概率统计复习辅导材料

1、1第一章随机事件及其概率本章介绍概率的基础概念与理论，重点内容是：(1)古典概型、几何概型和贝努里概型的概率计算；(2)利用事件的关系与独立性进行概率计算；(3)利用加法定理、条件概率公式、乘法定理、全概率公式及贝叶斯公式进行概率计算例题分析本章的重点是事件概率的计算：1.用古典概型，几何概型的定义计算概率例 随机地将 15 名新生平均分配到三个班级中去，这(1)每个班各有一名优秀生的概率；(2)3 名优秀生分在同一个班的概率。解 将 15 名新生平均分配到三个班级中的总分法数为:n= G5C10C5(1)事件A=将 15 名新生平均分配到三个班级中去，且每个班各有一名优秀生，完成事件A可分两

2、步，先把 3 名优秀生各班分 1 名共有3!种分法，再把 3 名新生平均分配到三 个班级共有CCC：种分法，由乘法原理知中完成事件A的方法数即事件A包含的基本事 件数m3!C142CsC44。故mA3!C12C8C425P(A)5 5 5nC15C10CI91(2) 事件B=将 15 名新生平均分配到三个班级中去，其中3 名优秀生分在同一个班。完成事件B可分两步，先把 3 名优秀生分在同一个班，共有3 种分法，对于这每一种分法，其余 12 名非优秀生的分法(一个班 2 名，另两个班各 5 名)共有种分法，由乘法 原理知中完成事件B的方法数即事件B包含的基本事件数mB= 3C12C15OC；5。

3、故例(852) 从1,2/ ,10共 10 个数中，每次取一个数，假定每个数被抽取的可能性都相等，取后放回，先后取出 7 个数，试求下列各事件的概率;A二7 个数中不含 1 和 10 ;2OB=数 10 恰好出现 2 次由于是有放回地抽取，故基本事件总数为107，因此15 名新生中有 3 名优秀生，求:P(B)二mBn3C122C15OC?C555911o解1oHA討3 2OP二釋J2 517252例 在区间(0, 1)中随机地取出两个数，则事件两数之和小于-的概率为5解如图 1.2 知3解 因为P(AB)二1 - P(AB),P(A)二P(AB) P(AB)，所以P(AB) =1 P(A)

4、P(AB) =1一0.7 0.3二0.6例(860) 设事件A与B相互独立且互不相容，则min(P(A), P(B)二_。解 由A与B相互独立知P(AB)二P(A)P(B)，又因A与B互不相容，故P(AB)=0, 所以P(A)P(B) = P(AB)=0因此，min(P(A), P(B)=03 利用条件概率、乘法公式进行计算例(868)某光学仪器厂生产的透镜，第一次落地打破的概率为3/10,第二次落地打破的概率为 4/ 10,第三次落地打破的概率为9/10，求透镜落地三次被打破的概率。分析 第二次落地打破的概率，实际上是指在第一次落地未打破的条件下，第二次落地 才打破的条件概率，同样，第三次落

5、地打破的概率是指在第一、二次落地都未打破的条件下， 第三次落地才打破的条件概率。解 设A:“透镜第i次落地被打破”i =1,2,3A :“落地三次，透镜被打破”，依题意A= A) *A A21“AA2A3，且A,AA2,AA2A3两两互不相容，故有 算法 1P(A) =P(AJ P(AA)巴入1入2人3)二P(AJP(A)P(A2lA)P(A)P(A2|AJP(A3|AA2)33 434 9(1)(1)(1)0.958_ 1010 101010 10算法 2 先求P(A)P(A)= P(AAA3)=P(AJP(A2|AJP(A3l AA2)2。P =1 -Pg卩内)卩(乓)81注：此题也可用古

6、典概型计算=(110 10 10421000所以，P(A) =1 -P(A) =0.958例(854)从装有红、白、黑球各一个的口袋中任意取球(取后放回)的球至少取得一次为止。求：1o 摸球次数恰好为 6 次的概率；2 o 摸球次数不少于 6 次的概率。，直到各种颜色解 设Ak: “直到各种颜色的球至少取得一次为止所需摸球次数为 则事件人、发生必为第k次首次摸到红球、或白球、或黑球，其概率为 摸到的必是其余两种颜色的球，且每种颜色至少出现一次，至多重复k次”，k =3,4,31C1-，剩下(k -1)次3概率都是1，因此31oP(Ak)4P(A6)八15“叫)10811、i, 1、2 43、3

7、丿k -2匚C七 hk =3,4,，4p (Ak) = c3(2 2 - 2) / 3k, k = 3,4，4 利用全概率公式，贝叶斯公式计算概率5例(870) 有两个箱子，第一个箱子有 3 个白球 2 个红球，第二个箱子有 4 个白球 4 个 红球，现从第一个箱子中随机地取出1 个球放在第二个箱子里，再从第二个箱子中取1 个球，此球是白球的概率为_，已知上述从第二个箱子中取出的球是白球，则从第一个箱子中取出的球是白球的概率。分析 本题第一问是考查全概率公式，第二问是求条件概率，故应用叶贝斯公式设 A=从第i个箱子中取出的球是白球 ,i= 1 , 2 ,由条件知，P(A)=3/5, P(A2A

8、) =5/9，故由全概率公式得3 53523P(A2P(A1)P(A2A1) P(A1)P(A2A!订(1 - )(1 -)=595945第二问由贝叶斯公式有应分别填MAA)二P(A)P(A2 AJ4523 5 94523例有两个箱子，第一个箱子有15235 个白球 10 个红球，第二个箱子有 5 个白球 10 个红球，现从第一个箱子中任取出 1 个球放于第二个箱子里，然后从第二个箱子中任取 箱子里，最后从第一个箱子中任取2 个球,求 2 个球全是红球的概率.1 个球放于第一个分析本题是考查全概率公式解 设A=从第一个箱子中任取出 1 个球放于第二个箱子里，然后从第二个箱子中任取1个球放于第一

9、个箱子后第一个箱子中含有i个红球,i= 4,5,6 ,B=最后从第一个箱子中任取 2 个球全是红球由条件知，P(A4)=P(先从第一个箱子中任取出红球后从第二个箱子中取出白球 )_ _55_5X-151648P(As)=P(先从第一个箱子中任取出红球+P(先从第一个箱子中任取出白球后从第二个箱子中取出红球 ),后从第二个箱子中取出白球 )61110 A.231516151648P(Ao)=P(先从第一个箱子中任取出白球= 10/15 10/16 =20/48P(BA4) = C； /C；5=6/105 P(BA6)=C； /C!5=15/105后从第二个箱子中取出红球 )P(B 乓)=C；/G

10、2 =10/1056562310=x+x75.利用贝努里概型公式进行计算例 某人有两盒火柴，吸烟时从任一盒中取一根火柴，经过若干时间后，发现一盒火柴 已经用完，如果最初两盒中各有m根火柴，求这时另一盒还的r根火柴的概率。解 假若甲盒已空而乙盒还剩r根火柴，则在这之前一定已经取过(2m r)次火柴，每1次取甲、乙盒的概率为p = q，在(2m-r)次中，恰有m次取于甲盒，(m-r)次取于乙2盒，第(2m 1_r)次必然抓了甲盒，否则不会发现甲盒是空的，因此这种情况的概率为P二R P2二Ch)22例(877)假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.70 可以直接出厂；以概率 0.30 需进一步调试，经

11、调试后以概率0.80 可以出厂，以概率 0.20 定为不合格仪器不能出厂，现该厂新生产了n(nK 2)台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立)，求：10 全部仪器能出厂的概率 ；2o 其中恰好有两台不能出厂的概率一：；3o 其中至少有两台不能出厂的概率二。分析 由于各台仪器的生产过程相互独立，故生产的n台仪器中能出厂的仪器数服从参数为(n, p)的二项分布，问题的关键是p的确定解设A= 仪器需要进一步调试，B =仪器能出厂;则A =仪器能直接出厂，AB =仪器经调试后能出厂。由条件知B二A _ AB, P( A)二0.30, P(B | A)二0.80p二P(B)二P(A) P(AB)二P(A

12、) P(A)P(B | A)-0.70 0.30 0.80=0.94记X为所生产的n台仪器中能出厂的台数，贝 UXB(n,0.94)分布，故 =PX =n =0.94n2 =PX =n-2fO.942 0.062-PX 0故得，当p .1/2, 5 引擎机比 3 引擎机飞行更安全。例(888) 某箱装有 100 件产品，其中一、二和三等品分别为80, 10 和 10 件，现从中随机地抽取一件，记1若抽到 i 等品，(i =1,2,3)乙=i0,其它试求随机变量 乙和Z2的联合概率分布。解 (乙，Z2)为二维离散型随机变量，其可能取值为(0, 0), (0, 1) , (1 , 0), (1,1

13、),故P(Z1=0,Z2=0)=P(该产品不是一等品且不 是二等品)=P(该产品为三等品)=10/100= 0.1P(Z1=0,Z2=1)=P(该产品为二等品)=10/100=0.1P(Z1=1,Z2=0) =P(该产品为一等品)=8/100=0.8P(Z1=1,Z2=1)P(该产品为一等品且为二 等品)=P( ) = 0例 设某班车起点站上的乘客数X服从参数为( .0)的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为p(0 :： p : 1),且中途下车与否相互独立，以Y表示中途下车的人数，求二维随机变量(X,Y)的分布律。解P(X =n,Y =m) = P(Y = m| X = n)P(X = n)a

14、-扎m n n _man ,=5 p (1 p)-人，0兰mW n, n= 0,1,2,n!例一汽车沿一街道行驶， 需要通过三个设有红、 绿信号灯的路口， 每个信号灯为“红 或绿”与其它信号灯为“红或绿”相互独立，且红绿两种信号显示时间相等，以首次遇到红灯前已通过的路口数，求X的分布律。解此题是有限几何分布模型，求X的分布律。P(X = 0) = p, P(X = 3) = 1 _1_1_12482.连续型随机变量的分布密度和分布函数 例(892)设随机变量X的分布函数为F (x) = A Barctgx，-: :： x ：试求：1o 系数A与B; 2oP(-1 ：X ：1); 3oX的分布密

15、度解 1o 由分布函数的性质F(-：) =0, F：)=1，知；A + B(/2)=0;X表示汽车P(X = k) =1k =1,212、A + B0/2)=1解方程组得：A =1/2, B =1/-：11F (x)arctgx,-:2兀:x :1311112P(-1 ：X ：1) =F(1)-F(-1) =( arctg1)-( arctg (-1)2兀2兀, 11 ”13of （x） = F （x） = （ arctgx）2,-：x：2兀兀（1 + x ）例（894）设随机变量X在2 , 5上服从均匀分布，现对X进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于 3 的概率。解由条件知X的分布密度

16、为1/3, 2兰X兰5;f （x）=0,其它令：3表示三次独立观测是中观测值大于3 的次数，则：3服从B（3, p），其中p为512p二p（x . 3）=33dx= 333222232320故有P（：3一2）七3（；） （1-2）弋3（2）33327例（20021）设随机变量X服从正态分布 N （巴2），且二次方程y2+ 4y + X= 0无实根的概率为本 1/2U 卩=。解由二次方程y24y X = 0无实根的条件知24-4X : 0,故P（164X c0） =1/2,P（X 4 0） =1/2,卩=4例（896）设随机变量（X,Y）的概率密度为f(x,y)(R72 2、x y ),x2y2

17、：R2;y2_ R2试求 1 0 系数c；解：2o（X ,Y）落在圆x2y2r2（0 ：rR）内的概率。1 = j 三日(x,y)dxdy =FR3= cR3! ic(R -x2y2)dxdyy2:R2_c i匕x2y2dxdyx2y2:R2R 2二i i ；(令x =cos J,y=sin v)2R3cR3x2143_3二(x,y): x2y2三r2；所以c2o15卑(1-空)3R 3R注利用分布函数的基本性质可以确定待定系数，从而可以计算二维随机变量落在某一 区域内的概率，值得注意的是计算过程中，由于f(x, y)通常是分区域函数，故积分区域要特别小心，以免出错。例(898)考虑一元二次方

18、程x1 2Bx 0，其中B,C分别是将一枚骰子接连掷两次 先后出现的点数，求该方程有实根的概率p和有重根的概率q。解 方程x2Bx C 0有实根的充要条件是判别式 厶二B2-4C_0或C B2/4, 由条件知，本枚骰子掷两次，其基本事件总数为36,且B123456使C兰B2/4的基本事件个数012466使C B2/ 4的基本事件个数010100故使方程有实根的基本事件个数为0 + 1 + 2+ 4 + 6 + 6= 19所以p =19/36，使方程有重根的充要条件是B2=4C，满足此条件的基本事件个数为0+ 1 + 0+ 1 + 0 + 0= 2因此q =2/36 =1/18例(900)设随机

19、变量(X,Y)均匀分布于以(1,0)，(0,1)，( 1,0), (0, 1)四项点所构成的正方形中，求X与丫的边缘密度函数。解如图 2.31/2, |x| + |y|10,其它X十110 当一1： X ：0时，fx(x) = :Hf (x, y)dy = x 1A 11dy = _x 1x42所以1X的分布函数F(x)二PX乞x；2X取负值的的概率p。P(X,Y)c(R- . x3y3)dxdyD=c ” Rr2f (x, y)= “QQ当0岂X1时,fx(x)二.f (x, y)dy二.、fx(x)二V | x |, _1 ex c1;0,其它162o 类似 1o 可得11,P X =1；

20、在事件84 1出现的条件下，X 在(-1, 1)内的任一子区间上的条件概率与该子区间长度成fY(y)=1|y|, 1yw1o,其它设随机变量x的绝对值不大于 1 ；PX = -1 -1 ： ：X正比。试求17115P -1 ： X ： 1 = 1 -848故在一1 ： X :：: 1条件下，事件一1 ： X乞x的条件概率为x +1P一1 ： X岂x -1 ： X :：: 1(注意该式？)于是，对于一1 ： x ：:1,有P一1 ： X乞x二P一1 ： X乞x,1 ： X :：: 1(注意该式？)x +155(x +1)=P 1 v X 兰 x 1 v Xc * ，P 1 c X 1=汉一=-2

21、 8 161 5x + 5 5x + 7F(x)二P(X空 一1) P(1 ： X Ex二58 16 16对于x _1,有F(x) =1.从而”0,xc-1F (x),-1 _ x ： 1161,x _1(2)X取负值的的概率7 p = PX ： 0 = F (0) - P X = 0= F (0)=3 .随机变量函数的分布例 设随机变量X1,X2的概率分布为r-1 01、广 01、X1X2J/4 1/21/4J/2 1/2且P(X1X2=0)=1，求(X1,X2)的联合分布。解(X1,X2)为二维离散型随机变量，由条件P(X1X2=0)=1知P(X1X2= 0) =0故P(X1= - 1,X

22、2=1) P(X1=1,X2=1)=0由联合分布与边缘分布的关系立得P(X-1,X0 P(X1=1,X2=0) =1/4P(X0,X1) -1/2, Pg =0,X2=0) =0例(910)设随机变量X在(0,2二)内服从均匀分布，求随机变量 丫二COSX的分布密度。解由条件知X的分布密度为1/ 2兀,0 c x v 2兀,f (x)一0,其它由于函数y二cosx在(0,2 )内为分段单调函数，其反函数分别为捲 =arccosy, xt) = 1 _P(X!t, X2t, X3t) =1 _1 _F(t)3=1 _e，t-eX,t010,tYJ,若X 2丫（i ）求（U ,V）的联合分布；（i

23、i）求U与V的相关系数r。解（U ,V）为二维离散型随机变量，其可能值为（0,0），（0,1），（ 1,0），（ 1,1）；由条件知（X,Y）的联合概率密度为0, (x, y)八G(i)P(U=0, V=0) =P(XY, X 2Y)=P(X WY)P(U=0, V=1) = P(X2Y)=P（）=0P(U=1, V=0)1n=_ ,P4(U =1, V =1)2（ii），由（i )知广01、广01UV订/4 3/4丿633 .随机变量函数的数字特征计算公式：一维随机变量EYg(Xi)P(X二Xi)或EYg(x)fx(x)dx-匚iDY二EY2- (EY)2(X,Y)的函数Z =g(X,Y)的

24、数字特征的计算公式EZ八 g(x,yJP(X=冷丫二yj iEZ二g(x, y)f(x,y)dxdy,2 2DZ二EZ -(EZ)212例 已知连续型随机变量X的概率密度函数为f(x)=-1e，则X的数字期望为3 2222DY =EY2- (EY)2=1-(-)2=1 -* 2兀兀例(954) 假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周 5 个工作日里无故障，可获利润10 万元；发生一次故障可获利润5 万元；发生二次故障所获利润 0 元；发生三次或三次以上故障就要亏损2 万元，求一周内期望利润是多少？X函数Y = g( X)的数字特征的计算公式二维随机变量;

25、方差为。解此题简单解法是利用正态分布的均值与方差已知直接写出，即把型，从而有EX -1, DY -1/2。例(947)一零件的横截面是圆，对截面的直径进行测量，设其直径服从区间的均匀分布，则横截面积的数学期望为_，而面积的方差为_分析此题是计算均匀分布随机变量函数的期望与方差，由公式得1 -dx2240 x2兀f (x)dx =442:二x2x2ES2:二X2) f(x)dx-416JI-3 1dx2f (x)变形为标准0，2上。DS =ES2_(ES)2,224:ji七)4526Y-|X |，求Y的概率密度及EY,DY。解 此题计算Y的期望与EY2时可直接用公式：x2 2 _ 2EY二E|X

26、|=.x| e2dx二；y.-.：2, 2二2 2 2 2EY =E|X|=EX =DX (EX) =10 =1分析 若以X表示一周 5 天内机器发生故障的天数，Y表示一周利润，则丫为X的函数,故问题化为求随机变量Y的数学期望。解 由条件知X B(5,0.2)，即PX二k二C；0.2k0.85七k =0,1,510, X =0;5, X =1;丫二g(X)二0, X = 2;-2, X _35EY二Eg(X)八g(k)PX二kk=0=10 PX =0 5 P X =10 PX =2-2 PX =3 PX =4 PX =5=10 0.328 5 0.410-2 0.057 =5.216(万元)三

27、.大数定律和中心极限定理1)用切比雪夫不等式来估计事件的概率及试验次数n。要点：1。合理选择随机变量X; 2o 求出EX, DX; 3o 根据题意利用切比雪夫不等式进行 计算。例(960)已知随机变量X的数学期望EX =100,方差DX =10，试用切比雪夫不等式估计X落在(80, 120)内的概率。解由切比雪夫不等式10 P(80：X : 120) = P(| X100卜：20) _ 12=0.97520例(964) 在每次试验中，事件A发生的概率为 0.75,利用切比雪夫不等式求：1o 在 1000 次独立试验中，事件A发生的次数在 700-800 之间的概率；2on为多大时才能保证在n次

28、重 复独立试验中事件A出现的频率在 0.74 0.76 之间的概率至少为 0.90。解 1o 设X表示在 1000 次独立试验中事件A发生的次数，则X - B(1000,0.75)，且EX二np二750 DX二np(1 - p)二187.5将事件700 : x : 800化成切比雪夫不等式中的标准形式| X - EX卜：；，得700 : X : 800二700 -750 ： X - 750 : 800 750 =| X - EX卜：50在切比雪夫不等式中取:-50，则有DX1875P700 ： X : 800 = P| X - EX卜：50 _ 12=1502500=1 - 0.075 =0.

29、9925兀4兀2解分别填一和。345272o 因事件A出现的频率为X/n,故将事件0.74 ： X / n ： 0.76化成标准形式| X - EX |一x0.740.76 =0.74n ： X : 0.76nn-0.74n -0.75n ： X -0.75n ： 0.76n - 0.75n= -0.01 n ： X EX ：0.01n-| X EX卜：0.01n(EX =0.75n, DX =0.1875n)在切比雪夫不等式中取=0.01 n，则有XDXP0.740.76 = P| X - EX | ： 0.01n - 12n(0.01 n),0.1875n, 1875=12=1-(0.01

30、 n)2n1875由题意取10.90可解得n _ 18750，即至少做 18750 次重复独立试验，可使事件A出n现的频率在 0.74 至 0.76 之间的概率至少为 0.90。例(961) 设X为连续型随机变量，c为常数，名0,求证P| X _c宦硏兰E 1X _c|z分析 此类概率不等式的证明，一般考虑用切比雪夫不等式或直接从定义用类似切比雪 夫不等式的方法来证。证 设X的密度函数为f(x)，则P| X -c|_ ;二f(x)dx|x -c| _； N(20 5,20) = N(100,),y123故不105100P(V 105) ： 1 P(V 105) =1一门() 0,. X是的一致

31、估计。znz2设(XX2,Xn)为总体N(；)的一个样本，试证存在常数C，使E(X二)2= D(X)例n-1e(Xi 1-Xi)2为匚2的无偏估计。i1证E J (Xi 1-Xi)2二“E(X_ iiAn 4(二2-22订二2；2)=c(n-1)22i =1_2 2要使c(n-1)2-，只须取c=1/2(n-1)4.例均值X解n-1n-1i1-Xi)2E(Xi21)-2E(Xi1Xi) E(Xi2)l=1计算题( 972)设总体X服从泊松分布P( ), (X,X2/,Xn)为X的一个样本，求样本的概率分布。由于(X1,X2,Xn)为P()的样本，故由泊松分布的可加性知_ nnX =為Xi P(

32、n )iA即X的分布列为 k(n )kP(X) =P(nX二k)e, k = 0,1,2,nk!例 设总体X服从泊松分布P(),(Xi,X2,Xn)为来自X的一个样本，求34351O（Xi,X2,，Xn）的概率分布;22oEX,DX和ES的值。解 1o 由于X P（ ），故xPX =x e- x二01,2, x!故(Xi，X2,Xn)的概率分布为nPXi=Xi,X2=X2, ,Xn =Xn | (i Ak)Xxi1n1nE(X) =E(、Xi)=EXi=EX = ,ni二n y- 1n1n1D(X) = D(xi)DXiDX =Jn yni-1nn21nES2二E(Xi-X)2二1n2-xEX

33、i2-n E(X)|l_n -1i 4n - 1 -i吕2o 因为E(X)二, D(X),所以DXi(EXi)21DX n-1上述结论对任意总体n -1X均成立，D(X) (EX)21n -1=DX =12E(X)二EX, E(X) DX , ES二DX。n例（977）设总体X服从（片己T2）上的均匀分布，即f(X)=;,X口1门1出;360,其它其中齐门2为未知参数，试求 片门2的矩估计。“X丄dx = X|厂1弓二22飞1E(X)2由矩估计定义得两个方程:丄EX=3762-= X ,2 2 V；- “七 3解方程组，得到d2的估计。其它n0,闵=空立（丄瓦X： （X）2）ni二例设总体X的

34、概率密度为le诸f（X）=00,。=、：12M2 = X孚(I ： 0,:;三R)x :求未知参数:-和：的矩估计和极大似然估计(1)DX =X-:xdx =:0-：(x - ： - - )20 x-;-：dx二2(2)nxi 1 Ii =1,2, ,n0,(*)方程（*）：ln LC ,) I n n 厂2(x-：) = 0(*)无解,由于L（a,0）是a的单调增函数（当xi色口时），故P（X :：t）的极大似卢2的极大似然估38-rnXi，-Xi?nXi例（981）设（Xi,X2/,Xn）是正态总体NC2）的样本，试然估计。解 本题的关键是将P（X ：t）看作参数 匕二2的函数，从而代于3

35、9X - |计可得P（X : t）的极大似然估计，由于.n N（0,1），故CF-X4 Lt f-t-P（X ：t）=P（n ：,n）=：（）E?4Eg)3D?=E&2)-(E1)2x2 x2dx =二 寸3-215405故弓比?2有效。例设总体X服从参数的泊松分布，即.kP（X -k） e，k =01,2, k!412（X1,X2/ ,Xn）是X的一个样本，试求的无偏估计。分析 求参数函数的无偏估计通常是用常用统计量的组合来构造；其结果一般不唯一。注X是的无偏估计，但X2不是2的无偏估计，即无偏估计的函数不是待估参数函数的无偏估计。例（989）假设 0.50, 1.25, 0.80, 2.00 是来自总体X的一组观测值。已知Y =In X服从正态分布N （ 1）求X的数学期望EX（记为b）; （ii ）求的置信度为 0.95 的置信区间;由于y=0,U0.025=1.96，故的置信度为 0.95 的置信区间为（一 0.98, 0.98）iii）由于b为的函数，故b的置信区间可由J的置信区间推出，由函数ex的严格单调递增性知1也0.95二P（0.48亠卜：1.48） = P（e48: e2： e1.48）2故b的置信度为 0.95 的置信区间为（e45