第十三、十四章 重积分、曲线积分与曲面积分

1、第十三、十四章 重积分、曲线积分与曲面积分一 R积分的概念 1几何形体上的R积分定义 设函数是定义在可以度量的几何形体上的有界函数,若对于的任一分割T:,任取一点,积分和的极限存在,即.则称在上可积，且I为在上的定积分。记为 。 I存在与分割T及点的选择无关，且积分值不依赖于坐标系的选择。（1） 用语言描述R积分定义：对于任意分割T，只要，就有 。则称在上可积，且I为在上的定积分。（2） 各种不同类型积分和表示方法：积分区域名称符号几何或物理模型区间a,b定积分曲边梯形的面积平面区域D二重积分曲顶柱体的体积空间区域V三重积分物体质量曲线段C曲线积分曲线段质量变力作功曲面片S曲面积分曲面片质量流

2、过曲面S的流量 2R积分存在的充要条件： （1）； （2）。其中：；。3。可积函类： 设为有界闭区域（1） 若，则；（2） 若有界函数在上不连续点的全体是一个低于维数的图形，则。二 R积分的性质1。运算性质：若，则， ，且，为常数。 2可加性：若，则。3。不等式性质： 若，且，则。推论：若，且，则。4。中值定理（1）若；若（2）若且在上不变号，则，有。三 R积分的计算 1合理选择坐标系-积分换元法 （1）极坐标变换：。 （2）广义极坐标变换：。 （3）柱坐标变换：。 （4）球坐标变换：。 （5）广义球坐标变换：。 换元的目的：（1）描述几何形体的自变量点集要简单不要复杂；（2）被积函数要简单不

3、要复杂。 在不同坐标系下R积分的具体表达式：名称直角坐标系下积分微元曲线坐标系下积分微元求积公式二重积分三重积分 代入法斯托克斯公式 2利用各种积分之间的关系：曲线积分 样 格林公式 代入法x型y型区域二重积分曲面积分定积分 样 截面法投影法法 x-y-z型区域奥高公式三重积分 案 注：（1）关系中单箭头，可从定义出发证明。（2）关系中双箭头，为三个公式：格林公式：；奥高公式：；斯托克斯公式：S的侧与C的方向按右手法则确定。（3） 曲线积分 第一型：。 第二型： 对于闭曲线可用格林公式，斯托克斯公式。 两形关系：设是与方向一致的单位切向量，。（4） 曲面积分第一型：ab当时，积分值为曲面面积。

4、第二型：a 分项式：，（上正下负）。，（前正后负）。，（右正左负）。b 综合式：。分项计算。曲面用参数式表示，闭曲面常用此法，外侧取正，内侧取负。 c应用奥高公式，斯托克斯公式。 d若曲面为xy型区域围成的闭曲面（柱形长条）：即上、下底面分别为：， 则。若时，上式为0。 两形关系：，其中 为s上法线的方向余弦。 e各种积分的计算归结为定积分的计算。要注意定限，曲线积分型：下限小于上限；曲线积分型：下（上）限对应起（终）点。换元时，被积函数、积分区域及积分微元要同时变换。曲面积分型要注意方向，注意三大公式的应用。四 四大公式及其推论（一）微积分学基本定理及牛顿-莱布尼兹公式1 基本定理： 若，则

5、是在上的一个原函数。即。（解决了原函数的存在问题）2 牛顿-莱布尼兹公式：若是在上的一个原函数，则 。（解决了定积分的计算问题） （二）格林公式及其推论1 格林公式：若在闭区域D具有连续的一阶偏导数，则，为D的边界曲线。2 推论：设D是单连通闭区域，若在闭区域D具有连续的一阶偏导数，则以下四个命题等价：(1) 沿D的任一闭曲线c，有；(2) 对D中任一按段光滑曲线c，曲线积分与路线无关，只与起终点有关；(3) 是D内某一函数的全微分，即在D内有；（4）在D内每一点处有 。 （三）斯托克斯公式及其推论1 斯托克斯公式：设光滑曲面S的边界C是按段光滑的连续曲线，若在S（连同C）上有一阶连续偏导数，

6、则其中S的侧与C的方向按右手法则确定。2 推论：设为空间单连通区域，函数在内有一阶连续偏导数，则以下四个命题等价：（1）沿内的任一按段光滑闭曲线c，有；（2）对中任一按段光滑曲线c，曲线积分与路线无关，只与起终点有关；（3）是内某一函数的全微分，即在内有；（4）在内每一点处有 。 （四）奥高公式及其推论1 奥高公式：设空间区域V由分片光滑的双侧闭曲面S围成，若函数P、Q、R在V上连续，且有连续的一阶偏导数，则2 推论：若P、Q、R及其偏导数在单连通闭区域V上连续，则以下三个命题等价：（1） 在V上恒成立；（2）S是V上任一光滑闭曲面； （3）与S的形状无关，仅与其边界曲线有关。五 R积分的应用

7、（一）几何上的应用：1 求平面图形的面积；2 空间曲面的面积；3 曲线的弧长；4 几何体的体积。（二）物理上的应用：1 求物体的质量；2 求物体的重心；3 求转动惯量；4 求变力作功；5 求流量。六 例题1求I=，其中D是由圆和所围成的平面区域。 解：将积分区域D表为大圆D1=减去小圆D2=，再利用对称性与极坐标变换即可。 由对称性 。 所以，I=。2.求锥面与平面所界部分的表面积。 解:表面积等于曲面面积S1与平面面积S2之和.S1和S2在XOY面的投影区域Dxy的边界为椭圆:,把(2)中的Z代入(1)得,将坐标轴旋转,即令:,则(3)式化为 ,再令: ,(4)式化为 ,所以,Dxy的面积为

8、 . 对于锥面: ,两边分别对x,y求偏导数得: ; 对于平面: ,两边分别对x,y求偏导数得: ;所以, A=S1+S23.(吉林大学考研试题),求:I=,其中D是曲线 与 在第一象限所围区域.解. 令: ,区域D变换为D1=.所以,4.(福大2004年试题) 计算曲线积分为平面上任一不过原点的简单光滑闭曲线,取逆时针方向.解：（1）若曲线不包含原点，由格林公式原式=；（2）若曲线包含原点，以原点为圆心，以充分小的正数为半径作一小圆域G，边界为，及其偏导数在D-G，连续，由格林公式： 所以， 5设实数，求由曲面与平面围成的有界区域的体积。 解：曲面与平面的交线在XOY面的投影为：， ，所以，

9、 6计算曲面积分其中S是曲面的上侧。 解：取S1为XOY面上被圆所围部分的下侧，记V为S与S1所围的空间区域。则被积函数P，Q，R在V上满足奥高公式的条件，所以，。所以， 。 7计算积分 ，其中C是上半球面与圆柱面的交线，从Z轴的正向看去按逆时针方向。 解： ，由斯托克斯公式其中S为上半球面被圆柱面所截的部分。设S1、S2分别为S在第一、第四挂限部分，S1、S2在ZOX面的投影区域为D1、D2，则D1与D2面积相等。所以，设S在XOY面的投影区域为D，则，所以， 。 8设 ，D表示全平面，求。 解：令 。 9设，且满足，证明：。 证明：令。由题设，从而有，即 ， 所以，。 注：引入变上限函数转

10、化为函数等式或不等式是证明积分等式或不等式的常用方法。10。证明：如果方程在上有连续解，则必唯一。 证明：若都是方程在上的连续解，即 ，。令 ，则在连续，从而有最大值，设在上，。所以，在上，。上式令，得。所以，解唯一。11。设是0，1上的正值函数，证明：。其中，分别是在0，1上的最小值和最大值。 证明：设，因为是0，1上的正值函数，所以，由于区域D关于直线对称，从而。所以，由于，所以，。，所以， ，从而。所以，。练习题1 证明：。2 证明：若函数在区间I上存在二阶导数，且，而函数在连续，且，则。3 证明：若函数在区间上有连续导数，且，则。4 设在可积，证明：连续函数，使得。5 计算二重积分。6 证明：，其中为常数，且。7 计算闭曲面所围成立体的体积。8 计算曲线积分，其中是椭圆正方向一周。9 证明，平面上格林第二公式，其中D是光滑闭曲线C所围成的有界区域，是沿C的外法线的方向导数，。10。证明：若是光滑闭曲线C所围成闭区域D上的调和函数，则函数在D内的值可由闭曲