应用数理统计,施雨,课后答案,

1、.习题11.1 解：由题意可得：而这可通过查N(0,1)分布表，那么1.2 解：(1)至800小时，没有一个元件失效，则说明所有元件的寿命>800小时。那么有6个元件，则所求的概率 (2)至300小时，所有元件失效，则说明所有元件的寿命<3000小时那么有6个元件，则所求的概率1.3解: (1) 因为,所以 其中, (2) 因为,其概率密度为 所以, ,其中 (3) 因为,其概率密度为 所以,其中 (4) 因为,其概率密度为 所以,其中1.4解：由题意可得：则1.5证: 令 则, 令,则可解得 由于这是唯一解,又因为, 因此,当时,取得最小值1.6证: (1)等式左边 左边=右边,

2、所以得证. (2) 等式左边左边=右边,所以得证.1.7证：(1) 那么原命题得证 (2)那么=-+-+=-+-=-(+) 由(1)可得：=则上式原命题得证1.10 解: 因为 所以 (1) 二项分布 (2) 泊松分布, , (3) 均匀分布, , (4) 指数分布, , (5) 正态分布, , 1.11解：(1)是统计量(2)不是统计量，因为未知(3)统计量(4)统计量 (5)统计量，顺序统计量 (6)统计量 (7)统计量 (8)不是统计量，因为未知1.14.解: 因为独立同分布,并且, 所以;令,则,由求解随机变量函数的概率密度公式可得1.15 解：(1)的概率密度为： 又F(x)=且f(

3、x)=2x，0<x<1 则有，0<x<1(2)与的联合概率密度为：= 0<x<y<1对于其他x,y，有1.19证：现在要求Y=的概率密度。令g(x)= 可得当0<y<1 有g(x)= 0 求g(x)的反函数h(y) 得h(y)=又h(y)=这样可得Y的概率密度：(yg(R) = = (0<y<1) 对于其他的Y有原命题得证1.20证明: 令,其中,则 因为,而, 所以1.21解：(1)由题意可得：=8,n=25 对于ó 又通过查N(0,1)分布表，可得：P7.8<<8.2=0.6915-(1-0.6915)

4、=0.383 (2)和(1)一样即求-1.25<<0的概率通过查表可得：P=0.5-(1-0.8944)=0.3944 (3)此时n=100即求-1<<1的概率通过查表可得：P0.8413-(1-0.8413)=0.6826 (4)单个样品大于11分钟即x>11 可得该概率p1=1-0.9332=0.0668 25个样品的均值大于9分钟，即可得该概率为p2=1-0.9938=0.0062 100个样品的均值大于8.6分钟即 可得该概率P3=1-0.9987=0.0013 综上所述，第一种情况更有可能发生。1.22 解：=2.5 =36 n=5 (1)ó

5、而即通过查表可得P0.1929(2)样本方差落在3040的概率为0.1929 样品均值落在1.33.5的概率即：P1.3<<3.5óP-0.4472<<0.3727又N(0,1) 查标准正态分布表可得：P1.3<<3.50.3179这样两者同时成立的概率为P0.19290.3179=0.06131.23 解：(1) = = 由定理1.2.1只要和服从N(0.,1)分布则上式为分布E()0 D()= E()=0 D()= 要使和服从N(0,1)分布，则1且1这样可得：(2) 由定理1.2.2 xN(0,1)Y>TE()=0 D()= 则服从N(

6、0,1)分布。E()=0 D()=则服从N(0,1)分布服从分布则服从t(m)分布令这样可得C(3)由定理1.2.3 ，X,=>F= 则这样有可得/(/m)F(n,m)令其则d=1.25 证：则> =>(/)/()F(,) =>习题22.1解：(1) 则，令，则这样可以得到：（2）xu(a,b) 则令： 这样可以得：或者（因为a<b,故舍去）（）令即有又<1解得：（）=令上式令，则（）令x-a=t t服从参数为的指数分布则令可得：（）XB(m,p) 令2.2解: (1) 由于,所以, 因此, 令,该似然方程有唯一解,所以的极大似然估计量为 （2）由于,所以,

7、 所以,样本的联合概率密度为,故的似然函数为,易见,当时,取得最大值,故的极大似然估计量为 (3) 因为,所以, 令,该似然方程有唯一解,所以的极大似然估计量为 (4) 因为,所以,令,该似然方程有唯一解,所以的极大似然估计量为 (5) 样本的联合概率密度为,易见当时,取得最大值,因此的极大似然估计量为;而令,该似然方程有唯一解,所以的极大似然估计量为 (6) 因的概率函数为, 故的似然函数为, 对数似然函数为, 令,该似然方程有唯一解,故的极大似然估计量为.2.3 解：似然函数L（P;x）= = = 令：又因p的极大似然估计量为2.4解：该产品编号服从均匀分布，即xu(1,N) 矩估计方法：

8、令：则有：极大似然估计方法：（N）= 显然：当=min(x1,x2,-xn)时，L(N)取得最大值，只有一个值710,即N的极大似然估计量为7102.5解:由于总体,所以的极大似然估计量分别为,而由题意可知,所以,即,因此的极大似然估计量为.2.6 解：(1)R= (2)将题中数据等分为三组第一组:2.14,2.10,2.15,2.13,2.12,2.13, 2.10,2.15,2.12,2.14,2.10,2.13 2.11,2.14,2.10,2.11,2.15,2.10 平均极差：2.7.解: (1) 证:因为,所以是的一个有偏估计量; 因此, (2) 由于,所以当作为的估计量时,是的无

9、偏估计量 (3) 2.8.证明：对于对于对于由上面可以见：u,都是的无偏估计量，又<<估计量最有效2.9解: 由于, 所以,当时,为的无偏估计量.2.10证明：对于有E()= = = =都是的无偏估计量2.12证明：假设存在估计量是的无偏估计量则有的分布为则E()=,要使，则p，但是未知参数，可见：不存在无偏估计量2.13解:首先,对于两点分布,有,即,而,于是,已知,故,因此的下界为.其次,由于,所以最后,由于,因此2.14解：服从泊松分布（），x=0,1,2,- =的 R-C下界为2.16证明：由已知可得若是的均方相合估计，则有又：所以：2.18解：(1)T=()则有：T()=

10、的充分估计量为（）对于样本的联合概率密度：，,K(T,)=的充分估计量为2.21证明：（）为取自的样本，则其联合概率密度为： 对照定理2.3.6的形式： 这样可得：是的无偏估计量由定理2.3.5，这样，可得是可估函数一致最小方差无偏估计（）首先是的无偏估计 则有又因为是的有效估计量2.22解: (1) 由于元件的寿命服从指数分布,而是的无偏估计,且有,令,则即为符合要求的枢轴量.对给定的置信度,查分布表,得,使得,即,故的置信度为的置信区间为,的置信度为的置信区间为,因此,参数的置信度为90%的置信区间为 元件的平均寿命的置信度为90%的置信区间为;(2) 由(1)的分析可知,的置信度为的单侧

11、置信下限为,的置信度为的单侧置信上限为,因此,元件平均寿命的置信度为90%的单侧置信下限为 元件平均寿命的置信度为90%的单侧置信上限为.2.23解：由题意得总体xB(1,p) 当总分大时：有p=1- 由题意得：1-0.95 ,=0.05,=,n=105 查表得1.96 这样，我们可以解得：p的置信度约为0.95 的置信区间为：（0.4768,0.6661）2.24解：由中心极限定理可得，当n充分大时，对于P（）分布有：，在这里，充分大，u=, 则有 通过解不等式可得：的置信度近似为的置信区间为（，）2.26解：对于正态分布N（），当已知时：的置信度为1-的置信区间为：（，）那么置信区间的长度

12、= 若,可解得2.28解：首先求前家公司飞机平均晚点时间的95%的置信区间：已知35,n=30,s=15,1-=95% 在这里方差未知，有故有：p|<=95%的置信度为95%置信区间为：（，）又：，查表可得：这样可得置信区间为：（29.303,40.697）的单侧置信上限为对于前家公司，可求得单侧置信上限为39.733对于后家公司，可求得单侧置信上限为36.310可见第二家公司的单侧置信上限较小，所以后选择第二家公司。2.30解：u未知，则有 那么，P =1 即 P =1 的置信度为1的置信区间为： 在这里n=10 =576.4 ，=676.4 =10.95=0.05=19.023 =2

13、.700 可得的置信度为0.95的置信区间渭（5.9630，15.8278）的单侧置信下限为 查表得：=16.919 可得：的置信度为0.95的单侧置信下限为6.32292.32解：由于两分布方差相同：T=其中=那么的置信度为1的置信区间为：在此题中=0.14125，=0.1392，=0.05，=2.3646=0.00255147 =0.67082039可计算得的置信度为0.95的置信区间为：（-0.00200，0.00610）2.34解： 此题中和均未知， =9 令=， i=1,2,.,9 则那么的置信度为1的置信区间为：Z=-2.778,=3,=2.3060这样可计算得的置信度为0.95的

14、置信区间为：(-6.2956,0.7400)习题33.1证： 由于总体XN(u,1)，又如果假设：=0成立 则对于样本均值有 即 5N（0，1） (1)拒绝域为 则功效函数=0 即0.05=0.05 (2)拒绝域为即0.05=0.05 (3)拒绝域为=0.053.2 证明： N(0,1)212（1）12（1）1 故以W为拒绝域的检验符合显著水平为的要求。3.3解： 依题意总体。 要检测假设：=83.8%：83.8% 在这里未知， 以作为检验统计量：拒绝域为 通过计算得：=83.88%， <接受假设，也就是说更换了原料之后成品率没有发生变化3.4 解:提出假设 ： 112.6 <-&

15、gt; 112.6 采用检验统计量 T t (n-1) 对样本数据进行计算得112.8,1.136,n=7,=2.646,成立时 T=0.4658 拒绝域为 查表知 2.4469< 接受，认为无系统偏差3.5解：依题意，总体, 和均未知。要检验假设：=1260 ：1260 以T=作为统计量。的拒绝域为在该题中，n=4 ，=1267， 又 可见拒绝原假设，也就是说，不能认为锰的熔点为12603.6 解:提出假设 ： 0.1<-> 0.1 采用检验统计量 (n-1) 对样本数据进行计算得 n=5,=0.001729,=0.01,成立时 可知 0.692 拒绝域为 (n-1) 或

16、(n-1) 查表可知 (4)=11.143 (4)=0.484 由于 (4)<<(4) 接受，认为总体标准差为0.13.7解：依题意，总体, 和均未知。要检验假设：=0.048 ：0.048以上假设： =0.002304 ： 0.002304以作为统计量。的拒绝域为这里n=5,=1.414, =0.00778查表得：拒绝原假设，也就是说这一天纬度的总体标准差不正常3.8 解:提出假设 ： <-> 采用检验统计量 T= t (+-2) 其中 对样本数据进行计算得13 80.02 8 79.98 0.02664 成立时 T3.341 拒绝域为 (+-2) 查表知 2.093

17、>拒绝，认为总体均值不相等3.9解：总体X和Y分别服从正态分布 其中=5， =8要检验假设： =0 ： 0 以作为检验统计量在该题中有N（0，1）那么拒绝可为=24.4 =25 =0.3721，=1.96可见<接受原假设，即认为两批烟叶的尼古丁平均含量相同3.11解：总体X和Y分别服从正态分布，四个参数均未知要检验假设： =0 ： 0: =1 1对于，以作为检验统计量，其中=拒绝域为=15.0125 =15 =0.66875 =0.22 =0.2357t=0.1091 经查表 =2.1315t>接受假设对于，以F=作为检验统计量，有的拒绝域为 经计算F=3.4740 查表：=

18、0.2041=4.53<f<接受假设 这样同时接受和，那么认为这两个分布是同一分布。3.13解：在该题中，其中未知对于单侧假设Ho: 以T作为检验统计量Tt(n-1) 当成立时候，T应偏向取正值，T取过分大的负值将不利于原假设，拒绝域取为T在该题中,n=13, 计算所以可以接受原假设3.14 解:假设： <22 <-> 22 采用检验统计量T t (n-1) 对样本数据进行计算得=21.8,S=0.9,0.909,n=50,=7.071成立时 有T=-1.556 拒绝域为 T(n-1) 查表可知（49）=1.2816 由于T<（49） 接受， 认为平均持续工

19、作时间达不到22小时3.15解：在该题中，其中未知对于单侧假设H：以T作为检验统计量，其中当成立时，应偏向取负值，T取过分大的正值将不利于原假设拒绝域取值为在该题中，经查表可得可见>,t落在拒绝域内所以拒绝原假设。3.16 解:提出假设 ： <-> 显然为大样本参数假设检验 采用检验统计量 U 大样本时近似 N(0,1) 对样本数据进行计算得 成立时U=8.03 拒绝域为 U 查表知 1.65 由于 U> 接受，认为甲枪弹的速度比乙枪弹的速度显著地大3.17解：由题意可得：，其中，现要检验Z机床的加工精度是否比甲机床的高，提出如下假设：以F作为检验统计量 拒绝域为：那么

20、2.7451, 可见> 所以接受原假设，即认为乙机床的加工精度比甲高3.19解：原假设ó:X即XX的可能的值为S0,1,2,3 把划分成个不交子集，1,4 当成立时，有：PX=0=, PX=1=, PX=2=, PX=3= 又：K112=2.2 本题中，自由度，对给定的，查分布表，得可见，所以接受原假设，也就是认为袋中的红球数为个3.21解：提出假设：其中为未知参数先由题中数据可以算出的极大似然估计以替换，把可能取值的区间0,分为不相交的个子区间，当成立时，分别计算各组的理论频数和实际频数，可得小表：组号123456分组区间i0.282400.202650.145420.104

21、350.074880.19033.3892.4321.7451.2520.8992.284221331那么可的本题中分组数，未知参数个数，自由度对给定查分布表，可得可见所以拒绝原假设，即认为仪器的无故障时间不服从指数分布。3.23解：对于本题，提出假设：F=Gó，拒绝域为 对于甲也就是F分布有下表：iX(i)（）di119.019.20219.719.4319.819.7420.019.8520.120.5620.420.6720.520.811 n=<100 接受原假设，认为两个工人加工的主轴外径服从相同的分布。3.25解：记疗效为X，年龄为Y，对于指标X，取种值：分别记显著

22、、一般、较差分别为:A1,A2,A3;对于指标Y也取三种值：儿童B1、成年B2、老年B3于是有r=s=3，本题要检验如下假设：至少对某组（，）有其中那么可得：= + + =2.8404+0.5104+1.2003+4.9527+0.6410+2.5483+0.4554+0.1767+0.4316=13.757 拒绝域为又可见：> 所以拒绝原假设，也就是说疗效与年龄无关习题44.1解：提出假设：不同速率对硅晶圆蚀刻的均匀性无显著影响。 经计算得： 本题的方差分析表如下：方差来源平方和自由度均方和F值因素A=3.6472=1.8235F=3.585误差E=7.62915=0.5086总和T=

23、11.27617 在这里r=3，n=18，对给定的，查F分布表，得 因为F<，所以接受，也就是认为不同速率对硅晶圆蚀刻的均匀性无显著影响。4.3解：提出假设：这三种净化器的行车里程之间无显著差异。 经计算得： 本题的方差分析表如下：方差来源平方和自由度均方和F值因素A=15.4662=7.723F=5.344误差E=10.1177=1.445总和T=25.5839 在这里r=3，n=10，对给定的，查F分布表，得因为F>，所以拒绝，也就是说这三种净化器的行车里程之间有显著差异。4.2 解:提出假设：=0，即三组玻璃碎片的平均折射率没有显著差别：不全为零，即三组玻璃碎片的平均折射率有

24、显著差别=0.05计算结果见下表: Sum of SquaresdfMean SquareFSig.Between Groups6034.46723017.23329.168.000Within Groups2793.00027103.444 Total8827.46729 查表得=3.35所以,拒绝，接受。可以认为三组玻璃碎片的平均折射率之间有差别。4.3因素是一个，水平共有3个 A B 方差源平方和自由度均方和F值 因素15.4527.7254.74 误差 Qe8.51171.2159 总和 Qt23.9619总体为 应该做检验 F=6.353F(2,7) 当a0.05时 因为F6.353

25、>4.74 所以这三种净化器的行车里程中间有显著差异4.4解：（1）提出假设：这些抗生素与血浆蛋白质结合的百分比的均值无显著差异。 经计算得： 本题的方差分析表如下：方差来源平方和自由度均方和F值因素A=1480.8234=370.206F=40.844误差E=135.82315=9.055总和T=1616.64619 在这里r=5，n=20，对给定的，查F分布表，得 因为F>，,所以拒绝，也就是说这些抗生素与血浆蛋白质结合的百分比的均值有显著差异。 （2）由题意可得： 对于给定的置信度，查分布表得使得： P|T|<= 这样可得的置信区间为（，） 可以计算出5种抗生素与血浆蛋

26、白质结合的百分比的均值的置信区间分别为： （23.4800，33.7200），（26.3291，32.4209），（4.0318，11.6182），（16.2009，21.9491），（21.4510，34.1490）的置信度为的置信区间为（） 这样可以计算得青霉素与链霉素，红霉素与氯霉素的均值差的置信区间分别为： （16.2397，25.3103），（-13.2603,-4.1897）。4.5解：（1）经计算得补充好的方差分析表如下：方差来源离差平方和自由度均方离差F值处置方案因子21.5556210.77785.5429区组因子0.889020.44450.2286误差7.777741.9

27、444总和30.22238 （2）原假设和备择假设如下：不同处置方案的结果无显著差异：不同处置方案的结果有显著差异：不同区组的结果无显著差异：不同区组的结果有显著差异 对给定的，查F分布表，得 因为F<，F<，所以拒绝和，也就是说不同的处置方案和不同的区组对结果均无显著影响。4.8解：补充好的因素方差分析表如下：方差来源离差平方和自由度均方离差F值A130113015.6B630231537.80B402202.4误差150188.3333总和95023A、因素B以及因素A、B的交互作用对结果的影响大小，若给定参数可以对相关假设进行检验。4.10解：正交表的选择范围为2水平且至少有

28、6列的正交表，那么选择正交表： 作表头设计因素ABBCDD列号1234567 可作试验方案如下：列号试验号A1B2B3C4D5D6711111111211122223122112241222211521212126212212172211221822121124.11解：（1）先认为表头如下：因素ABBCCD列号1234567由题意计算得：计算极差可得：那么由极差可得各因素（包括虚因素）的重要性依次为：D要求效价越高越好，这样各因素应取较大的值，显然因素D的重要性可以确定取水平，对于虚因素，各种情况取值如下：4.493.342.763.35根据以上表格可得因素A和C分别取水平和，对于最后一个因素B显然要取水平，这样可得最优试验方案为。（2）由（1）中数据可得：可得的自由度为7，的自由度都为1，的自由度也为1，那么有：对给定的，查F分布表，得 由方差分析来看各因素对试验指标均无显著影响。习题