第二节求导法则与初等函数求导ppt课件

1、2( )( ) ( )( )( ).( )( )u xux v xu x vxv xvxvuvuvu )(, )()()(xvxuxfhxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0)()()()(xvxuxvxuhhxuh )(lim0)(xu)(hxvhxv)( )(xu)(hxvwvuwvu)(sin(tan )cosxyxx解解2(sin ) cossin (cos )cosxxxxx22222cossin1sec.coscosxxxxx21(cos )(sec )coscosxyxxx解解2sinsec tan ,cosxxxx0)( y)(yx

2、)(1)(yxf1,arcsinxy ,sin yx , )2,2(y)(arcsinx)(sinyycos1y2sin11211x )(arccosx211x0cosyxyarcsinxyarctanyy2sec)(tan内连续可导。，在22tanyx)0(sec2y)(arctanxytan1y2sec1y2tan11211x211)arccot(xxyxtanxyarctan )arcsin(x211x )arccos(x211x )arctan(x211x )cotarc(x211x)(xgu )(ufy )(xgu fy )(xg( )( ).dydydy duf ug xdxdxd

3、u dx或或.sinln的导数的导数求函数求函数xy .sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot .)1(102的的导导数数求求函函数数 xyxu2109.)1(2092 xx. 1,210 xuuydxdududydxdy )(, )(, )(xhvvguufyxydd)()()(xhvgufyuvxuyddvuddxvdd.1sin的导数的导数求函数求函数xey xvvueyu1,sin,.1cos11sin2xexx 21cosxvedxdvdvdududydxdyu1sin,.xyey求求11sinsin1()(sin)xxyeex解解1

4、sin11cos( )xexx1sin211cos. xexx)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx.)1(102的的导导数数求求函函数数 xy1cos()cos()xxyee解解1 sin() ()tan().cos()xxxxxeeeee 321 2,.yxy求求12222331(12) (12)(12)3解解 yxxx2234.3 (1 2)xx1 cosln,sinxyx.y求1ln 1 coslnsin 2yxx1sincos2 1cossinxxyxx 1 cos2sin (1 cos )xxx1csc2x2sin,yfx xuufy2si

5、n xufy2sin xxufcossin2 xuf2sinxxf2sinsin2)(uf.y1(11) (ln );xx 21(14) (arccos );1xx 1(12) (log);lnaxxa 21(13) (arcsin );1xx 21(15) (arctan );1xx 21(16) (arccot ).1xx 2(4).uu vuvvv( )( ).dydydy duf ug xdxdxdu dx或或,1111xxxxy.y21222xxy12xx1 y1212x)2( x112xx,1arctane2sin2xyx.y1arctan)(2xy ) (e2sin x2sine

6、x2cosxx221x1212xx2x21arctan2x2sinex2cosx2sinex112xx22sin2sin2earctan1earctan1xxyxx ,)(vuuvvuvu3sin (5 )1,.yxy求求11333221sin (5 )1 sin (5 )1 sin (5 )12yxxx解解2313sin (5 ) cos(5 ) (5 )2 sin (5 ) 1xxxx2315sin (5 ) cos(5 ).2 sin (5 ) 1xxx2313sin (5 ) sin(5 )2 sin (5 ) 1xxxxxxy)(21xxxxxxy)(211 (21xxxxxxx)2

7、11 (211 (21xxxxxx.812422xxxxxxxxxx)(sinnnnxfy)(sin)(sin1nnnnnxfxnfy)(sin)(sin1nnnxxn1cosnnnxx)(sin)(sin)(sin)(sincos1113nnnnnnnnnnxxfxxfxxn证证3）取得增量取得增量 u, v, 函函数数 也取得增量也取得增量 ( )( )u xyv x,()uuuv uu vyvvvv vv 00limlim()xxuvvuyxxyxv vv 故2( ) ( )( ) ( ).( )u x v xu x v xvx除法求导法则可简单地表示为除法求导法则可简单地表示为 2.u

8、u vuvvv当当 x 取增量取增量 x 时时, 函数函数 u (x), v (x) 分别分别解：解：, )1,0(logaaxya那那么么),0(,yaxy)(logxa)(1ya 1aaylnxx1)ln(特别当特别当ea时时,例例9. 求函数求函数, )1,0(logaaxyaaxln1三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则 定理定理3 设函数设函数 u = g (x) 在点在点 x 处可导处可导, 函数函数 y = f (u) 在点在点 u = g (x) 处可导处可导, 则复合函数则复合函数 y = f (g(x)在点在点 x 处可导处可导, 且其导数为且其导数为 ( )( )

9、.dydydy duf ug xdxdxdu dx或或设设 x 取增量取增量 x, 那么那么 u 取得相应的增量取得相应的增量 u, .yyuxux因为因为 u = g (x) 可导可导, 则必连续则必连续, 所以所以 x 0 时时, 000limlimlim,( )( ). 即即xuxyyudyf ug xxuxdx当当 u = 0时时, 可以证明上述公式仍然成立可以证明上述公式仍然成立. 从而从而 y 取得相应的增量取得相应的增量 y , 即即 u = g(x + x) g(x), y = f (u + u) f (u). u 0, 因而因而 当当 u 0时时, 有有证证中间变量的导数乘以

10、中间变量对自身变量的导数中间变量的导数乘以中间变量对自身变量的导数. 设设 y = f (u), u = g (v), v = h(x)都是可导函数都是可导函数, 则复则复合函数合函数 y = f (g(h(x) 对对 x 的导数为的导数为 ( )( )( ).dydydy du dvf ug vh xdxdxdu dv dx或或公式表明公式表明, 复合函数的导数等于复合函数对复合函数的导数等于复合函数对 例例16 设设 x 0, 证明幂函数的导数公式证明幂函数的导数公式 (x ) =x -1. 证证)()(lnxexxeln)ln(xxx1x22cossin( )cossincossinxxf xxxxx解解( )sincos ,fxxx sincos1.222f cos2( ),.cossin2xf xfxx求求2(sin ) cos lnsin (cos ) lnsin cos (ln ) yxxxxxxxxx解解2212coslnsinlnsin cosxxxxxxxsi