高三数学教案第二节双曲线

1、第二节 双曲线一、基本知识概要：1.双曲线的定义第一定义：平面内与两个定点距离的差的绝对值等于的点的轨迹，即点集。（为两射线；2无轨迹。）无外面的绝对值则为半条双曲线，左-右为右支，上-下为下支等。第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线的距离的比是常数的动点的轨迹。即点集=，一个比产生整条双曲线。2.双曲线的标准方程及几何性质标准方程图形性质焦点F1（-，F2（F1（，F2（焦距| F1F2|=2c 一个Rt范围对称性关于x轴，y轴和原点对称顶点（-a，0）。（a，0）（0，-a）（0，a）轴实轴长2a，虚轴长2b准线渐近线共渐近线的双曲线系方程或焦半径P在右支上，P在左支上，P在上支上，P

2、在下支上，平面几何性质，大开口大离心率焦准距准线间距=焦渐距=。说明：(1)双曲线的两个定义是解决双曲线的性质问题和求双曲线方程的两个有力工具，所以要对双曲线的两个定义有深刻的认识。(2)双曲线方程中的与坐标系无关，只有焦点坐标，顶点坐标，准线及渐近线方程与坐标系有关，因此确定一个双曲线的标准方程需要三个条件：两个定形条件，一个定位条件，焦点坐标或准线，渐近线方程。求双曲线标准方程常用的方法是待定系数法或轨迹方程法。(3)直线和双曲线的位置关系，在二次项系数不为零的条件下和椭圆有相同的判定方法和有关公式，求解问题的类型也相同。唯一不同的是直线与双曲线只有一个公共点时，不一定相切。利用共渐近线的

3、双曲线系或方程解题，常使解法简捷。(4)双曲线的焦半径，当点P在右支（或上支）上时，为当点P在左支（或下支）上时，为利用焦半径公式，解题简洁明了，注意运用，3.重点、难点：深刻理解确定双曲线的形状，大小的几个主要特征量，掌握定义，性质，掌握直线与双曲线的位置关系。4.思维方式：方程的思想，数形结合的思想；待定系数法，参数思想等。二、例题：例1：根据下列条件，求双曲线方程： (1) 与双曲线有共同渐近线，且过点；(2) 与双曲线有公共焦点，且过点。【解】：（1）设所求双曲线方程为，将点代入得，所以双曲线方程为。（2）设双曲线方程为，将点代入得，所以双曲线方程为。【思维点拨】利用共渐近线的双曲线系

4、方程解题简捷明了。要善于选择恰当的方程模型。例2：在双曲线上求一点P，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍。【解】：设P点的坐标为，分别为双曲线的左，右焦点。双曲线的准线方程为。 P在双曲线的右支上。 。把代入方程得。 所以，P点的坐标为（，）【思维点拨】运用焦半径公式，解题简洁明了.例3（2002年全国，19）设点P到点M（1，0），N（1，0）距离之差为2m，到x轴、y轴距离之比为2，求m的取值范围。解：设点P的坐标为（x,y），依题意得。 （1）因此，点P（x.y）,M(-1,0),N(1,0)三点不共线，得，因此，点P在以M，N为焦点，实轴长为2的双曲线上，故 （2）将（1）代入（

5、2），并解得，解得0，即m的取值范围为。【思维点拨】本题考查了双曲线的定义、标准方程等基本知识，考查了逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力。解决此题的关键是用好双曲线的定义。例4：已知双曲线的离心率，左，右焦点分别的为，左准线为，能否在双曲线的左支上找到一点P，使得是P到的距离与的等比中项。【解】：设在左半支上存在点P，使，由双曲线的第二定义知，即 再由双曲线的第一定义，得 由，解得： 由在中有 ， 利用，从式得 解得，与已知矛盾。 符合条件的点P不存在。 【思维点拨】利用定义及假设求出离心率的取值是关键。例5如图，在双曲线的上支有三点，它们与点F（0，5）的距离成等差数列。（1） 求（2）

6、 证明：线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标解：（1）故F双曲线的焦点，设准线为，离心率为，由题设有（1）分别过A、B、C作x轴的垂线，则由双曲线的第二定义有，代入（1）式，得，于是两边均加上准线与x轴距离的2倍，有（2）AC的中垂线方程为（2）由于A、C在双曲线上，所以有相减得故（2）式化为，易知此直线过定点。【思维点拨】利用第二定义得焦半径，可使问题容易解决，中垂线过弦AC的中点，中点问题往往把A、C的坐标代入方程，两式相减、变形，即可解决问题。例6：（备用） 已知双曲线的焦点在轴上，且过点和，P是双曲线上异于A、B的任一点，如果APB的垂心H总在此双曲线上，求双曲线的标准方程。

7、【解】：设双曲线方程为为双曲线上任一点，BN，PM是APB的两条高，则BN方程为 PM方程为 又 得，又H在双曲线上， ，所以双曲线方程为【思维点拨】设方程，消参数。例7：（备用）双曲线的实半轴与虚半轴的长的积为，它的两个焦点分别为F1，F2，直线过F2且与直线F1F2的夹角为，且，与线段F1F2的垂直平分线的交点为P，线段P F2与双曲线的交点为Q，且:=:，建立适当的坐标系，求双曲线的方程。【解】：以F1F2的中心为原点，F1，F2所在的直线为轴建立坐标系，则所求双曲线方程为，设，不妨设的方程为，它与轴交点由定比分点坐标公式Q点的坐标为 即由点Q在双曲线上可得 又 解得，所以双曲线方程为三、课堂小结：1. 渐近线是刻画双曲线的一个十分重要的概念，渐进线方程为的