反比列函数与正比列函数在同一坐标系内的大致图象是（ ）第12题OxyOyxAOyxBOyxDOyxC解答：解：二次函数yax2bxc的图象开口方向向下，a0，对称轴在y轴的左边，x0，b0，反比例函数的图象在第二四象限，正比例函

19、数ybx的图象在第二四象限故选B2、 (2015·)一次函数的图像不经过 （ ） （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限【解析】： ，根据一次函数的图像即可判断函数所经过一、二、三象限，不经过第四象限，选D。3、 (2014·)在平面直角坐标系中，已知一次函数的图像经过，两点，若，则_.（填“>”“<”或“=”）【解析】本题考查一次函数的增减性，当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。解：，y随x的增大而增大，当时，<.故答案为：<4、 (2016·)已知P1（x1,y1

20、），P2（x2 ，y2）两点都在反比例函数的图象上，且x1< x2 < 0，则y1_>_ y2.（填“>”或“<”）5、 (2014·资阳)一次函数y=2x+1的图象不经过下列哪个象限（C）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限6、 (2014·资阳)函数y=1+中自变量x的取值范围是x37、 若点在第四象限，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】B8、 已知一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的图象如图所示，则当时，的取值范围是（ ）A或 B或C D【答案】B9、 在平面直角坐标系中，有如图所示的，轴于点，斜边，反比例函数的图象经过的中点，

21、且与交于点，则点的坐标为【答案】 10、 双曲线、在第一象限的图象如图，过上的任意一点，作轴的平行线交于B，交轴于，若，则的解析式是【答案】 11、 如图，平行四边形中，对角线交于点，双曲线经过、两点，若平行四边形的面积为，则解析：设E点坐标(a,b) B点坐标(c,0)；E是AB中点=> A 点坐标(2a-c,2b)。A，E在双曲线上 =>k=(2a-c)2b=ab=>2a-c="a"=>c=；平行四边形AOBC的面积为18=c2b=3ab=3k=>k=612、 (2015·)如图，一次函数的图象与反比例（为常数，且）的图象交于，两

22、点.（1）求反比例函数的表达式及点的坐标；（2）在轴上找一点，使的值最小，求满足条件的点的坐标及的面积.【解析】：（1）由已知可得，反比例函数的表达式为，联立解得或，所以。（2）如答图所示，把B点关于x轴对称，得到，连接交x轴于点，连接，则有，当P点和点重合时取到等号。易得直线：，令，得，即满足条件的P的坐标为， 设交x轴于点C，则， 即13、 (2014·)如图，一次函数y=-x+2的图象与反比例函数y=-的图象交于A、B两点，与x轴交于D点，且C、D两点关于y轴对称.(1)求A、B两点的坐标；(2)求ABC的面积.解：(1)根据题意得解方程组得或A(-1，3)，B(3，-1).(

23、2)把y=0代入y=-x+2得-x+2=0，解得x=2，D(2，0).C、D两点关于y轴对称，C(-2，0)，SABC=SACD+SBCD=×(2+2)×3+×(2+2)×1=8.14、 2014·甘孜)如图，在AOB中，ABO90°，OB4，AB8，反比例函数y=在第一象限内的图象分别交OA，AB于点C和点D，且BOD的面积SBOD4.(1)求反比例函数解析式；(2)求点C的坐标.解：(1)由SBOD4，得k8.反比例函数解析式为y=.(2)OB4，AB8，ABO90°，A点坐标为(4，8).设直线AO的解析式为ykx，则

24、4k8，解得k2.即直线AO的解析式为y2x.联立方程组：；解得或(舍去)点C的坐标为(2，4).15、 (2014四川雅安)如图，过轴上点A的一次函数与反比例函数相交于BD两点，于C，四边形OABC面积为4。（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求点D的坐标；（3）当在什么取值范围内，一次函数的值大于反比例函数的值。（直接写出结果）解答：（1）设反比例函数解析式为y=,将代入得 3= k=-6所以反比例函数解析式为y=;设A（0，a）,由 四边形OABC面积为4得=4，解得 a=1设一次函数的解析式y=mx+b,将，A（0，1）代入得 解得 所以一次函数的解析式为y=x+1 （2）由

25、得 y=x+1 所以点D的坐标为（3，-2）（3）x-2或0x316、 （2013四川攀枝花）如图，已知反比例函数y=（m是常数，m0），一次函数y=ax+b（a、b为常数，a0），其中一次函数与x轴，y轴的交点分别是A（4，0），B（0，2）（1）求一次函数的关系式；（2）反比例函数图象上有一点P满足：PAx轴；PO=（O为坐标原点），求反比例函数的关系式；（3）求点P关于原点的对称点Q的坐标，判断点Q是否在该反比例函数的图象上解答：解：（1）一次函数y=ax+b与x轴，y轴的交点分别是A（4，0），B（0，2），4a+b=0，b=2，a=，一次函数的关系式为：y=x+2；（2）设P（4，n

26、），解得：n=±1，由题意知n=1，n=1（舍去），把P（4，1）代入反比例函数y=，m=4，反比例函数的关系式为：y=；（3）P（4，1），关于原点的对称点Q的坐标为Q（4，1），把Q（4，1）代入反比例函数关系式符合题意，Q在该反比例函数的图象上17、 （2014四川泸州）如图，已知函数y= (x0)的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A（1，m），B（n，2）两点（1）求一次函数的解析式；（2）将一次函数y=kx+b的图象沿x轴负方向平移a（a0）个单位长度得到新图象，求这个新图象与函数 y= (x0)的图象只有一个交点M时a的值及交点M的坐标解答：解：（1）点A（1，m）

27、，B（n，2）在反比例函数的图象上， m=6，2 n =6，解得， m=6，n=3；一次函数y=kx+b的图象交于点A（1，6），B（3，2）两点 6=k+b 2=3k+b，解得， k=2，b=8，一次函数的解析式是y=2x+8；（2）一次函数y=kx+b的图象沿x轴负方向平移a（a0）个单位长度得到新图象的解析式是：y=2（x+a）+8根据题意，得 y=2(x-a)+8 y=，x2+（a+4）x+3=0；这个新图象与函数 y= (x0)的图象只有一个交点，=（a+4）2-12=0，解得，a=-4±2；当a=-42时，解方程组，得:x=3 y=2，M（ 3，2）；当a=4+2时，解方程组，得 x=3 y=2M（3，2）综上所述，a=-4±2，M（ 3，2）或M（3，2）18、 (2015·资阳)如图，直线yax1与x轴，y轴分别相交于A，B两点，与双曲线y(x0)相交于点P，PCx轴于点C，且PC2，点A的坐标为(2，0)(1)求双曲线的解析式；(2)若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且QHx轴于H，当以点Q，C，H为顶点的三角形与AOB相似时，求点Q的坐标,),)解：(1)把A(2，0)代入yax1中，求得a，yx1，由PC2，把y2代入yx1中，得x2，即