求圆锥曲线方程

1、求圆锥曲线方程一、直译法例1、求到点P（）和到直线距离相等的点的轨迹C。变式练习1、一条曲线在x轴上方，它上面的每一个点到点的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程。二、定义法例1、在直角坐标系中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为，直线与C交于A，B两点（）写出C的方程；（）若，求k的值；变式练习：1、 M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：求点P的轨迹方程；2、已知点，动点满足条件.记动点的轨迹为.求的方程；3、ABC中，三边a、b、c成等差数列，A(1,0)、C(1,0)，则顶点B的轨迹方程为 .三、待定系数法（一）共焦点圆锥曲线方程例1、双曲线C

2、与椭圆有相同的焦点，直线y=为C的一条渐近线.（1）求双曲线C的方程；变式练习1、设中心在原点的椭圆与双曲线=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是 . 2、已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合， 则此椭圆方程为ABCD3、已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 4、已知三点P（5，2）、（6，0）、（6，0）. （）求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；5、已知双曲线的离心率为，焦点是，则双曲线方程为（ ）ABCD6、设椭圆过点，且着焦点为求椭圆的方程；（二）共渐近线的双曲线方程例1求与双曲线共渐近

3、线，并且经过点P（2，2）的双曲线方程.例2若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，则双曲线的方程是_。变式练习1（全国II）已知双曲线的一条渐近线方程为yx，则双曲线的离心率为（A） (B) (C) (D)2(陕西卷)已知双曲线 =1(a>)的两条渐近线的夹角为,则双曲线的离心率为A.2 B. C. D.3在平面直角坐标系中，双曲线中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线方程为，则它的离心率为A B C D4.（江西卷14）已知双曲线的两条渐近线方程为，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 四、相关点法（代入法）例1、ABC中，B（3，8）、C（1，6），另一个顶点A在抛物线y2=4x上

4、移动，求此三角形重心G的轨迹方程.变式练习1、P是椭圆上一点，过P作其长轴垂线，M是垂足，则PM中点轨迹方程为(A) (B) (C) (D) 圆锥曲线的几何性质特别是与离心率有关的问题例1.（全国二9）设，则双曲线的离心率的取值范围是（）ABCD变式练习1.（陕西卷8）双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（ ）ABCD2.（天津卷（7）设椭圆（，）的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（A） （B） （C） （D）3.（重庆卷(8)已知双曲线（a0,b0）的一条渐近线为y=kx(k0),离心率e=,则双曲线方程为（A

5、）=1 (B) (C) (D)5.（江苏卷12）在平面直角坐标系中，椭圆1( 0)的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率= 6.（全国一15）在中，若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 7（福建卷）已知双曲线(a>0,b<0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是A.( 1,2) B. (1,2) C.2,+ D.(2,+)8（全国II）已知双曲线的一条渐近线方程为yx，则双曲线的离心率为（A） (B) (C) (D)9(陕西卷)已知双曲线 =1(a>)的两条渐近线

6、的夹角为,则双曲线的离心率为A.2 B. C. D.10（全国卷I）双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则A B C D11、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为求椭圆的标准方程12(上海卷)已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为,且焦距与虚轴长之比为，则双曲线的标准方程是_.13已知椭圆C:=1(ab0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.()求椭圆C的方程;焦点三角形1、点M是椭圆上的一点，F1、F2是左右焦点，F1MF2=60º，求F1MF2的面积.2、 已知F1、F2是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，如果F1PF2=，求F1PF2的

7、面积.直线与圆锥曲线的位置关系典例剖析例1.已知（4，2）是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，则l的方程是_.例2、如果焦点是F（0，±5）的椭圆截直线3xy2=0所得弦的中点横坐标为，求此椭圆方程.例3、直线xy1=0被椭圆截得的弦长为 .夯实基础1.过点（2，4）作直线与抛物线y28x只有一个公共点，这样的直线有A.1条 B.2条 C.3条 D.4条2.已知双曲线C：x2=1，过点P（1，1）作直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有A.1条 B.2条 C.3条 D.4条3.双曲线x2y21的左焦点为F，点P为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF

8、的斜率的变化范围是A.（，0）B.（1，）C.（，0）（1，+）D.（，1）（1，）4.若双曲线x2y21的右支上一点P（a，b）到直线y=x的距离为，则a+b的值为A. B. C.± D.±25.已知对kR，直线ykx1=0与椭圆+=1恒有公共点，则实数m的取值范围是A.（0，1） B.（0，5）C.1，5）（5，+）D.1，5）6.已知双曲线x21，过P（2，1）点作一直线交双曲线于A、B两点，并使P为AB的中点，则直线AB的斜率为_.7.已知双曲线x2=1与点P（1，2），过P点作直线l与双曲线交于A、B两点，若P为AB中点.（1）求直线AB的方程；（2）若Q（1，1

9、），证明不存在以Q为中点的弦.思悟小结1.解决直线和圆锥曲线的位置关系问题时，对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项的系数和判别式，有时借助图形的几何性质更为方便.2.涉及弦的中点问题，除利用韦达定理外，也可以运用点差法，但必须以直线与圆锥曲线相交为前提，否则不宜用此法.3.求圆锥曲线的弦长时，可利用弦长公式d=.再结合韦达定理解决.利用圆锥曲线的定义解题1.设P是双曲线=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x2y=0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF1|=3，则|PF2|等于A.1或5 B.6 C.7 D.92.求与圆A：（x+5）2+y2=49和圆B：（x5）2+y2=1都外

10、切的圆的圆心P的轨迹方程.3（四川卷）如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则 ;4、点M到F（4，0）的距离比它到直线x5=0的距离小1，则点M的轨迹方程是 .5、经过点P（2，4）的抛物线的标准方程为 。参数方程1若直线的参数方程为，则直线的斜率为A B C D2下列在曲线上的点是A B C D 3将参数方程化为普通方程为A B C D 5直线被圆截得的弦长为_.求圆锥曲线方程一、直译法例1、求到点P（）和到直线距离相等的点的轨迹C。解：设为上的点，则，到直线的距离为由题设得化简，得曲线的方程为变式练习1、一条曲线在x轴上方，它上面的每

11、一个点到点的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程。二、定义法例1、在直角坐标系中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为，直线与C交于A，B两点（）写出C的方程；（）若，求k的值；解：（）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆它的短半轴，故曲线C的方程为（）设，其坐标满足消去y并整理得，故若，即而，于是，化简得，所以变式练习：1、 M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：求点P的轨迹方程；解：由椭圆的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长2a=6的椭圆. 因此半焦距c=2，长半轴a=3，从而短半轴b=， 所以椭圆的方程为2

12、、已知点，动点满足条件.记动点的轨迹为.求的方程；解：依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，所求方程为： （x>0）3、ABC中，三边a、b、c成等差数列，A(1,0)、C(1,0)，则顶点B的轨迹方程为 .三、待定系数法（一）共焦点圆锥曲线方程例1、双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线y=为C的一条渐近线.（1）求双曲线C的方程；解：（）设双曲线方程为 由椭圆 求得两焦点为，对于双曲线，又为双曲线的一条渐近线 解得 ，双曲线的方程为变式练习1、设中心在原点的椭圆与双曲线=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是 . 2、已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦

13、点与抛物线的焦点重合， 则此椭圆方程为AABCD3、已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 解：已知为所求；4、已知三点P（5，2）、（6，0）、（6，0）. （）求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；解：（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为(a>b>0),其半焦距c=6,b2=a2-c2=9.所以所求椭圆的标准方程为5、已知双曲线的离心率为，焦点是，则双曲线方程为（A）ABCD6、设椭圆过点，且着焦点为求椭圆的方程；解由题意： ，解得，所求椭圆方程为 （二）共渐近线的双曲线方程例1求与双曲线共渐近线，并且经过点P（2，2）的双曲线

14、方程.例2若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，则双曲线的方程是_。变式练习1（全国II）已知双曲线的一条渐近线方程为yx，则双曲线的离心率为（A） (B) (C) (D)解析:双曲线焦点在x轴,由渐近线方程可得,故选A2(陕西卷)已知双曲线 =1(a>)的两条渐近线的夹角为,则双曲线的离心率为A.2 B. C. D.解：双曲线(a>)的两条渐近线的夹角为，则， a2=6，双曲线的离心率为 ，选D3在平面直角坐标系中，双曲线中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线方程为，则它的离心率为AA B C D4.（江西卷14）已知双曲线的两条渐近线方程为，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程

15、为 四、相关点法（代入法）例1、ABC中，B（3，8）、C（1，6），另一个顶点A在抛物线y2=4x上移动，求此三角形重心G的轨迹方程.变式练习1、P是椭圆上一点，过P作其长轴垂线，M是垂足，则PM中点轨迹方程为(A) (B) (C) (D) 圆锥曲线的几何性质特别是与离心率有关的问题例1.（全国二9）设，则双曲线的离心率的取值范围是（ B ）ABCD变式练习1.（陕西卷8）双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（ B ）ABCD2.（天津卷（7）设椭圆（，）的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为B（A） （B） （C

16、） （D）3.（重庆卷(8)已知双曲线（a0,b0）的一条渐近线为y=kx(k0),离心率e=,则双曲线方程为C（A）=1 (B) (C) (D)4.（湖南卷12）已知椭圆（ab0）的右焦点为F,右准线为,离心率e=过顶点A(0,b)作AM,垂足为M，则直线FM的斜率等于 . 5.（江苏卷12）在平面直角坐标系中，椭圆1( 0)的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率= 6.（全国一15）在中，若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 7（福建卷）已知双曲线(a>0,b<0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一

17、个交点，则此双曲线离心率的取值范围是A.( 1,2) B. (1,2) C.2,+ D.(2,+)解析：双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率， ，离心率e2=， e2，选C8（全国II）已知双曲线的一条渐近线方程为yx，则双曲线的离心率为（A） (B) (C) (D)解析:双曲线焦点在x轴,由渐近线方程可得,故选A9(陕西卷)已知双曲线 =1(a>)的两条渐近线的夹角为,则双曲线的离心率为A.2 B. C. D.解：双曲线(a>)的两条渐近线的夹角为，则， a2=6，双曲线的离心率为 ，选D10（全国

18、卷I）双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则A B C D解：双曲线的虚轴长是实轴长的2倍， m<0，且双曲线方程为， m=，选A.11、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为求椭圆的标准方程解：由题意设椭圆的标准方程为，12(上海卷)已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为,且焦距与虚轴长之比为，则双曲线的标准方程是_.解：双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为,则焦点在x轴上，且a=3，焦距与虚轴长之比为，即，解得，则双曲线的标准方程是.13已知椭圆C:=1(ab0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.()求椭圆C的方程;解：（）设椭圆的半焦距为，依

19、题意，所求椭圆方程为焦点三角形1、点M是椭圆上的一点，F1、F2是左右焦点，F1MF2=60º，求F1MF2的面积.2、 已知F1、F2是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，如果F1PF2=，求F1PF2的面积.直线与圆锥曲线的位置关系典例剖析例1.已知（4，2）是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点，则l的方程是_.解析：设直线l与椭圆交于P1（x1，y1）、P2（x2，y2），将P1、P2两点坐标代入椭圆方程相减得直线l斜率k= =.由点斜式可得l的方程为x+2y8=0.例2、如果焦点是F（0，±5）的椭圆截直线3xy2=0所得弦的中点横坐标为，求此椭圆方程.例3、直线x

20、y1=0被椭圆截得的弦长为 .夯实基础1.过点（2，4）作直线与抛物线y28x只有一个公共点，这样的直线有A.1条 B.2条 C.3条 D.4条解析：数形结合法，同时注意点在曲线上的情况.答案：B2.已知双曲线C：x2=1，过点P（1，1）作直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有A.1条 B.2条 C.3条 D.4条解析：数形结合法，与渐近线平行、相切.答案：D3.双曲线x2y21的左焦点为F，点P为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF的斜率的变化范围是A.（，0）B.（1，）C.（，0）（1，+）D.（，1）（1，）解析：数形结合法，与渐近线斜率比较.答案：C

21、4.若双曲线x2y21的右支上一点P（a，b）到直线y=x的距离为，则a+b的值为A. B. C.± D.±2解析：P（a，b）点在双曲线上，则有a2b2=1，即（a+b）（ab）=1.d=，|ab|=2.又P点在右支上，则有a>b，ab=2.|a+b|×2=1，a+b=.答案：B5.已知对kR，直线ykx1=0与椭圆+=1恒有公共点，则实数m的取值范围是A.（0，1） B.（0，5）C.1，5）（5，+）D.1，5）解析：直线ykx1=0恒过点（0，1），仅当点（0，1）在椭圆上或椭圆内时，此直线才恒与椭圆有公共点.所以，1且m0，得m6.已知双曲线x21，过P（2，1）点作一直线交双曲线于A、B两点，并使P为AB的中点，则直线AB的斜率为_.解析：设A（x1，y1）、B（x