第二章高等数学提高课2014.4.12

1、知识1 导数的概念及其计算知识2 导数的几何意义知识2 导数的应用考点一：利用导数的定义求极限导数定义的几种表达式导数定义的几种表达式0000()()()lim,xf xxf xfxx 0000()()()lim,hf xhf xfxh0000( )()()limxxf xf xfxxx，0000()()()limf xf xfx 例1：设0()fx存在，则 000(2 )()limhf xhf xh(1)1f 0(12 )(1)limhfhfh，则设(1)1f 0(12 )(1)limhfhfhh，则设 40 f .32lim0 xxfxfx设，求考点二：导数运算法则高阶导数高阶导数四则运算

2、四则运算复合函数求导复合函数求导隐函数求导隐函数求导由参数方程所确定的函数的导数由参数方程所确定的函数的导数幂指函数求导幂指函数求导复习导数公式 (1) (1) 四则运算四则运算()uvuv()u vu vuv 2 0uu v uvvvvuCCu )( 211 0 xxx()uvwuvw ()uvwu vw uv w uvw推广推广 211 (vvvv（2 2）复合函数求导）复合函数求导()(31 31 =6 321)xxx（）231yx2y 31x31x2ln (1 3 )yx221(13 )(13 )xx1y2( 3 )1x2( 3 )1x212(13 )(13 )(13 )xxx613x

3、是关于 的函数）x内函数内函数)(xfy ( )( )( )yfxuxfuu( )( )fux例2：2arcsinyx2sin (23 )yxlnsin(1 2 )yx内函数内函数外函数遇到 ，就看成 的函数，求导即为 ；yxy (3) (3) 隐函数求导法则隐函数求导法则( , )0F x y x（1 1）方程两边逐项对求导：012 yxyxexy遇到 的函数，直接求导；xx遇到 的函数 ，就看成 的复合函数，求导为 ；yyxyx( )y（2）从求导后的关系式中解出 xy（当然，结果中可能会含有 ，这没关系，让它保留在式子中就可以了）y隐函数隐函数例3：(1) 求由方程0yexye所确定的隐

4、函数的导数.dydx1lnyxy(2) 求由方程所确定的隐函数的导数.dydx22yexye(3) 求由方程所确定的隐函数的导数.dydx （4 4）由参数方程所确定的函数的导数）由参数方程所确定的函数的导数dydx,dy dx求由参数方程所确定的函数的导数时，不必死记公式，然后作比值，即微商.可以先求出微分参数方程参数方程 一般的，若参数方程,( ),( )xtyt确定了y与x之间的函数关系，则称此函数关系所表达的函数由有参数方程(2-1)所确定的函数。(2-1) 求二阶导数时，应按复合函数求导法则进行，必须分清是对哪个变量求导。例4（1）已知sin2,cosytxt4tdydx求 （2）已

5、知221,31yttxt 1tdydx求231,21ytxt22d ydx求 （3）已知 (5) (5) 幂指函数求导法则幂指函数求导法则对数求导法对数求导法( )( )nf xyg x( ) ( )( )f x g xyh x等含乘、除、乘方、开方较多的函数的求导 方法方法1 1：两端先取对数，再对：两端先取对数，再对 求导；求导；x方法方法2 2：把它化成指数函数与其它函数的复合；：把它化成指数函数与其它函数的复合；幂指函数幂指函数( ) ( )xx形如( )( )v xyx两端取自然对数得( )lnln( )( )ln( )v xyxv xx再对上式两端分别求导。sin(12 )xyxx

6、y.dydx例5（1）求函数的导数或2311xyxx（2）已知dydx，求（6 6）高阶导数）高阶导数2222,( ),d yd fyfxdxdxnnnnndxfddxydxf , , )()(求出所给函数的前几阶导数，分析规律，得出n阶导数直接法：直接法：间接法：间接法：利用已知的高阶导数公式，通过四则运算、变量替换等方法，求给定函数的高阶导数yx (4)?y例6：已知，则sin,yx已知(8)?y考点一：求切线方程和法线方程方法：利用导数的几何意义和点斜式方程方法：利用导数的几何意义和点斜式方程0()ky x切00()yyk xx( )yf x00(,)xy已知一曲线，求曲线上点处的切线方

7、程和法线方程.1kk 切法例7（1）曲线3211( )6132f xxxx(0,1)x在点处的切线与轴交点的坐标.（2）求曲线lnyxx平行于直线10 xy 的切线方程.（3）求曲线lnsincosxtyt在2t处的切线方程和法线方程.考点一：利用洛必达法则求极限 利用洛必达法则及其他方法求函数极限，要结合等价代换、分解因式、有理化等进行，特别是非零因子的极限一定要求出，并注意特定形式固定解法。能够利用洛必达法则求极限的形式有“ ”，“ ”外，还有“ ”，“ ”，“ ”等类型，一般地，这些类型的未定式要先通过恒等变形转化为“ ”，“ ”型，再利用洛必达法则计算。000 00001、 型型例9、

8、求 011lim()sinxxx2、 型型0例10、求 20limlnxxx3、 型型00 例11、求 0limxxx4、 型型1 例12、求 111limxxx5、 型型0例13、求 sin01lim( )xxx考点二：利用导数确定单调区间和极值1、函数的单调性、函数的单调性判别函数单调性的步骤是：判别函数单调性的步骤是： 确定函数 的定义域； ( )yf x求出函数的驻点和不可导点；用这些点将函数的定义域分成若干小区间；确定各小区间上导数的符号(列表)；判别函数在各小区间上的单调性。在区间 内 例14、若 ()( ),fxf x在区间 (0,)内， ( )0,( )0fxfx则 ( )f

9、x(,0)( )A、( )0,( )0fxfxB、( )0,( )0fxfxC、( )0,( )0fxfxD、( )0,( )0fxfx 例15、函数 的单调递增区间是 。22lnyxx2、函数的极值、函数的极值 根据极值的必要条件知，函数的极值只能在驻点驻点(导数为零的点称为驻点)和不可导点取得。求极值的步骤是： 求出导数 ； 求出 的全部驻点和不可导点； 考察 在每个驻点与不可导点的左右邻近的符号，确定该点是否为极值点； 用第一充分条件判别函数在这些点是否取得极值，是极大值还是极小值，并求出各极值点的函数值，得函数的全部极值点。( )fx( )f x( )fx例16、函数 ( )12f x

10、x在 1,2上的极小值为 。例17、若函数 2( )f xaxbx在 1x 处取得极值 2，则 a ， b 。 考点三：曲线渐近线的求法曲线渐近线的求法：曲线渐近线的求法： 水平渐近线：若当(,)xxx 或或时，有( )f xb（ 为常数），），则称曲线 有水平渐近线。b( )yf x 垂直渐近线：若当(,)xaxaxa或或 时， ( ),f x 则称曲线 有垂直渐近线 。( )yf xa（ 为常数）有xa例18、曲线 2211xxeye （ ）A、没有渐近线 B、仅有水平渐近线C、仅有垂直渐近线 D、既有水平渐近线又有垂直渐近线例19、曲线 arctan2yxx的水平渐近线是 。考点四：一元

11、函数最值在实际中的应用 一元函数最值的应用是优化应用的基础，有的看似二元，但约束条件代入就转化为一元函数的应用题了。同学们有时感觉比较难，主要是题的文字一般比较长，设计的知识点比较多，对题意理解不清，这就需要多看、多练、多想，多接触此类题目是提高的基础，把实际问题转化为数学问题是解决问题的关键。从问题分类上看，专升本要么是几何题，要么是经济函数问题，基本不涉及物理、化学等学科问题。理解题意理解题意 设出变量设出变量 表示目标函数表示目标函数 求函数的最值求函数的最值例20 一房地产公司有50套公寓要出租，当月租金定为2000元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加100元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花费200元的维修费，试问租金定为多少可获得最大收入？最大收入是多少？例21 (用料最省问题) 要做一个容积为 的圆柱