变量论文：关注函数教学的“六个要点”

1、变量论文：关注函数教学的“六个要点”    【摘要】变量数学的产生发展，使得数学能深刻地反映客观世界的数与形的关系，而变量数学是通过函数来加以研究和表示的，因而在中学数学中加强函数教学的作用是不容置疑的。本文从关注函数教学的"六个要点"出发，趋向于透彻、牢固地掌握概念、运用函数，培养辩论观点，这也是提高中学数学水平的标志之一。 【关键词】变量 坐标系 数形结合 待定系数法 辩证思维 由于函数概念的引入，标志着数学由“常量数学”转化为“变量数学”，从此数学发生了质的飞跃，并出现了广阔的发展前景，这正是近代数学的一个标志。虽然初中函数的内

2、容只是涉及了函数的一些最初步、最简单的基本知识，但作为研究运动变化的重要数学模型，其中蕴含的数学观点、思想及思维方法，对培养学生观察、比较、分析、归纳、概括的能力大有裨益，也为进一步学习高中数学奠定了良好的基础。笔者认为加强函数教学，关键在于关注“六个要点”。 1.立足一个观点运动变化观 函数是数学的基本概念之一，其本质在于反映某一个变化过程中两个变量间的依赖关系，即一个量随着另一个量的变化而变化，因此原本静止的数与数之间而产生了一种动态的联系。 比如，在我们熟知的行程问题中，其路程s、时间t与速度v的“一定两变”的自然规律；购买物品的过程中，其总价y、单价a与数量x的相互关系；班级同学的身高

3、与年龄的联系等，都让学生产生“运动变化”的感知。 在函数的意义中，强调在某一变化过程中，两个变量的对应思想，即运动变化的观点。把函数的解析式与图形联系起来，这种联系正是函数产生的杠杆。 圆的周长和面积随着半径的增减而增减，这一现象用关系式C=2R和S= R2来表示。在实际的教学过程中，可启发学生自主寻找、发现类似的变量关系，另外还可以用列表、图象的方法来描述变量之间的关系，直观认识函数的本质联系，树立“运动变化”的观点。比如画函数y=x2的图象时，历经取值、列表、描点到光滑地连线的过程去看函数是“运动、变化”的，局部的图象还可以无限延伸。 2.借助一些情境概念源于对应 由实例中的一些“对应”情

4、境引入概念，反映了概念的现实性，符合学生的认识规律。用概念形成的一般认知与学习规律来学习函数，按以下步骤进行。 2.1 观察 分别指出下列例子中的变量以及变量之间关系的表达方式，概括出它们的共同性质：工程问题中的总量、效率和时间的关系；球的体积和半径之间的关系；用表格给出某水库的储水量Q与水深h之间的对应关系；某一天的气温随时间变化的规律图；心电图上时间x与心脏部位的生物电流量y之间的对应关系。 2.2 分析 引导学生找出它们的共同属性：在某一特定的变化过程中；都有2个变量（变量A和变量B）；对于某一范围内变量A的每一个确定的值，变量B都有唯一确定的值与之对应。 2.3 概括 在得出这些变化过

5、程的基本性质后，可及时地给出函数定义，虽然此时函数的概念仍是描述性的。说到底，函数的实质是一种“对应”关系，反映为一种“法则”，其“值与值之间对应”的认知，从陌生抽象到熟悉具体，通过自主体验、领悟才能奏效。 2.4 辨析 为进一步揭示概念的内涵，可让学生做辨析训练，其中包括满足定义与不满足定义的反例的讨论，使函数概念的形象更加清晰明确。 2.5 练习 通过例题、练习，加深函数概念的“三个要素”（一个变化过程、两个变量、单值对应）的认识，从而形成初步的知识结构基础。 3.用好一种工具平面直角坐标系 在函数学习中，在知识上用好工具平面直角坐标系，它是不同的函数展示特性的平台；在思想方法上培养数形结

6、合思想，引导学生逐步认识到由数到形过渡的自然性和合理性；在能力培养上掌握点与有序整数对的关系，认清坐标系是数形结合的桥梁，感受代数与几何问题的相互转化，更为形象直观地了解不同函数的性质和应用。 例1.已知A（1,1）在二次函数y=x2-2ax+b的图象上，（1）用含a的代数式表示b；（2）如果该函数的图象与x轴只有一个交点，求这个二次函数图象的顶点坐标。 说明：本题涉及二次函数的性质、图象、顶点及与方程的关系等。在平面直角坐标系下，其本质就是数形关系的相互转化。一是点在图象上，点的坐标适合函数解析式；二是图象与x轴只有一个交点，表明方程x2-2ax+b=0有两个相等的实根；三是当a、b的值确定

7、之后，函数的顶点即可迎刃而解。 4.培养一种思想数形结合 教学时注重数形结合思想方法的渗透，对学科素养和能力的提升大有好处。 例2反比例函数y=kx的图象在第二、四象限，且A（-1，y1）、B（2，y2）、C（3，y3）三点是其图象上的三点，则 的大小关系为。 说明：本题考查反比例函数的性质，画出图象可知y2例3在反比例函数y=kx图象的每一条曲线上，y都随着x的增大而减小.（1）求k的取值范围；（2）在图象上任取一点A，分别向x轴与y轴作垂线，垂足分别为B、C，坐标原点为O，若矩形ABOC的面积为10，求k的值。 说明：（1）画图象即知k0；（2）反比例函数可化为xy=k，表明两个变量的乘积

8、为定值k。由于两个变量的绝对值分别代表了矩形的长和宽，所以矩形的面积就是k的绝对值，由此得k=10。 5.掌握一种方法待定系数法 从初学的正比例、反比例函数，到一次、二次函数，再到高中的幂、指数、对数函数及三角函数，都离不开待定系数法，其运用注意事项为以下三条。 5.1 适用范围 判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式。 5.2 求函数解析式的一般步骤 （1）设出解析式；（2）列出关于待定系数的方程（组）；（3）解方程（组）求出待定系数的值；（4）将值回代，写出函数解析式；（5）实际问题中注意变量的取值范围。 5.3 设定解析式的类型 注意区分不

9、同表达式及待定系数的个数，以减少运算量。 例4写出图象经过点(1,-1)的一个函数表达式。 说明：本题属于开放性问题，答案不唯一。考查用待定系数法求函数解析式，只要符合题意即可，如y=-x，或y=x-2，或y=-x2，或y=-1x2等。 例5已知二次函数的图象经过点A(-1,0)、B（7,0）、C（3,-8），求此二次函数的解析式。 说明：分析这三个点坐标的特征，可得到以下三条不同的思考途径。 思考一：设函数一般式y=ax2+bx+c（a0），分别将三点坐标代入即可求解。 思考二：由A、B均在x轴上，可设函数解析式为y=a(x+1）(x-7)（a0），再将C点坐标代入即可求解。 思考三：由A、

10、B均在x轴上，知二次函数的对称轴为x=3，于是C(3,-8)即是二次函数的顶点，可设函数解析式为y=a(x-3)2-8（a0），再将A点坐标代入即可求解。 6.形成一种思维辩证思维 在函数教学中，蕴含着丰富的辩证思维，主要体现在以下五个方面。 6.1 内容与形式 在分别学习了方程与函数之后，学生们认识到二元一次方程y=3x-1与函数y=3x-1的图象表现为同一条直线。 6.2 运动与静止函数图象表面上的局部、静止与函数值的发展变化趋势，其显性的事实体现了部分与整体的辩证统一。 例6：正比例函数y1=k1x与反比例函数y2=k2x的图象均经过点A（-1,2），若y1说明：从图象均经过点A及特征知

11、，当x=-1或1时，y1=y2。用运动的观点观察图象，y11。 6.3 变量与常量 在教学过程中，为认识变量与常量这一辩证关系，我们可以增加一些实例，如银行储蓄的利息公式或图表等帮助学生认知。 例7：若一次函数y=kx+b，当x的值减小1，y的值减小2；则当x的值增加2时，y的值（ ） （A）增加2 （B）减小2 （C）增加4 （D）减小4 说明：此题让学生直接从实例中感受变量之间的关系。 6.4 有限与无限 在研究问题中，我们往往看到“有限”总是具体的，而"无限"则是抽象的，表现为一种运动变化趋势或无限延伸的过程。 比如，坐标轴上有多少个点？两条坐标轴有多少个交点？反比例

12、函数的图象上，当x(或y)的绝对值越大(或越小)时， y(或x)的绝对值如何变化?如何理解图象“无限接近”而“永远不能到达”两坐标轴？这些具体的、生动的材料，都潜移默化地渗透着有限与无限、极限等思想观点。 6.5 特殊与一般 从简单的、特殊的问题开始，拓展到较复杂的、更一般的问题，从而逐步认识事物的本质属性，这是认知规律的基本途径。函数教学从正比例函数到二次函数学习的过程，从具体到抽象逐步展开，体现了特殊性与一般性的统一。 例9在ABC中，AB=6cm，BC=12cm，B=900，点P从点A开始沿AB边向点B以1cms的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cms的速度同时移动。问几秒钟后

13、，PBQ的面积等于8cm2？ 说明：如果只是就题解题，那就浪费了本题的教学资源。可考虑如下问题：（1）ABC的面积是多少?（2）PQB的面积是多少?（3）AC与PQ能平行吗？（4）ABC与PQB能相似吗？（5）当时间为多少时，PQB的面积最大？最大值为多少？（6）当时间为多少时，PQB的面积最小？最小值为多少？（7）PQB的面积可能为ABC的一半吗？三分之一？ 选择问题的特殊性与一般性，通过一些接近教学目标、有数学价值、有代表性的问题，给学生一个自主探索的空间和机会；通过开放结论、探索条件，可以锻炼学生思维的灵活性、开拓性、多向性和创造性。 苏霍姆林斯基认为“知识只有从人的内在精神力量与人所认识的精神世