某大学概率论与数理统计期末考试试题3详细解答

1、1/ 111.设事件A,B仅发生一个的概率为 0.3，且P(A) P(B) 0.5，则A, B至少有一个不发生的概率为解：P(AB AB) 0.3即0.3 P(AB) P(AB) P(A) P(AB) P(B) P(AB) 0.5 2P(AB)所以P(AB) 0.1 P(A B) P(AB) 1P(AB) 0.9.2、已知一批产品中 90 淀合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05， 一个次品被误认为是合格品的概率为 0.02， 求(1)一个产品经检查后被认为是合格品的概率；(2)一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.(20分)解：设A任取一产品，经检验认为是合格品

2、B任取一产品确是合格品则(1)P(A) P(B)P(A| B) P(B)P(A|B)0.9 0.95 0.1 0.02 0.857.(2)P(B|A)P(AB)9950.9977.P(A)0.8573、已 知连续型随机变量X的分布函数为F(x)ABarcta nx,x(,)，求(1 )常数A和B, ( 2 )P( 1X1)，( 3)概率密度f(x)o( 20 分)4、已知随机变量(x，Y)的分布律为(20 分)1 23X 11/321/61/91/18问：(1)当，为何值时，X和丫相互独立。(2)求PX2 Y 15、设随机变量x服从NP，1)分布，求随机变量Y eX的概率密度2/ 11函数。（

3、10 分）6向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X和纵坐标Y相互独立，且均服从N（0,22）分布.求（1）命中环形X2y22匸e8rdrd18dxdy区域D ( x, y) |1 x2y22的概率；（2）命中点到目标中心距离Z X2Y2的数学期望.(20 分)解:(1)PX,Y) Df (x, y)dxdyD3/ 1122L1e8d(281 re rdrd40112 21得e8dxdy8e8r2dr1、r2re8edr三021?re8dr（10 分）将 3 粒黄豆随机地放入 4 个杯子，求杯子中盛黄豆最多为一粒的概率八分之三（20 分）设随机变量X的概率密度为ax 1, 0 x

4、 2, f（x）卄宀0 ,其它.（2）X的分布函数F（x）；求（1）常数a；3、（ 10 分）设随机变量X在区间（0,2）上服从均匀分布，（3）P（1 X 3）.求随机变量丫X2在区间（0,4）内的概率密度为fY（y）r2e8(2)EZ EC* Y2)4/ 112.设随机变量X服从泊松分布，且P(X1)4P(X 2)，则P(X 3).答案：11e6解答：P(X 1)P(X0)P(X 1)ee ,P(X22)e2由P(X 1)4P(X2)知ee22e即2210解得1，故P(X3)e163.设随机变量X在区间（0,2）上服从均匀分布，则随机变量丫X2在区间（0,4）内的概率密度为fY（y）.答案：

5、解答：设丫的分布函数为FY(y), X的分布函数为Fx(x)，密度 为fx(x)则FY(V) P(Y y) P(X2y) P( . y Xy) Fx(“) Fx( ,y)因为X U (0, 2)，所以FX( ,y) 0，即FY(y) FXGy)故10 4fY(y)FY(y)ifxC.y)4；y2卜0，其它.另解在（0, 2）上函数y x2严格单调，反函数为h（y） “所以1fY(y)fxG.y) - - v,0 y 4,20 ,其它.fY(y) FY(y)1 _2乙，0 y0 ,其它.4,5/ 114.设随机变量X,Y相互独立，且均服从参数为的指数分布，6/ 11P(X 1) e2，贝y,Pm

6、in( X,Y) 1.答案：2,Pmin(X,Y) 11 e-4解答：P(X 1) 1 P(X 1) e e2，故2Pmin( X,Y) 11 Pmin(X,Y) 11 P(X 1)P(Y1)5.设总体X的概率密度为X1,X2, ,Xn是来自X的样本，则未知参数 的极大似然估计量为答案：$111nlln xni 1解答：似然函数为nL(X1,L ,Xn； )(1)Xi(1)n(X1,L ,Xn)i 1f(x)(1)x ,0 x 1,0,其它In Lnln(1)nIn xii 1解似然方程得d I n Ld的极大似然估计为$ln x 0i 11.1n.In xi7/ 11二、单项选择题(每小题

7、3 分，共 15 分)1.设代B,C为三个事件，且A,B相互独立，则以下结论中不正确 的是(A)若P(C) 1,贝UAC与BC也独立.8/ 11(B)若P(c)1,则AUC与B也独立.(C)若P(C) 0，则AUC与B也独立.D ) 若C B,贝UA与C也独立()答案：(D).解答：因为概率为 1 的事件和概率为 0 的事件与任何事件独2.设随机变量X N(0,1), X的分布函数为(x),则P(|X |2)的值为(A)21(2).(B)2 (2) 1.(C)2 (2).(D)1 2 (2).()答案： (A)解答：X N(0,1)所以P(|X |2) 1P(| X | 2)1 P( 2X 2

8、)1(2) ( 2) 1 2 (2) 121应选(A).D).可见 A 与 C 不3 .设随机变量X和丫不相关，(A)X与丫独立.则下列结论中正确的是(B)D(X Y) DXDY.(C)D(X Y) DX DY.(D)D(XY) DXDY.立，所以(A)，(B)，(C)都是正确的，只能选(9/ 11答案：(B)解答：由不相关的等价条件知，xy0 cov(x,y)0D(X Y) DX DY+2cov(x,y)应选(B).4 .设离散型随机变量X和Y的联合概率分布为Y) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1)(2,2)(2,3)(X,若X,Y独立，(A)(C)16则911918,的值为(A

9、)(D)19,518,29118.10/ 11答案：（A）解答：若X,Y独立则有5.设总体X的数学期望为,Xi,X2,L ,Xn为来自X的样本，则下列 结论中正确的是（AXi是的无偏估计量. 然估计量.（c）Xi是的相合（一致）估计量 量.（）答案：（A解答：EXi，所以Xi是的无偏估计，应选（A三、（7 分）已知一批产品中 90 淀合格品，检查时，一个合格 品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为 0.02，求（i） 一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2） 一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的 概率.解：设A任取一产品，经检验认为是合格品B任取一产品确

10、是合格品（B） Xi是的极大似（D） Xi不是的估计11/ 11则(1)P(A) P(B)P(A|B) P(B)P(A|B)0.9 0.95 0.1 0.02 0.857.(2)P(B|A)迴095 0.9977.P(A) 0.857四、(12 分)从学校乘汽车到火车站的途中有 3 个交通岗，假设在各个交通岗 遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5.设X为途中遇到红灯的次数，求X的分布列、分布函数、数学期望和方差解：X的概率分布为k2k33 kP(X k) C3()()k 0,123.55即-X的分布函数为X01P275412512523368125125F(x)EX 30271258

11、1125117125x 0,0 x1,1 x 2,2x3,3 18525五、(10 分)(X,Y)在区域12/ 11D (x,y)|x 0, y 0, x y 1上服从均匀分布.求(1)(X,Y)关于X的边缘概率密度；(2)Z X Y的分布函数与概率密 度.(1)(X,Y)的概率密度为13/ 112 2x,0 x 1fx(x)WE0,其它(2)利用公式fZ(z) f (x, z x)dxZ的分布函数为zfz(z)fz(y)dy或利用分布函数法当z 0或z 1时fz(z)00 z 12z, 0 z 1,0,其它.0 , z 0, z2, 0 z 1, 1 , z1.0, z 0,Fz(z) P(

12、Z z) P(X Yz)2dxdy,0 z 1D11 ,z 1.0 ,z 0,2z ,0 z1,1 ,z 1.2z,0 z 1fzFz(z)0 ,其它.f(x,y)2, (x,y) D0,其它.其中f(x,z x)2, 0 x 1,0 z x 1 x0,其它2, 0 x 1, x z 1.0,其它.故Z的概率密度为fz(z)0,z0z02ydy, 0 z 11,z1A14/ 11六、（10 分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X和纵坐标丫相互独立，且均服从N（0,22）分布. 求（1 ）命中环形区域D （ x, y）|1 x2y22的概率；（2）命 中点到目标中心距离Z X

13、2Y2的数学期望.七、（11 分）设某机器生产的零件长度（单位：）XN（ ,2），今 抽取容量为 16 的样本，测得样本均值x 10，样本方差s20.16.（1 ）求 的置信度为0.95 的置信区间；（2）检验假设H。：20.1（显著性水平为 0.05）.（附注）t.5（16） 1.746, t.5（15） 1.753, t.25（15） 2.132,為5(15) 24.996,爲5(15) 27.488.解：（1） 的置信度为1下的置信区间为X 10, s 0.4, n 16,0.05, t0.025(15)2.1321)(1)PX,Y) Dr22e8d(x2y28dxdyf (x, y)dxdyDr2e8