第二节定积分的计算1ppt课件

1、第二节第二节 定积分的计算定积分的计算一一.微积分学基本定理微积分学基本定理变上限定积分变上限定积分 设设)(xf在在,ba上连续上连续 abx xadttfxp)()(称为变上限定积分称为变上限定积分.xafxp()(d)xxOxyabx x)(xfy 变上限积分的几何意义Oxyabx x)(xfy 变上限积分的几何意义xaxxf d)(曲边梯形的面积的代数和随 x 的位置而变化。 定理定理6.1( (微积分学基本定理或原函数存在定理微积分学基本定理或原函数存在定理) )假如假如)(xf在在,ba上连续上连续,)()( xadttfxp那那么么)(xp是是)(xf在在,ba上的一个原函数上的

2、一个原函数,即有即有).()()(xfdttfxpxa 证证xxpxxpxpx )()(lim)(0 xdttfdttfxaxxax )()(lim0 xdttfxxxx )(lim0 xxfx )(lim0 )(lim0 fx ).(xf abx xx )()(xfdttfxa)()()(xxdttf)()(xxf)()(xxf事实上事实上:)()()(xxdttf)(0)(xdttf0)()(xdttf)(0)(xdttf)(0)(xdttf而而)(0)(xdttfux )(udttf0)(所以所以)()(0 xdttfudttf0)()(ufu)()(xxf所以所以)()()(xxdtt

3、f)()(xxf)()(xxf例例1 设设,cos)(02 xtdtxf求求).(xf 解解 xtdtxf02)cos()(.cos2x例例2 设设,)(12 xtdtexf求求).(xf 解解.)(2xexf 例例3 设设,sin)(302 xxdttxf求求).(xf 解解 )(xf23)sin(xx .)sin()13(232xxx )(3 xx例例4 设设,)(lncos2 xxxdttxf求求).(xf 解解 )(xf)ln()ln(2xxxx)ln1 ()ln(2xxx)ln1 ()ln(2xxx)(cos)(cos2xx)sin()(cos2xxxxsin)(cos2例例5求极限

4、求极限.1lim20202xdttxx 解解 202021limxdttxxxxxx221lim40 401limxx . 1 例例6求由方程求由方程 xyttdtdte000cos2所确定所确定的隐函数的导数的隐函数的导数.解解 方程两边作为方程两边作为x的函数同时求导的函数同时求导0cos2 xyey所以所以.cos2yexy 例例7求下列极限求下列极限(2),)2sin1 (1lim010 xtxdttx,)1 (1lim0222xxtxdtetx(1)(3)(4).)cos1 ()1arctan(lim22000 xxdudttxux确定常数确定常数cba,使使.)1ln(sinlim

5、30cdtttxaxxbx)0( c)cos1 ()1arctan(lim0002xxdudttxux 30002)1arctan(lim2xdudttxux 2003)1arctan(lim22xdttxxxxxx6)1arctan(2lim2204326(2019年考研真题年考研真题)cos1 ()1arctan(lim22000 xxdudttxux300022)1arctan(lim2xdudttxux2003)1arctan(2lim24xdttxxx1)1arctan(4lim34430 xxx0二二.牛顿牛顿莱布尼兹莱布尼兹)(leibnizNewton 公式公式定理定理6.2假

6、如假如)(xf在在,ba上连续上连续,)(xF是是)(xf在在,ba上的一个原函数上的一个原函数, 那那么么).()()(aFbFxdxfba 证证)()(xfxF )()(xfdttfxa 因因所以所以cxFdttfxa )()(令令caFdttfaa )()(ax 那那么么)(aFc )()()(aFxFdttfxa 所以所以再令再令bx 得得).()()(aFbFdttfba )()()()(aFbFxFdxxfbaba 例例6求求 102.dxx解解 102dxx103)31(x33031131 .31 例例7 求求 202.cossin xdxx解解 202cossin xdxx 2

7、02sinsin xxd203)sin31( x 0sin312sin3133 .31 1023dxexx103.3dxex31331xe10) 1(31e例例8求求 20.cossin dxxx解解 原式原式 2440)cos(sin)sin(cos dxxxdxxx40)cos(sin xx . 222 24)sincos( xx 例例9,求求 30.)(dxxf设设 )(xf13 xxe 10 x31 x解解 30)(dxxf 1031)()(dxxfdxxf 10313)1(dxedxxx311034)()43(xexx .11413ee 112.1dxx计算计算解解 1121dxx1

8、1)1( x. 211 注注 这是错误的这是错误的,因为定理要求连续因为定理要求连续. . d1 1 0 2xx计算 数的一个原函数：先用不定积分求被积函ttxxdcosd1 22 sin tx令tt d)2cos1 (21Ctt42sin2Cxxx21 21arcsin21 得，莱布尼兹公式由牛顿 . 4 1 21arcsin21d1 1021 0 2xxxxx例例解解 . d1 1 0 2xx计算 数的一个原函数：先用不定积分求被积函ttxxdcosd1 22 sin tx令tt d)2cos1 (21Ctt42sin2Cxxx21 21arcsin21 得，莱布尼兹公式由牛顿 . 4 1

9、 21arcsin21d1 1021 0 2xxxxx10 x20t2 0 21 0 2dcosd1 ttxxtt d)2cos1 (212 0 20 42sin2tt . 4例例解解三三.定积分的换元积分法定积分的换元积分法定理定理6.3 假如假如)(xf在在,上连续上连续,)(tx满足下述条件满足下述条件:)(t上单调连续上单调连续,且且在在,ba),()(tbta,)(ab)(在在,)(t上连续上连续,那么那么badxxf)(dtttf )()(badxxf)(dtttf)()(证证 设设)(xF是是)(xf的一个原函数的一个原函数那么那么)()()(aFbFdxxfba由由)()(tt

10、F)()(ttf即即)(tF)(tF是是)()(ttf的一个原函数的一个原函数故故dtttf)()()(tF)(F)(F)()(aFbFbadxxf)(例例10 求求 803.11dxx解解原式原式令令,3tx 那那么么dttdx23 当当0 x时时0 t当当8 x时时2 t 202311dttt 2021113dttt 2011)1(3dttt2021ln21 3ttt . 3ln3 tx 3例例11 求求 aadxxa022).0(1解解原式原式令令taxtan 那那么么tdtadx2sec 当当0 x时时0 t当当ax 时时4 t 402secsec1 tdtata 40sec tdt4

11、0tansecln tt ).21ln( 例例12 证明证明 00.)(sin2)(sindxxfdxxxf证证 令令tx 那那么么dtdx 当当0 x时时 t当当 x时时0 t 0)(sin()( dttft 0)(sin)(dttft00)(sin)(sindtttfdttf 0)(sindxxxf故故 00.)(sin2)(sindxxfdxxxf00)(sin)(sindxxxfdxxf定积分等式的证明定积分等式的证明(1)作变量替换作变量替换:看两端积分限或被积函数看两端积分限或被积函数 作变量替换作变量替换.(2)如果两端积分限均为如果两端积分限均为:, 0 则令则令tx 2, 0

12、 则令则令tx 2 4, 0 则令则令tx 4 (3)定积分是常数及定积分与积分变量符号定积分是常数及定积分与积分变量符号无关常被应用无关常被应用补例补例 假假设设)(xf是定义在是定义在),(内周期为内周期为T的的连续函数连续函数,证明证明.)()(0 TaaTdxxfdxxf证证 TaaTaTTadxxfdxxfdxxfdxxf)()()()(00故故.)()(0 TaaTdxxfdxxfdxxfTaT)(tTxdttfa)(0dxxfa)(0dxxfa)(0类似类似:假假设设)(xf是定义在是定义在),(内周期为内周期为的的连续函数连续函数,证明证明.)()(0 nTaaTdxxfndx

13、xf证证 nTaaTTTadxxfdxxfdxxfdxxf200)()()()( nTTndxxf)1()( anTnTdxxf)(而而 kTTkdxxf)1()(tTkx )1( Tdttf0)( Tdxxf0)(), 2(nk anTnTdxxf)(tnTx adttf0)( adxxf0)(T TTdxxf32)(所以所以 nTaaTTTadxxfdxxfdxxfdxxf200)()()()( nTTndxxf)1()( anTnTdxxf)( adxxf0)( Tdxxf0)( Tdxxf0)( Tdxxf0)( adxxf0)( Tdxxfn0)( TTdxxf32)( Tdxxf0

14、)(例例13 (奇偶函数在对称区间上的积分奇偶函数在对称区间上的积分)设设)(xf在在,aa 上连续上连续, 求证求证:(1)假如假如)(xf为奇函数为奇函数,那那么么 aadxxf; 0)(2)假如假如)(xf为偶函数为偶函数,那那么么 aaadxxfdxxf.)(2)(0证证 aadxxf)( aadxxf)( aadxxfdxxf00)()( aadxxfdxxf00)()( adxxf0)( 0)(adxxftx 0)(adttf adttf0)(故故例例14 求求 22263.)coscos( dxxxx解解原式原式 202cos2 xdx 20)2cos1( dxx20)2sin2

15、1( xx .2 (1)假如假如)(xf为奇函数为奇函数,那那么么(2)假如假如)(xf为偶函数为偶函数,那那么么 aadxxf)( aadxxfdxxf00)()(0)()(00 aadxxfdxxf aaadxxfdxxf.)(2)(0例例15 求求 40.)tan1ln( dxx解解原式原式 40coscossinln dxxxx 40coscos)2cos(ln dxxxx 40cos)4cos(4cos2ln dxxx 404040cosln)4cos(ln2ln xdxdxxdx 402ln dx 402ln dx. 2ln8 .4cosln)4cos(ln4040 txxdxdx

16、x例例16设设1021)(dxxg),()(xg在在内连续内连续, 1) 1 (g假设假设xdtttxgxf02)()(求求).1 (),1 (ff 解解令令utxxxduuxugduuxugxf0202)()()()(xduugx02)(xduuugx0)(2xduugu02)()(xfxduugx02)(xduuugx0)(2xduugu02)()(xf xduugx0)(2)(2xgxxduuug0)(2)(22xgx)(2xgxxduugx0)(2xduuug0)(2)(xf xduug0)(2)(2xxg)(2xxgxduug0)(2)(xf )(2xg ) 1 (f 1)(210d

17、xxg2) 1 ( f四四.定积分的分部积分法定积分的分部积分法定理定理6.4假如假如)(xu及及)(xv在在,ba上导函数连续上导函数连续那那么么. )()()()()()(bababaxduxvxvxuxdvxu证证)()()()( )()(xuxvxvxuxvxu 因因所以所以)()( )()()()(xuxvxvxuxvxu bababadxxuxvdxxvxudxxvxu)()( )()()()(. )()()()()()(bababaxduxvxvxuxdvxu那那么么故故例例求求.) 12(32dxexx解解原式原式)31() 12(32xedxxex32) 12(31xdxex

18、4313xex32) 12(31xex32) 12(31xex32) 12(31)31(343xexdxxe394dxex394xxe394xe3274Cxexx32)131218(271C例例16 求求 10.)1ln(dxxx解解原式原式.41 102)21()1ln(xdx102)1ln(21xx 2ln21 212ln21 1021121dxxx 10)111(21dxxx102)1ln(21xxx 例例17 求求 202.sin xdxx解解原式原式.41162 2022cos1 dxxx 20)2cos(21 dxxxx 20202cos2121 xdxxxdx20241 x 16

19、2 2022sin4116 xdx202)2cos21(4116 x 20)2sin21(21xxd20)2sin21( 21 xx 2sin2120 xdx例例18 求求 403.sec xdx解解原式原式 402secsec xdxx40)(tansecxxd40tansec xx 2 402sec)1(sec2 xdxx403sec2xdx) 12ln(sec2403xdx故故 原式原式).12ln(221 40tansectan xdxxx 402sectan xdxx40tansecln xx dxexxx11)(2019年考研真题年考研真题4分分)补充例题补充例题解解dxexxx

20、11)(dxexx102)(210 xexd10)(2xxe12 e).21(21 edxex10210)(2xe 例例19 求求dxexx 102例例20 求求20.cossinsindxxxx解解令令20.cossinsindxxxxtx2那么那么dtdx02.cossincosdtttt20.cossincosdtttt20.cossincosdxxxx20.cossinsin2dxxxx20.cossincossindxxxxx24例例21 设设)(xf连续连续,且且, 1) 1 (f21)( dxxf20arctan21)2(xdttxtfx知知求求的值的值.解解 令令txu 2那么

21、那么uxt 2dudt当当0txt 时时,2xu xu 时时故故xdttxtf0)2(xxduufux2)()2(xxduufx2)(2xxduuuf2)(故故xxduufx2)(2xxduuuf2)(2arctan21x故故xxduufx2)(2xxduuuf2)(2arctan21x上式两端对上式两端对x求导求导,得得xxduuf2)(2)()2(22xfxfx)(2)2(2xxfxxf41xx即即xxduuf2)(241xx)(xxf令令1x得得21)(2duuf23121即即21)( dxxf43例例22 设设)(xf连续连续,且且20)(dxxfxxdttxtf0cos1)(求求的值的值.解解 令令txu那么那么uxtdudt当当0txt 时时, xu 0u时时故故xdttxtf0)(xduufux0)()(故故xduufx0)(xduuuf0)(xcos1上式两端对上式两端对x求导求导,得得上式两端对上式两端对x求导求导,得得即即令令得得即即xduufx0)(xduuuf0)(xcos1xduuf0)()(xxf)(xxfxsinxduuf0)(xsin2x1)(20duuf1)(20dxxf例例21 设设)(xf且且在在 1 , 0上可导上可导,210.)(2) 1 (dxxxff证明证明:存在存在) 1 , 0(使使0)()(ff证明证明:作辅助函数作辅助函数