《用直角三角板拼多边形》问题的研究

1、用直角三角板拼多边形问题的研究l一2左数学教学2011年第1期用直角三角板拼多边形问题的研究315040浙江省宁波市江东区教育局教研室潘小梅我们知道,若干块全等的三角板一定能镶嵌平面,那么用若干块全等的直角三角板能拼成哪些凸多边形呢?本文中所指的直角三角板是学生熟悉的含30.的直角三角板和含45.的直角三角板,拼的原则是各块三角板之间既不重叠也不留空隙.我们不妨从最简单的情形开始研究:用若干块全等的直角三角板拼三角形.若单用若干块全等的含45.的直角三角板,能拼成无数个大小不同的三角形,但拼成的三角形其内角度数只能是45.,45.,90.,因此内角度数不同的三角形只有一种;若单用若干块全等的含

2、30.的直角三角板,拼成的三角形内角度数有以下3种:'(1)30.,30.,120.;(2)30.,60.,90.;(3)60o,60o,60o.对应的图形如图1.(1)(2)(3)图1同样地,如果用更多块数的三角板,也只能拼成与上述三角形内角度数完全相同的三角形.因此我们约定研究的是拼成内角度数不完全相同的多边形.现在,我们继续探索:用若干块全等的直角三角板拼四边形.若单用含45.的直角三角板,计算可得,拼成的四边形有以下3种:(1)45.,45.,135.,135.;.(2)45.,90.,90.,135.;(3)90.,90.,90.,90.拼成的图形对应如图2.(1)(2)(3

3、)图2但是,即使拼成内角度数完全相同的四边形,它们也未必是相似的图形,比如以上(1),(2)两种内角度数的图形还可以如图3这样拼./l/图3因此,我们进一步约定研究的目标是:用最少的三角板块数拼出内角度数不完全相同的多边形.那么,还有没有其他内角度数不同的四边形呢?事实上,用含45.的直角三角板拼成小于平角的角只有3种,即45.,90.,135.,这3个角都是45.的整数倍,也就是说拼成的四边形的内角度数一定是45.的整数倍.不妨设四边形的4个内角分别是45Xl,45x2,45x3,45x4(1Xl2X3X43,且为整数,i=1,2,3,4).根据四边形的内角和度数为360.可知,45xl+4

4、5x2+45x3+45x4=360.化简得1十2十X3+X4=8(1XlX2X3X43,且i为整数,i=1,2,3,4).(1)方程(1)的整数解只有3组,分别为(1,1,3,3),(1,2,2,3),(2,2,2,2),对应的内角度数分别为(45.,45.,135.,135),(45.,90.,90.,135),(90.,90O,90.,90.),所以,用含45.的直角三角板只能拼成3种内角度数不同的四边形.2011年第i期数学数学1.25.那么,若单用含30.的直角三角板能拼成哪些内角度数不同的四边形呢?类似地,我们容易分析得到,用含30.的直角三角板能拼成的小于平角的角有30.,60.,

5、90.,120.,150.共5种,它们都是30.的整数倍,因此我们可以设拼成的四边形的内角分别是30xl,30x2,30x3,30x4(1XlX2X345,且为整数,i=1,2,3,4).根据四边形内角和为360.得,30xl+30x2十30x3+30x4=360.化简得1+2+3+X4=12(1XlX23z45,且t为整数,i=1,2,3,4).?(2)方程(2)的整数解有8组.根据它的解可确定四边形的内角度数,再根据内角度数用最少的块数拼l拙相应的图形如下方程的整数解对应的4内角度数拼成的四边形rXl=1,r1=30.,1J.=l,JZ2:30.,1z3=5,13:15o.,/【4:5.【

6、4:150.Lf1=1,r1=30.,2J.:2,JA2:60.,1z3:4,13:120.,/7【4:5.【4:150.rXl1,r1=30.,3Jz=3,JA2:90.,卜.:一.,1Z3:90.,/LX4=5.【4:150.fXl=1,rl=30.,4J:3,J2:90.,13:4.1Z3:120.,【4:4.【4:l2o.fXl=2,r1=60.,5J2:2,JA2:60.,1.:3,13:90.,/【4:5.【4:150./rXl:2,r1=60.,6Jz.:2,J2:60.1如:4,13=120.,【4:4.【4:120.f2,r1=60.,7J2=3,JA2:90.,13:3,1

7、3=90.,【.:4.L4:120.rXl=3,r1=90.,8Jz=3,JZ2:90.,13=3,1Z3:90.,【4:3.【4:9o.用直角三角板能拼成三角形,四边形,那么是否能拼成任意边数的凸多边形呢?答案显然是否定的.先看单用含45.的直角三角板拼多边形,因为单用含.45.的直角三角板拼成的小于平角的最大角是135.,说明外角最小只能为45.,而外角和为360.,故最多只有8个内角,此时能拼成八边形,且八边形的每个内角的度数都是135.,拼成的八边形如图4/图4那么,若单用含30的直角三角板能拼成的凸多边形边数最大是多少呢?类似地,因为单用含30.的直角三角板拼成的小于平角的最大角是1

8、50.,说明外角最小只能为30.,而外角和为360.,故最多只有12个内角,此时能拼成十二边形,且图形的每个内角的度数都是150.,拼成的十二边形如图5/图5事实上,我们也可以进行如下分析:设拼成的n边形的每一个内角的度数分别是30Xl,30x2,30xn(1XlX2Xn5,且Xl,X2,为整数),则根据Tt边形的内角和可以得到30xl+30x2+30x=(礼一2)×(下转封底)厘不要妄自菲薄,更不要夜郎自大张奠宙赵小平本期有两篇文章涉及中国数学教育的宏观考察.一篇是对过去的10年的自我回顾,一篇是有关PISA国际教育测试的国外报道.注重检测学生能力的PISA测试结果广受各国政府重视

9、.这篇报道中特别指出,上海学生的数学成绩600分,大幅领先于第二位的新加坡的562分,而新加坡的数学教育近十年来一直是国际教育界的超级明星,这一点是我们颇感欣慰.近来对基础教育"缺乏创新","不会思考","输在起跑线上"的批评不绝于耳,以至把中国本土没有出现诺贝尔奖获得者也怪罪于基础教育.事实上我国的数学教学并非一无是处,我们不必妄自菲薄,应该确立自信,看到自己的长处,总结一下经验,数学的双基教学,探索式教学,变式教学,师班互动等都是无数教师倾注的心血浇注的结果.这些中国的"长处"我们毕竟是研究的太少了.随便问一句

10、:"上海的好成绩是怎么得来的?经验是什么?"我们将何言以(上接第125页)180.化简得Xl+x2+=6(n一2).?(3)因为1XlX25,且1,2,X为整数,所以等式(3)左边的最大值为5n,则5n6(n一2)时,解得n12,所以能拼成的凸多边形最大边数为十二边形.96558X2011,?,001对?同时,我们又决不可夜郎自大,以为基础教育很成功了.要知道,我们的这个第一,付出了多少时间成本?牺牲了多少学生的童年乐趣?很多学生学习就是为了考试,很多教师教学就是为了应试,这是不可忽略的问题.从那篇过去10年数学教育的回顾总结可以看到,数学教育虽然在数量上,理念上,课程标准上有了许多重要的进步,可是科举意识依然浓厚,应试教育仍旧大行其道,比起10年前,并无多少改变.某些政府机关,民意代表,媒体报道,都不能跳出应试教育的窠臼,甚至火上加油.这些都是我们十分突出的缺陷,至今还走不出这个怪圈.公平而论,过去的l0年成绩不少,问题很多.我国中长期教育发展纲要已经公布,未来依然要以"改革为核心",但是改革不能全盘地否定传统,正如一句名言所说,不要泼脏水时把婴孩也倒掉了.从以上分