重积分与曲线积分

1、第九章 重积分与曲线积分教学与考试基本要求：1理解二重积分的概念、几何意义，掌握二重积分的性质；2会将二重积分化为二次积分，交换积分次序；3会在直角坐标系和极坐标系下，计算二重积分.9.1二重积分的概念与性质一、主要内容回顾表9.1二重积分的概念与性质定义设在有界闭区域内有界.将任意分成个小闭区域,任取,作记,若有确定的值,则称该值为在区域上的二重积分,记为,即=.几何意义当,表示以区域为底,曲面为顶的曲顶柱体的体积.当时, =区域的面积.存在性若在有界区域上连续,则存在.性质运算性质可加性设,则=有序及估值性若在区域上,则;若在区域上, 则.中值定理若在有界闭区域上连续,是的面积,则存在,使

2、=. 二、本节基本考试题型及配套例题题型1.利用二重积分的几何意义确定下列积分的值. (1) ,其中;(2) ,其中.解 (1)曲顶柱体的底为圆盘,顶是下半圆锥面,故曲顶柱体为一底面及高均为R的圆锥体,所以 =.(2) 曲顶柱体的底为圆盘,顶是下半球面,故曲顶柱体是以R为半径的半球体,所以 =.题型2.利用二重积分的性质估计下列积分的值.(1) ,其中,.(2) ,其中.解 (1)在区域内,有,所以.(2)在区域内,有,所以 .三、习题选解(习题9 1)1用二重积分表示下列曲顶柱体的体积，并用不等式组表示曲顶柱体在坐标面上的底（）由平面所围成的立体；（）由椭圆抛物面及平面所围成的立体解（1）

3、因为与平面的交线为 则此曲顶柱体在坐标面上的底为：（2） 因为椭圆抛物面与平面的交线为椭圆则此椭圆抛物面在坐标面上的底为：利用二重积分性质比较与的大小，其中由轴、轴及围成解 因为当点时，有 所以利用二重积分的几何意义，不经计算，直接给出下列二重积分的值：（），；（），解(1) 因为，而表示半径为1的圆， 所以 从而（2）根据二重积分的几何意义，表示 半径为的半球的体积 所以 9.2二重积分的计算一、主要内容回顾表9.1二重积分的计算法直角坐标系（1）若区域为型，即 则 =（2）若区域为型，即 则 =极坐标系（1）极点在外, 即=;（2）极点在的边界上, 即=;（3）极点在内, 即=. 对称性关

4、于轴对称（1）如果对任意一点则;（2）如果对任意一点则其中为位于轴右边的那一部分.关于轴对称(1)如果对任意一点则;(2)如果对任意一点则其中为位于轴上边的那一部分.关于原点轴对称(1)如果对任意一点则;(2)如果对任意一点则=2其中为位于轴右边的那一部分, 为位于轴上边的那一部分.二、本节基本考试题型及配套例题题型1.改变下列二次积分的次序. (1) ;(2) ;(3) ;(4) .解 (1)积分区域见图形9.1,表示成型区域为,于是=. (2) 积分区域见图形9.2, 表示成型区域为,于是=. (3) 积分区域见图形9.3, 表示成型区域为,于是=.(4) 积分区域D见图形9.4, 表示成

5、型区域需将区域D分成两部分:,于是=+.题型2.在直角坐标系下计算下列二重积分.1.其中是由直线与双曲线所围成的区域.2.其中是由直线所围成的区域.3.其中是由与所围成的区域.解(1) 积分区域D见图形9.5.先关于积分,然后再对积分,则 =.(2) 积分区域D见图形9.6.先关于积分,然后再对积分,则=(.(3) 积分区域D见图形9.7.先关于积分,然后再对积分, 则由对称性有=但这个二次积分不易计算,我们改为先关于积分,然后再对积分, 则由对称性有=.题型3.在极坐标系下计算下列二重积分. 1. ,其中是由圆周,与直线所围成在第一象限内的区域.2. ,其中是由圆周所围成的区域.解(1)在极

6、坐标系下, 积分区域D见图形9.8,且,于是=.(2)在极坐标系下, 积分区域D见图形9.9,且,于是= =.三、习题选解(习题9 2) .1把二重积分化为二次积分其中积分区域是：（）由曲线与围成的区域；（）由曲线与围成的区域；（）由曲线，围成的区域；（）由，围成的区域解（1） 曲线与的交点坐标为所以 （2） 曲线与的交点坐标为所以 （3） 曲线与的交点坐标为所以 （4） 改变下列二次积分的积分次序（）；（）；（）；（）解（1） （2） （3） （4） 画出下列二重积分的积分区域并计算：（），；（），由，所围成；（），；（），由，围成解（1） （2） （3） （4） 画出下列积分区域，把二重积

7、分化为极坐标系中的二次积分（先积，后积）（）；（）由围成；（）解（1） （2） （3） 画出下列二重积分的积分区域，并计算：（），；（），；（），；（），解（1） （2） （3） （4） 9.3二重积分的应用一、主要内容回顾表9.1二重积分的应用几何应用体积以区域为底,曲面为顶的曲顶柱体的体积为曲面面积设曲面的方程为，它在平面的投影区域为 则曲面的面积为 物理应用平面薄片的重心 设有平面薄片占有平面区域为，在点处的面密度为， 为平面薄片重心的坐标，则，平面薄片的转动惯量设有平面薄片占有平面区域为，在点处的面密度为，则平面薄片关于，坐标原点的转动惯量分别为二、基本考试题型及配套例题题型1求柱面被

8、所截得部分体积解柱面被所截得部分立体如图.10所示，根据对称性，立体的体积为 其中，下面采用极坐标计算在极坐标下，于是题型2 求锥面被柱面所割下部分的面积.解 设锥面被柱面所割下部分的面积为,则.其中, 区域.于是;.从而=.题型3求由所围成的均匀薄片的重心.解 设均匀薄片的重心的坐标为,占据的区域则:, 且, .三、习题选解(习题9 3)1求下列曲面所围成的立体的体积：（1）；（2）解（1） （2） 设平面薄片所占的区域由抛物线及直线所围成，它在处的面密度，求此薄片的重心解 设此薄片的重心为， 则 ； 求平面被三坐标面所割出部分的面积 解 平面方程可以改写为：， 求由抛物线及直线所围成的均匀

9、薄片（面密度为常数）对于直线的转动惯量 解 9.4三重积分一、主要内容回顾表9.1三重积分的概念与性质定义设在有界闭区域内有界.将任意分成个小有界闭区域,任取,作,记,若有确定的值,则称该值为在区域上的三重积分,记为,即=.存在性若在有界区域上连续,则存在.性质运算性质.可加性设,则=+.有序及估值性(1)若在区域上,则.(2)若在区域上, 则. .中值定理若在有闭界区域上连续,是的体积,则存在,使=.在直角坐标系下的计算设在平面的投影区域为,表示为,则=. 二、本节基本考试题型及配套例题题型1.填空题.1. 设是一个以为半径的球体,则=.2. 设是一个以为底圆半径高为的圆锥体.题型2.在直角

10、坐标系下计算下列三重积分. 1.,其中:.2.,其中为三个坐标面及平面所围成闭区域.解 1由对称性= =.2=.三、习题选解(习题9 4)1设有一物体，占有空间区域在点处的密度为，求该物体的质量解 利用直角坐标计算三重积分：（），其中为长方体：；（），其中为由三个坐标面与平面所围成的立体解（1） （2） 9.5曲线积分一、主要内容回顾表9.1曲线积分的概念与计算对弧长的曲线积分定义设在光滑曲线内有界.将任意分成个小弧段,任取,作记,若有确定的值,则称该值为在曲线上的曲线积分,记为,即=.性质(1);(2);(3) .计算方法(1)若曲线的方程为,具有连续的导数, 在曲线上连续,则=.(2)若曲

11、线的方程为,则 =.-对坐标的曲线积分定义设在平面从起点到终点光滑有向曲线内有界.在上沿的方向依次任意插入个分点将分成个个小弧段,任取,记,若,有确定的值,则称前一个极限值为沿有向曲线上对坐标的曲线积分,记为,即=.后一个极限值称为沿有向曲线上对坐标的曲线积分,记为,即=.性质(1) .(2) .计算方法(1)若有向曲线的方程为,对应起点, 对应起点,当由单调地变到时,相应曲线上点从变到, 在有向曲线上连续,则=.(2)若有向曲线的方程为对应起点, 对应起点,在有向曲线上连续,则= .(3)若有向曲线的方程为对应起点, 对应起点,在有向曲线上连续,则 =. 二、本节基本考试题型及配套例题题型1

12、.填空题 1.设平面曲线弧上每一点的线密度为,则曲线弧的质量为.曲线弧的重心坐标,.2.设平面的有向曲线弧:的起点为原点,终点为,则.题型2.计算下列各种形式的曲线积分.1.,其中为圆在第一象限内的部分;2. ,其中为摆线的一拱:;3., 其中为抛物线上从点到点的一段弧;4., 其中为圆周按逆时针方向绕行.解 1. 的参数方程为, 于是= =.2. = = = = = .3. =.4.将化为参数方程:,则,于是=.三、习题选解(习题9 5)1计算下列曲线积分：（1），其中为连接与两点的直线段；（），其中为圆周，直线及轴在第一象限中所围图形的边界；（），其中是点与点间的直线段解(1) （2） （3）直线的方程为：， 即 则 计算对坐标的曲线积分.（），其中是抛物线从点到点的一段弧；（），其中是从点到点，再从点到点的折线；（），其中为圆周上由到的一段弧解（1） （2） （3） 复习题 九1 填空题（1）；（2）； (3) ; (4) 2.选择