特征值与特征向量课件

1、 矩阵的特征值与特征向量和相似标准形的矩阵的特征值与特征向量和相似标准形的理论是矩阵理论的重要组成部分，它们不只在理论是矩阵理论的重要组成部分，它们不只在数学的各分支，如微分方程、差分方程等中有数学的各分支，如微分方程、差分方程等中有重要应用，而且在其他科学技术领域也有广泛重要应用，而且在其他科学技术领域也有广泛的应用，如工程技术中的振动问题和稳定性问的应用，如工程技术中的振动问题和稳定性问题等。本章将介绍特征值与特征向量、相似矩题等。本章将介绍特征值与特征向量、相似矩阵、实向量的内积与正交矩阵等概念，讨论方阵、实向量的内积与正交矩阵等概念，讨论方阵相似于对角矩阵的问题阵相似于对角矩阵的问题

2、知识脉络图解知识脉络图解特 征 值 和 特 征 向 量定义计算应用性质Ao求特征值求特征向量方阵的相似对角化计算化二次型为标准型kA对应不同特征值的特征向量线性无关对应于不同特征值的特征向量正交1EAEP AP ,iitr AATEAEA AfAf AA可逆的特征值全部非零重点、难点解读重点、难点解读 首先要理解特征值和特征向量的定义以及特征向首先要理解特征值和特征向量的定义以及特征向量与相似对角化问题之间的关系。理解两个矩阵相似量与相似对角化问题之间的关系。理解两个矩阵相似的定义和必要条件。的定义和必要条件。 熟练地掌握特征值及特征向量的求法以及求一个正熟练地掌握特征值及特征向量的求法以及求

3、一个正交矩阵把一个具体的实对称矩阵相似对角化的一般步骤。交矩阵把一个具体的实对称矩阵相似对角化的一般步骤。 对于方阵的对角化问题，应掌握以下几个基本结对于方阵的对角化问题，应掌握以下几个基本结论：论： 阶方阵阶方阵A可以相似对角化的充分必要条件是可以相似对角化的充分必要条件是A有有 个线性无关的特征向量；个线性无关的特征向量； 方阵未必总是可以对方阵未必总是可以对角化的，但实对称矩阵一定可以相似对角化，而且可角化的，但实对称矩阵一定可以相似对角化，而且可以正交相似对角化。以正交相似对角化。nn一、求具体矩阵的特征值与特征向量一、求具体矩阵的特征值与特征向量 1、矩阵的特征值与特征向量、矩阵的特

4、征值与特征向量 设设A是数域是数域F 上的一个上的一个 阶方阵，如果存在数阶方阵，如果存在数 和数和数域域F上的上的 维非零向量维非零向量 ，使得，使得nnA则称则称 为为A的特征值，的特征值， 为为A的对应特征值的特征向量，的对应特征值的特征向量，称称 为为A的特征矩阵；称的特征矩阵；称 为为A的特征多项式；的特征多项式；称称 为为A的特征方程。的特征方程。EAEA0EA 2、求具体矩阵的特征值与特征向量的步骤、求具体矩阵的特征值与特征向量的步骤 第一步第一步 由特征方程由特征方程 求得求得A的的 个特征值，个特征值，设设 是是A的互异特征值，其重数分别为的互异特征值，其重数分别为 ，则则0

5、EAn12,t 12,tr rr12.trrrn 第二步第二步 求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组 ，其基础解系其基础解系1,2,iEAO it12,1,1,2,iiiisiisr it 就是就是A对应特征值对应特征值 的线性无关特征向量，而的线性无关特征向量，而A对应特对应特征值征值 的全部特征向量为的全部特征向量为ii112212,iiiiiiiisisiiiskkkkkk不全为零3、矩阵运算的特征值与特征向量、矩阵运算的特征值与特征向量lAA1PlkAk 0miiifAa A 0miiifa1A1AATA1P AP 4、特征值的重要性质、特征值的重要性质 设设 的的 个特征值为个特征值

6、为 ，则，则 ijn nAan12,n 12112212,nnntaaaA 例例1 设矩阵设矩阵1322010232 ,101 ,223001APBP A P求求 的特征值与特征向量。的特征值与特征向量。2BE解解 法法1 经计算可得经计算可得11522011700252 ,100,254225001223APBP A P 从而从而 2900227493225EBE9002274 ,225BE 1,APA0A若 可逆，则11A 1,AA A则故故 的特征值为的特征值为9，9，3.2BE 当当 时，对应的线性无关特征向量可取为时，对应的线性无关特征向量可取为129121,1,0,2,0,1TT

7、所以对应于特征值所以对应于特征值9的全部特征向量为的全部特征向量为1 122kk（ 是不全为零的任意常数）是不全为零的任意常数）12,k k 当当 时，对应的特征向量可取为时，对应的特征向量可取为3330,1,0,T所以对应于特征值所以对应于特征值3的全部特征向量为的全部特征向量为33k（ 是不全为零的任意常数）是不全为零的任意常数）3k 法法2 设设A的特征值为的特征值为 ，对应的特征向量为，对应的特征向量为 ，即即.A由于由于70,A 所以所以0.又因为又因为1,AA A.AA故有故有于是有于是有111B PP A P P1122ABEPP则则因此，因此， 为为 的特征值，对应的特征向量为

8、的特征值，对应的特征向量为2A2BE1.P 232223217223EA由于由于故故A的特征值为的特征值为 。1231,7. 当当 时，对应的线性无关特征向量可取为时，对应的线性无关特征向量可取为121121,1,0,1,0,1TT 当当 时，对应的特征向量可取为时，对应的特征向量可取为3731,1,1.T1011100001P由由得得1111231101 ,1 ,1011PPP 故故 的特征值为的特征值为9，9，3.2BE所以对应于特征值所以对应于特征值9的全部特征向量为的全部特征向量为111122k Pk P（ 是不全为零的任意常数）是不全为零的任意常数）12,k k对应于特征值对应于特征

9、值3的全部特征向量为的全部特征向量为133k P（ 是不全为零的任意常数）是不全为零的任意常数）3k二、求抽象矩阵的特征值与特征向量二、求抽象矩阵的特征值与特征向量 对于元素没有具体给出的抽象矩阵，要根据题设条对于元素没有具体给出的抽象矩阵，要根据题设条件，利用特征值与特征向量的定义，即满足件，利用特征值与特征向量的定义，即满足 ， 的的 和和 为为A的特征值和相应的特征向量；或利用特征的特征值和相应的特征向量；或利用特征方程方程 ，满足特征方程的，满足特征方程的 即为即为A的特征值；或的特征值；或利用特征值的有关性质和结论推导出特征值的取值。利用特征值的有关性质和结论推导出特征值的取值。Ao

10、0EA 例例1 设有设有4阶方阵阶方阵A满足条件满足条件20,2 ,0,TEAAAE A其中其中E 为为4阶单位矩阵，求阶单位矩阵，求A的伴随矩阵的伴随矩阵 的一个特征值。的一个特征值。A 分析分析 的特征值为的特征值为 ，其中，其中 是是A的特征值。因的特征值。因AA此，本题的关键在于计算此，本题的关键在于计算 以及以及A的一个特征值，而这的一个特征值，而这由已知条件均很容易得到。由已知条件均很容易得到。A 解解 由由 ，得，得A的一个特征值的一个特征值220EAEA 2. 又由条件，有又由条件，有42216,TAAEE即即216TA AA由于由于 ，所以，所以 ，故，故 的一个特征值为的一

11、个特征值为0A 4A A2 2.证证 由题设知由题设知0.A 例例2 证明：若证明：若A为为 阶降秩矩阵，则阶降秩矩阵，则A的伴随矩阵的伴随矩阵 的的 个特征值至少有个特征值至少有 个为零，且另一个非零特征值个为零，且另一个非零特征值（如果存在）等于（如果存在）等于nn1n1122.nnAAAA （1）当）当 时，时， ，所以，所以 的特征值为的特征值为0，0，0，结论成立。，结论成立。 2r AnAOA （2）当）当 时，时， ，这时，这时 有有 个特个特征值为征值为0，设，设 的特征值为的特征值为 ，且，且 则则 1r An1r AA1nA12,n 20.n112n1122.nntr AA

12、AA 例例3 设设A是是 阶实对称矩阵，阶实对称矩阵，P 是是 阶可逆矩阵，阶可逆矩阵，已知已知 是属于是属于A的特征值的特征值 的特征向量，则矩阵的特征向量，则矩阵 属于特征值属于特征值 的特征向量是的特征向量是nn1TP AP 11TTA PB PC PDP因为因为 11TTTP APPPP APTTTAPP ATTP AP所以，选所以，选B 。 例例4 已知已知3阶矩阵阶矩阵A的特征值为的特征值为1，-1，2.设矩阵设矩阵325.BAA（1）求矩阵）求矩阵B 的特征值。的特征值。（2）计算行列式）计算行列式 及及B5 .AI 解解 （1）由）由 ，知，知 ，故，故AkkA 3232325

13、55BAAAA因而因而 为为B 的特征值，将的特征值，将A的特征值代入的特征值代入 中，中，得到得到B 的所有特征值的所有特征值-4，-6，-12.325325 （2）因）因1, 1,2 ,4, 6, 12AdiagBdiag所以所以11 22,4612288AB 由由 ，得，得32255BAAAAI22885724BAIA （2）另解）另解 因因A的特征值为的特征值为1，-1，2，故，故112IA 3351515 1 5 1 5272AIIA 三、方阵可对角化的判定、计算及应用三、方阵可对角化的判定、计算及应用1、相似矩阵的概念、相似矩阵的概念 设设A,B 为数域为数域F 上的两个上的两个

14、阶矩阵，如果存在数域阶矩阵，如果存在数域F 上上 阶可逆矩阵阶可逆矩阵X，使得，使得 ，则称，则称A相似于相似于B，记为，记为AB；并称由；并称由A到到B 的变换称为相似变换，称的变换称为相似变换，称矩阵矩阵X 为相似变换矩阵。为相似变换矩阵。nn1BXAX2、相似矩阵的性质、相似矩阵的性质设设 阶矩阵阶矩阵A与与B 相似，则相似，则n（1） ;r Ar B（2）detdet;AB（3）;EAEB（4）11,TTkkABABAB（如果可逆）；（如果可逆）；（5）若）若 是数域是数域F上任一多项式，则上任一多项式，则 f x ;fxf B（6）方阵的相似关系是等价关系。）方阵的相似关系是等价关系

15、。3、可对角化矩阵的概念、可对角化矩阵的概念 如果数域如果数域F 上上 阶矩阵阶矩阵A可相似于对角矩阵，则称可相似于对角矩阵，则称A可对角化。可对角化。n4、可对角化矩阵的条件、可对角化矩阵的条件 （1）（充分必要条件）（充分必要条件）A有有 个线性无关的特征向量；个线性无关的特征向量；n （2）（充分条件）（充分条件）A有有 个互异的特征值；个互异的特征值；n （3）（充分必要条件）（充分必要条件）A的所有重特征值对应的线的所有重特征值对应的线性无关特征向量的个数等于其重数；性无关特征向量的个数等于其重数； （4）（充分条件）（充分条件）A是实对称矩阵。是实对称矩阵。5、方阵可对角化矩阵的判

16、定与计算、方阵可对角化矩阵的判定与计算 对于对于 阶方阵阶方阵A，判断，判断A可否对角化，并在可对角化可否对角化，并在可对角化的情形下求出相似变换矩阵和相应的对角矩阵的基本步的情形下求出相似变换矩阵和相应的对角矩阵的基本步骤如下：骤如下：n 第一步第一步 求求A的全部特征值。若的全部特征值。若A有有 个互异的特征个互异的特征值，则值，则A可对角化。可对角化。n 第二步第二步 对每一个特征值对每一个特征值 ，解方程组，解方程组 得对应得对应 的线性无关特征向量（即齐次线性方程组的基的线性无关特征向量（即齐次线性方程组的基础解系）础解系）iiiEA xo12,1,2,iiiisit 若某个若某个

17、，即对应，即对应 的线性无关特征向量的个数小的线性无关特征向量的个数小于于 的重数，则的重数，则A不可对角化；若不可对角化；若 ，则则A可对角化。可对角化。iisrii1,2,iisr it 第三步第三步 当当A可对角化时，令可对角化时，令121112121,trrttrP12121trrtrEEP APE 则则 例例1 下列矩阵中下列矩阵中 取何值时，取何值时，A可对角化？可对角化？, ,a b c1000100220232aAbc 解解 由由 ，知，知A的特征值为的特征值为1（2重）重）和和2（2重），为使重），为使A可对角化，则只需对应的线性无关可对角化，则只需对应的线性无关的特征向量均

18、有两个，也即的特征向量均有两个，也即 。 2212EA2,22r EArEA00001000000100, 2210200231230aaEAEAbbcc由于由于可见为使可见为使 ，必须，必须 ，而，而 任意。为使任意。为使2r EA0a , b c22,rEA必须必须 ，而，而 任意。任意。0c , a b故当故当 0,ac而而 任意时，任意时，A可对角化。可对角化。b 例例2 设向量设向量 且且1212,nna aab bb1 12 20Tnnaba ba ba令令 ，证明，证明A可对角化。可对角化。TA 证证 由题设知由题设知22TA TTTaaA 设设 ，即，即 为为A的特征值，的特征

19、值， 为对应的特征向量，为对应的特征向量，,Axx xox则由则由 得得 ，即，即 ，也即，也即2AaA2A xaAx2xa x.a xo 由由 知知 ，所以，所以A的互异特征值为的互异特征值为 或或xo0a 0. a又因为又因为121 122nnnaba ba ba所以所以 为为A的单特征值，的单特征值， 为为A的的 重特征值。重特征值。20n1a1n 为证为证A可对角化，只需证对应于可对角化，只需证对应于 的线性无关特征的线性无关特征向量的个数为向量的个数为 ，即齐次线性方程组，即齐次线性方程组 的基的基础解系含有础解系含有 个解向量，也即个解向量，也即 即可。即可。01n0EA xO 1

20、r A 1n由由 ，知，知 不全为零，于是不全为零，于是1 1220nna ba ba ba,iia b,oo且且 ,TAO 从而从而 1.r A 又有又有 min,1TTr Arrr ，故，故 1.r A 因此，因此，A的对应于特征值的对应于特征值 的线性无关特征向量的个的线性无关特征向量的个数为数为 ，所以，所以A可对角化。可对角化。01n 例例3 设矩阵设矩阵 ，已知，已知A有三个线性无关的有三个线性无关的1114335Axy特征向量，特征向量， 是是A的二重特征值。试求可逆矩阵的二重特征值。试求可逆矩阵P ，使，使得得 为对角矩阵。为对角矩阵。21P AP 解解 由题设知，由题设知，A

21、对应于对应于 的线性无关的特征向量的线性无关的特征向量有两个，故有两个，故 ，由于，由于221rEA也可由也可由推出推出123145 361111112202333000EAxyxxy 解得解得2,2.xy 矩阵矩阵A的特征多项式为的特征多项式为 211124226335EA 由此得特征值由此得特征值1232,6. 可求得对应于可求得对应于 的线性无关特征向量为的线性无关特征向量为122121,1,0,1,0,1TT 而对应于而对应于 的特征向量为的特征向量为 ，故可逆矩阵，故可逆矩阵3631, 2,3T123,P 使得使得12,2,6 .P APdiag 例例4 设矩阵设矩阵 的特征方程有一

22、个二重的特征方程有一个二重12314315Aa 根，求根，求 的值，并讨论的值，并讨论A是否可相似对角化。是否可相似对角化。a解解 A的特征多项式为的特征多项式为212314321818315EAaa 若若 是特征方程的二重根，则有是特征方程的二重根，则有22216 1830,a解得解得2.a 当当 时，时，A的特征值为的特征值为2，2，6.2a 此时，矩阵此时，矩阵 的秩为的秩为1，故，故 对应的对应的1232123123EA2线性无关的特征向量有两个，从而线性无关的特征向量有两个，从而A可相似对角化。可相似对角化。 若若 不是特征方程的二重根，则不是特征方程的二重根，则 为为完全平方，从而

23、完全平方，从而 ，解得，解得228183a18316a2.3a 当当 时，时，A的特征值为的特征值为2，4，4。23a 此时，矩阵此时，矩阵 的秩为的秩为2，故，故 对应的对应的32341032113EA4线性无关的特征向量只有一个，从而线性无关的特征向量只有一个，从而A不可相似对角化。不可相似对角化。 例例5 设设A为三阶矩阵，为三阶矩阵， 为线性无关的三维列为线性无关的三维列向量。且满足向量。且满足123, 1123223323,2,23AAA（1）求矩阵）求矩阵B ，使得，使得123123,;AB （2）求矩阵）求矩阵A的特征值；的特征值；（3）求可逆矩阵）求可逆矩阵P ，使得，使得 为

24、对角矩阵。为对角矩阵。1P AP解解 （1）由题设条件，有）由题设条件，有123123100,122113A 可知可知100122113B （2）因）因 为线性无关的三维列向量，可知矩阵为线性无关的三维列向量，可知矩阵123, 123,C 可逆，所以可逆，所以1,C ACB即即A与与B 相似。相似。由此可知由此可知A与与B有相同的特征值。且由有相同的特征值。且由 210012214113EB得矩阵得矩阵B的特征值，也即矩阵的特征值，也即矩阵A的特征值的特征值1231,4 （3）对应于）对应于 解齐次线性方程组解齐次线性方程组,EB xO得基础解系得基础解系121,1,0,2,0,1TTpp 1

25、21得基础解系得基础解系30,1,1,Tp 对应于对应于 解齐次线性方程组解齐次线性方程组4,EB xO34,故可逆矩阵故可逆矩阵123120,101 ,011Qp pp使得使得1100010004Q BQ因为因为1111,Q BQQ C ACQCQA CQ记矩阵记矩阵123120,101011PCQ 121323, 2, 即即P 即为所求的可逆矩阵。即为所求的可逆矩阵。四、由特征值或特征向量反求矩阵中的参数四、由特征值或特征向量反求矩阵中的参数 若已知条件中给出特征向量，由定义式若已知条件中给出特征向量，由定义式 可以可以求出矩阵求出矩阵A中的参数和特征向量中的参数和特征向量 对应的特征值对

26、应的特征值 ；若只；若只给出特征值而没有给出特征向量，一般用特征方程给出特征值而没有给出特征向量，一般用特征方程 求解。求解。Axxx0EA 利用有关性质，如利用有关性质，如 （1）若）若A与与B 相似，则相似，则;EAEB（2）相似矩阵有相同的特征值；）相似矩阵有相同的特征值； （3）若）若 的的 个特征值为个特征值为 ，则，则ijn nAan12,n 121122,nnnaaa12nA 等也可确定矩阵中的参数。等也可确定矩阵中的参数。 例例1 已知已知 是矩阵是矩阵 的一个特征的一个特征向量。向量。1112125312Aab（1）试确定参数）试确定参数 及特征向量及特征向量 所对应的特征值

27、；所对应的特征值； , a b（2）问）问A能否相似于对角阵？说明理由。能否相似于对角阵？说明理由。 解解 （1）由）由 ，得，得A212115311,1211ab即即2 1 25312ab 解得解得 ，特征向量，特征向量 对应的特征值对应的特征值3,0ab 1. （2）由）由 知知 是是A的三重特征值，又的三重特征值，又1 31EA312101523011100000EA 所以所以 ，从而，从而3重特征值重特征值-1对应的线性无关特对应的线性无关特征向量只有征向量只有1个，故个，故A不能相似于对角矩阵。不能相似于对角矩阵。2rEA 例例2 已知已知 是矩阵是矩阵 的逆矩阵的逆矩阵11k 21

28、1121112A的特征向量，试求常数的特征向量，试求常数 的值。的值。1Ak 解解 设设 是是 所属的特征值，则所属的特征值，则 ，即，即1AA ，于是，于是1211112111121kk 由此得由此得31,22kkk解得解得112211,2;,1.4kk 于是于是 或或 1 时，时， 是是 的特征值。的特征值。 2k 1A 例例3 已知矩阵已知矩阵 与与 相似，相似，111111bAba000010004B求求, .a b 解解 法法1 因为因为A与与B 相似，所以相似，所以 ，得，得EAEB3222322122154ababb 比较两边同次幂的系数，得比较两边同次幂的系数，得2225,12

29、4,210ababb 解得解得3,1.ab 法法2 因为因为A相似于相似于B，而，而B 为对角阵，故知为对角阵，故知A的特征的特征值为值为0，1，4，可求得，可求得322221221EAababb 分别令分别令 得得0,1,4,22222210121221064 1624 12210bbababbababb 解得解得3,1.ab 法法3 利用利用123112233123,aaaA 并注意并注意A的特征值为的特征值为0，1，4，得，得2110 14,10 1 40aAb 解得解得3,1.ab五、由特征值或特征向量反求矩阵五、由特征值或特征向量反求矩阵 提供了矩阵提供了矩阵A的特征值与特征向量的足

30、够多信息，确的特征值与特征向量的足够多信息，确定定A的元素，即为反求矩阵的问题。在这类问题中，矩阵的元素，即为反求矩阵的问题。在这类问题中，矩阵A一般是可对角化的。一般是可对角化的。 例例1 设三阶实对称矩阵设三阶实对称矩阵A的特征值为的特征值为1，-1，0，其中，其中131,0的特征向量分别为的特征向量分别为 131, ,1,1,1,TTaa a求矩阵求矩阵A。 分析分析 这是已知全部特征值与部分特征向量，反求另这是已知全部特征值与部分特征向量，反求另一部分特征向量及矩阵一部分特征向量及矩阵A的问题，这类问题一般是对实对的问题，这类问题一般是对实对称矩阵来讨论的，主要是利用实对称矩阵的不同特

31、征值称矩阵来讨论的，主要是利用实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交的性质。对应的特征向量正交的性质。 解解 由于由于A是实对称矩阵，故有是实对称矩阵，故有13,110aa a 解得解得 ，从而，从而1a 131, 1,1,1,0,1.TT 2123,Tx x x 设设 是是A对应特征值对应特征值 的特征向的特征向量，它与量，它与 都正交，于是都正交，于是13, 21 211232313,0,0 xxxxx 解得其基础解系为解得其基础解系为 ，于是，于是 ，令，令1,2,1T21,2,1T123111,120111P 则则1100010000P AP故故1100141101042460001

32、41APP 例例2 设三阶实对称矩阵设三阶实对称矩阵A的秩为的秩为2， 是是A的的二重特征值，若二重特征值，若 都是都是A的属于特征值的属于特征值6的特征向量。的特征向量。1261231,1,0,2,1,1,1,2, 3TTT （1）求）求A的另一个特征值和对应的特征向量。的另一个特征值和对应的特征向量。 （2）求矩阵）求矩阵A。 解解 因为因为 是是A的二重特征值，故的二重特征值，故A属于特征属于特征值值6的线性无关的特征向量有的线性无关的特征向量有2个，由题设可得个，由题设可得 的一个极大无关组为的一个极大无关组为 ，故，故 是是A属于特征值属于特征值6的的线性无关的特征向量。线性无关的特

33、征向量。126123, 12, 12, 由由 可知，可知， ，所以，所以A的另一个特征值的另一个特征值 2r A 0A 30. 设设 所对应的特征向量为所对应的特征向量为 ，则有，则有303123,Tx xx13230,0TT ，即，即12123020 xxxxx解此方程组的基础解系为解此方程组的基础解系为 ，即，即A属于特征值属于特征值 的特征向量为的特征向量为 （ 为不为零的任意常数）为不为零的任意常数）1,1,1T 31,1,1Tkkk （2）令矩阵）令矩阵 ，则由，则由 123,P 1600060000P AP422242224A六、有关特征值与特征向量的证明六、有关特征值与特征向量的

34、证明 涉及矩阵涉及矩阵A的特征值与特征向量的证明问题，往往的特征值与特征向量的证明问题，往往是由定义是由定义 出发，经恒等变形推证有关结论。出发，经恒等变形推证有关结论。Axx 例例1 设设A和和B 均是均是 阶非零方阵，且满足阶非零方阵，且满足n22,AA BB ABBAO证明：（证明：（1）0和和1必是必是A和和B 的特征值；的特征值； （2）若）若 是是A的属于特征值的属于特征值1的特征向量，的特征向量，则则 必是必是B 的属于特征值的属于特征值0的特征向量。的特征向量。 证证 （1）由）由 ，得，得 ，又，又2AAEA AO,AO所以所以 有非零解，从而有非零解，从而EA xO0,EA

35、即即 必是必是1A的特征值。的特征值。又因为又因为 且且 ，从而，从而 有非有非,ABOBOAxO零解，即零解，即 ，故，故 也必是也必是A的特征值。的特征值。AO0同理可证，同理可证，0和和1必是必是B 的特征值。的特征值。（2）由题设）由题设 ，则有，则有A 例例2 设设 是矩阵是矩阵A的两个不同的特征值，对应的的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为特征向量分别为 ，则，则 线性无关的充分线性无关的充分必要条件是必要条件是12, 12, 112,A 12120000ABCD 分析分析 设设 ，整理得，整理得11212kk Ao1211222kkko 由于由于 是矩阵是矩阵A的两个不同的特

36、征值，所以对应的的两个不同的特征值，所以对应的特征向量特征向量 线性无关，从而线性无关，从而12, 12, 121220,0.kkk上述方程组只有惟一零解的充分必要条件是上述方程组只有惟一零解的充分必要条件是 ，这，这即是即是 线性无关的充分必要条件。线性无关的充分必要条件。20112,A应选（应选（B）。）。BB A0BAOo可见可见 是是A的属于的属于1的特征向量时，的特征向量时， 也是也是B 的属于的属于0的的特征向量。特征向量。 例例3 设设 阶方阵阶方阵A可与对角阵相似，可与对角阵相似， 是是A的一个特的一个特征值，征值， 是是A属于特征值属于特征值 的特征向量，试证：的特征向量，试

37、证： 元线元线性方程组性方程组 无解。无解。nn000 x00EA xx 证证 用反证法用反证法 若线性方程组若线性方程组 有解，有解，00EA xx设为设为 ，即，即 ，根据题设，存在可逆矩阵，根据题设，存在可逆矩阵0y000EA yx011,nTx xx，使得，使得1011,.nTATdiag 011,nx xx由于由于T 可逆，所以可逆，所以 线性无关，从而它们为线性无关，从而它们为 的一组基。故的一组基。故nF0001 111nnyk xk xkx于是于是000000 xEA yyAy00001 111nnyA k xk xkx 0001 11100011 1111nnnnnk xk

38、xkxkxkxkx01011110111nnnnxkkxkkx这与这与 线性无关矛盾，故不存在线性无关矛盾，故不存在 使使011,nx xxx00EA xx七、相似矩阵的判断与证明七、相似矩阵的判断与证明 已知两个具体的已知两个具体的 阶矩阵阶矩阵A和和B ，判断，判断A与与B 是否是否相似常采用如下方法：相似常采用如下方法：n 方法方法1 当当 ，或，或 ，或，或IAIBAB ,r Ar B有一个不成立时，有一个不成立时，A与与B 不相似（因为上述条件均为不相似（因为上述条件均为A与与B 相似的必要条件）。相似的必要条件）。 方法方法2 当当A与与B 都相似于同一个对角矩阵时，都相似于同一个

39、对角矩阵时，A与与B 相似（所给的条件仅是充分的）。对于抽象矩阵相似（所给的条件仅是充分的）。对于抽象矩阵A与与B 是否相似，常用定义判定。是否相似，常用定义判定。 例例1 已知已知3阶方阵阶方阵A与与3维列向量维列向量 ，使得向量组，使得向量组x2,x Ax A x线性无关，且满足线性无关，且满足3232.A xAxA x （1）记）记 ，求，求3阶方阵阶方阵B，使，使2,Px Ax A x1.APBP（2）计算行列式）计算行列式.AE解解 （1） 矩阵矩阵B满足满足 ，即，即 。由于。由于1APBPAPPB 223,APA x Ax A xAx A x A x22,32Ax A xAxA

40、x2000,103012x Ax A xPB所以所以000103012B（2）1AEPBPE1P BE PBE1001134011 证证 由于由于 ，所以，所以1122,PAQB PA QB111111121212B BPAQQ A PP A AP必要性获证，下证充分性，必要性获证，下证充分性， 设设 ，则，则1111212B BZA AZ111122.BZAA ZB,P Q令令1122,PZQA ZB则则 均为可逆矩阵，且均为可逆矩阵，且 例例2 设设 是是 阶方阵，其中阶方阵，其中 是可是可逆的，试证：存在可逆矩阵逆的，试证：存在可逆矩阵 使使1212,A A B Bn22,A B1,2i

41、iPAQB i成立的充分必要条件是成立的充分必要条件是 和和 相似。相似。112A A112B B,P Q111122222,BPAQPA QZAA ZBB八、正交矩阵的判断与证明八、正交矩阵的判断与证明1、正交矩阵的概念、正交矩阵的概念 阶矩阵阶矩阵A为正交矩阵为正交矩阵nA AI1.AA2、正交矩阵的性质、正交矩阵的性质 （1）如果）如果A是正交矩阵，则是正交矩阵，则1;A （2）如果）如果A是正交矩阵，则是正交矩阵，则 均为正交矩均为正交矩阵阵 ；而；而 是正交矩阵的充分必要条件是是正交矩阵的充分必要条件是 1,kA AAAlA1;l （3）如果）如果A，B 是是 阶正交矩阵，则阶正交矩

42、阵，则AB 也是正交矩阵；也是正交矩阵；n （4） 阶实矩阵阶实矩阵A是正交矩阵的充分必要条件是，是正交矩阵的充分必要条件是，A的的列（行）向量组是规范正交向量组。列（行）向量组是规范正交向量组。n 判定一个实方阵判定一个实方阵A是否为正交矩阵往往用定义，也可是否为正交矩阵往往用定义，也可验证验证A的列（行）向量组是否是规范正交向量组。当已知的列（行）向量组是否是规范正交向量组。当已知A是正交矩阵求证其他结论时，要用到正交矩阵的定义及是正交矩阵求证其他结论时，要用到正交矩阵的定义及有关性质。有关性质。 例例1 如果实对称矩阵如果实对称矩阵A满足满足 ，证明：，证明：243AAIO2AI为正交矩

43、阵。为正交矩阵。 证一证一 因为因为A满足满足 和和 ，所以，所以 243AAIOTAA 2222TTTAIAIAIAI22AIAI244AAI243AAIII2AI为正交矩阵。为正交矩阵。故故 证二证二 由由 得得 ，所以，所以243AAIO22AII122AIAI22TTTAIAI2AI为正交矩阵。为正交矩阵。故故 例例2 求证：不存在正交矩阵求证：不存在正交矩阵A,B ，使，使22.AABB 证证 用反证法用反证法 若存在若存在 阶正交矩阵阶正交矩阵A,B ,使使n22.AABB式右乘式右乘 得得1B21ABA B式变形为式变形为 ，再左乘，再左乘 得得2A ABB1A12ABA B由于由于A,B 是正交矩阵，从而是正交矩阵，从而