项式知识点十大问题练习含答案

1、(a b)n C0an C1an1b 卅 C：an| C：bn(n N ),2. 基本概念： 二项式展开式：右边的多项式叫做(a b)n的二项展开式 二项式系数：展开式中各项的系数Cn (r 0,1,2, ,n). 项数：共(r 1)项，是关于a与b的齐次多项式 通项：展开式中的第r 1项C；anrbr叫做二项式展开式的通项。用Tr1 C：an rbr表示。3. 注意关键点： 项数：展开式中总共有(n 1)项。 顺序：注意正确选择a, b,其顺序不能更改。(a b)n与(b a)n是不同的。 指数：a的指数从n逐项减到0 ,是降幕排列。b的指数从0逐项减到n，是升幕排列。各项的次数和等于n.

2、系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是C：,C：,C：, ,Cn, ,C；.项的系数是a与b的系数(包括二项式系数)。4. 常用的结论：令a 1,b x, (1 x)n CO C：x C2x2 川 C：xr 川 C：xn(n N ) 令a 1,b x, (1 x)n C： C：x C；x2 川 C；xr 川(1)nC：xn(n N )5. 性质： 二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即C；，C：Cnk2n， 二项式系数和：令a b 1,则二项式系数的和为C； C； C：川cn川C：变形式 C： C：川 Cn III C： 2n 1。 奇数项的二项式系

3、数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令 a 1,b1，则 C0 C； C2 C； I” ( 1)nC； (1 1)n0，从而得到：Cn C； C： CnrCn C； III C；r1 奇数项的系数和与偶数项的系数和: 二项式系数的最大项：如果二项式的幕指数n是偶数时，则中间一项的二项式系数C 取得最大值。n 1 如果二项式的幕指数n是奇数时，则中间两项的二项式系数CF, n 1C了同时取得最大值。 系数的最大项：求(a bx)n展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别A 1 A为Ai, A2, , An 1，设第r 1项系数最大，应有，从而解出r来。Ar 1 Ar

4、2专题一题型一：二项式定理的逆用；例: cn C： 6 C； 62 I” C： 6n1 .解：(1 6)n C0 C； 6 C： 62 C： 6；川C： 6n与已知的有一些差距，练：C： 3C； 9C；川 3n1C： .解：设Snc：3Cn9Cn3HI 3n 1Cnn，则3SnchC：32Cn33IIIC：3：Co ch Cn32 丄33 HI c；3n 1 (1 3)n 1Sn(13)n 14n133题型二：利用通项公式求xn的系数;例：在二项式(4 13 x2)n的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有x3的项的系数解：由条件知Cnn 2 45，即C； 45， n2 n 90 0,解得n9

5、(舍去)或 n 10，由1210 r 2rTr 1 C；0(x 刁)10 r(x3)r C；°xK*，由题意-r 3,解得 r 6，43则含有x3的项是第7项T6 1 C1ox3 210x3 ,系数为210。练：求(x2 )9展开式中x9的系数2x解: Tr 1 C；(x2)9r(丄)r C；x182r(丄)rx r C9( )rx18 3r，令 18 3r 9,则 r 32x22故x9的系数为c3（y 21。题型三：利用通项公式求常数项;解:解:例：求二项式（X210的展开式中的常数项解：Tr i C；(X2)10 rrr 1 r 20 .|rGoQ) x 2，令 2052r。，得

6、r 8，所以8 1 845T C10(2)256求二项式(2x )6的展开式中的常数项2xTr 1 C6(2x)6r( 1)r(丄)r ( 1)rc；26 r)rx6 2r，令 6 2r2x233T4 ( 1) C620若（x2$n的二项展开式中第5项为常数项，则n _xT5 C：（x2）n 4（丄）4 C：x2n12，令 2n 12 0，得 n 6.x题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项; 例：求二项式（'、X 3 x）9展开式中的有理项1127 r解: J C9r(x2)9r(x3)r (1心汀，令 亍 Z'(0 r9)得r3，所以所以当 r 3 时，辽丄 4，T4

7、( 1)3C；x484x4，6当 r 9 时，27 r 3，T10 ( 1)3C9x3x3。6题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和； 例：若（Jx2 -12）n展开式中偶数项系数和为 256，求n.解：设C.F -3）n展开式中各项系数依次设为ao,a1, an,vx令x1,则有a。a1an 0,，令x 1,则有a。a1 a?a3nn(1) an2 ,将-得：2(ai a3 a5)2n, ai a32n有题意得，2n 125628 ,n 9解:Crn的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。c： c32n2n 11024，解得 n 11所以中间两个项分别为n 6,

8、 n 7，T51筈1)6。5 !)5 462 x 4，61T6 1462 x题型六：最大系数，最大项；1例：已知e 2x)n，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求 展开式中二项式系数最大项的系数是多少解：C： 2C5, n2 21n 98 0,解出n 7或n 14，当n 7时，展开式中二项 式系数最大的项是T4和T5 T4的系数 C；(f)423 35,，T5的系数 C；(1)324 70, 当n 14时，展开式中二项式系数最大的项是 T8，T8的系数 Cl4(-)727 3432。2练：在(a b)2n的展开式中，二项式系数最大的项是多少解：二项式的幕指数是偶数2n，则

9、中间一项的二项式系数最大，即T2nTm，也就是2 1第n 1项。练：在(x13x)n的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少解：只有第5项的二项式最大，则n 15,即n 8,所以展开式中常数项为第七项等2于 C86(£)2 72例：写出在(a b)7的展开式中，系数最大的项系数最小的项 解：因为二项式的幕指数7是奇数，所以中间两项(第4,5项)的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有T4C；a4b3的系数最小，Ts C；a3b4系数最大。例：若展开式前三项的二项式系数和等于 79，求(丄2x)n的展开式中系数最大的项 2解:由c0 C： C： 79,解出n 12

10、,假设Tr 1项最大,；(1 2x)12(-2)12(1 4x)12解:JI Ct寫1，化简得到9 r展开式中系数最大的项为Tn,有T11(1)12C1120410x102在(1 2x)10的展开式中系数最大的项是多少假设Tri项最大,r r rJr 1C10 2 X10.4，又* 0 r 12， r 10，1016896xAr 1ArAr 1Ar 2G02rC；012r1 解得2(11r)G02rC；12r 1, 得r 12(10r)r，化简得到6.3 k 7.3，又* 0 r 10，题型七：含有三项变两项； 例：求当(x2 3x 2)5的展开式中x的一次项的系数r 7，展开式中系数最大的项

11、为T8 c7027x7 15360x7.解法：(X23x 2)5(X22)3X5，1 c5(x22)5 r(3x)r，当且仅当 r 1 时，Tr1的展开式中才有x的一次项，此时Tr 1 T2 C5(x2 2)43x，所以x得一次项为 C5c：243x它的系数为C5C：243240。解法：(X2 3x 2)5 (x 1)5(X 2)5 (C50x5 c5x4C/)(C5)X5 C；x42C；25)故展开式中含X的项为C；xC525 c；x24 240x，故展开式中x的系数为240.练：求式子(1- 2)3的常数项解：(X，设第r1项为常数项，则rrTr 1 C6( 1) X6 r 1 r(X)(

12、6 r1) C6 X2r，得 6 2r 0, r 3,T3 1 ( 1)3C：20.题型八：两个二项式相乘;例:求(1 2x) (1 x)展开式中x的系数.解:J1 2x)3的展开式的通项是 Cm (2x)mcm 2m xm,令 m n 2,则 m 0且n2,m1且n 1,m2且n0,因此(12x)3(1 x)4的展开式中 X2的系数等于C? 20 C2( 1)2c3 21c4 ( 1)1C32 22 C° ( 1)06.练：求(1 3x)6(141 )10展开式中的常数项.Vx1 m n 4m 3n解:(1 3 x)6(1 41)10展开式的通项为 Cx3 C；0X4 cj C：0

13、 x 12时得展开式中的常数项为c； C10 C； G： C； G8)4246.练：1 *已知(1 x x )(x r)的展开式中没有常数项,n N且2 n 8,则n.x解:(x 2)n展开式的通项为cn xn r x3rcn xn 4r,通项分别与前面的三项相乘可得x题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；例：在(x2)2006的二项展开式中，含x的奇次幕的项之和为 S,当x 寸,S2006123=aoa?xa3x2006a2006x解：设(x2)题型十：赋值法；例：设二项式(331丄广的展开式的各项系数的和为xp，所有二项式系数的和为S,若p s 272,则n等于多少解:若(33匸丄)“x

14、2a°axa?xanxn，有 P a。aian , S C C：2n ,4n ，又 p s272,即 4n 2n 272(2n 17)(2n 16)0 解得2n 16或2n17(舍去),练：若 3坂lxn的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为多少解:1令 x 1，贝u3jxv'x的展开式中各项系数之和为2n 64，所以n 6，贝U展开例:解:练:解:式的常数项为若(1 2x)2009若(xC；(3jx)3540.aoiaix2a?x3a3XIll2009/a2009 x(xR),则号a22弄的值为12,可得a0552)a§x2 22a2009220090

15、a aa200922009ao4a4X3a3X2a?x1aixao,则 aia?a3a4a50 得 a。32,令 x1得 ao4a?a31,题型十一：整除性；例：证明：32n 2 8n 9(nN )能被64整除证：32n 2 8n 99n 1 8nn 19(8 1) 8n由于各项均能被64整除32n 2 8n 9(nN*)能被64整除1、(x - 1)11展开式中x的偶次项系数之和是 1、设f(x)=(x-1)11,偶次项系数之和是ff( 1( 2)11/2102422、Cn 3C；32C23ncn3、(3、51 )20的展开式中的有理项是展开式的第 项.v'53、3,9,15,214

16、、(2x-1) 5展开式中各项系数绝对值之和是4、 (2x-1) 5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1) 5展开式系数之和，故令x=1, 则所求和为35*5、 求(1+x+x2)(1-x) 10展开式中x4的系数.5、 (1 x x2)(1 x)10(1 x3)(1 x)9,要得到含x4的项，必须第一个因式中的1与(1-x)'展开式中的项C4( x)4作积，第一个因式中的x3与(1-x) 9展开式中的项C；( x)作积,故x4的系数是C； C：135.6、求(1+x)+(1+x)彳+(1+x)1°展开式中x的系数+10 116、(1 x) (1 x)2(1x)10(

17、1x)1 (1xLJ = (x1)区，原式中x3实为1(1 x)x这分子中的x4,则所求系数为C：1 +7、 若f(x) (1 x)m (1 x)n(mn N)展开式中，x的系数为21，问mn为何值时， x2的系数最小7、由条件得m+n=21 x2的项为C：x2 C：x2，则C： C： (n弓)2 晋.因n N,故 当n=10或11时上式有最小值，也就是 m=11和n=10,或m=10和n=11时，x2的系数最 小*8自然数n为偶数时，求证：8 原式=(C：C1c2 cn1Cn)(C1C：c5Cn1)2n2n13.2n19、求8011被9除的余数.9、8011 (81 1)11 C1018111 C8110C；8