恒成立高中数学恒成立专题解法总结

1、、曲线恒过定点问题有关含有参数的曲线方程的恒成立问题是学生普 遍感到困难的问题参数与主变元交错在一起，目标不 明确，将参数别离岀来，可使问题明朗化.例12 a- 3b= 1,证明直线与+ by二5恒 过定点证明：由la - 3 b 1 ，得相二3Z? + I打代入直线 方程后别离参数b,得(x- 1 ()丿 + b( 3x + 2y) = (1亠亠丁 J -V-10=010?由方程组解帮3x+ 2y= 0y= - 15.二方程仏- 1 0； + b( 3x + 2y) - 0表示经过两直 线龙- 10=()与3x+ 2y= 0的交点f 10, - 15丿的直线 系方程.故直线欣+ by= 5在

2、2“ - 3心1时恒过定点 (10? - 15；.直线mx-y+2m+1=0经过一定点，那么该点的坐标是A (-2 , 1) B (2, 1) C (1, -2) D (1, 2)1 例2 己知动圆-20= 0,取任何实数值，动G相切.C: X+ v 一 4rrv + 2av + 20a a R,定圆(；2； X 2+ j-2= 4 f 1 ；证明不管 aG恒过一个定点"2丿求碍使圆证明 1丿将圆Ci屮的参数“别离出来，得 + J. - 20 = 6 有一解2y- 4x+ 20= 0工+-2()j +a(2y- 4.r +20) =0_/方程组工二丄了二-2.二f半)式表不过直线2y

3、 - 4x + 20= 0与圆X ' + y、20的交点/4, - 2丿的圆系方程.G不管口取任何实数值恒过定点故动(屯一 2几、方程恒有解问题别离参数法源于函数思想.化归思想-在含有参数 的方程屮，将参数视为主变元的函数假设能通过适当的 恒等变形，使方程一端化成只含参数的解析式，而另一 端为与参数无关的主变元的函数.函数关系就由衣隐T 转化为'显J我们只要能求出主变元函数的值域，那么参 数的取值范围便可以确定了.例3关于兀的方程9 + (4+ a)才+ 4= 0恒有 解，求实数a的取值范围.解：别离参数岛得(4+ a)= 3* + t3'* f 4+ a) 4,.即

4、一8.当a C- 8时方程恒有解(x = logs2时取，于丿 此例充分表达了别离参数法的优越性，显然要比 篥判别式赖法简捷丁且不易出错.例4 关于。的方程sin0- acosfi + 2盘- 3= 0恒 有解，求实数口的取值范围.解j原方程等价于J 1 + a2 si n( 9 -k= 3- 2和(其屮t呂4二-门人别离参数a.得3- 2a匸sinf94鬥.T I sin("9+ 幼I <1,二2 J3J C a C6+ 2 Ji).范用遛象直线)可得上述结论等价于或!IL的取逍范围在即城<0<f(n) <0大于故有及几关键在于该把哪个字母看成是一个变 量另

5、个作为常数乜显然可将尸视作自变 量，那么上述问题即可转化为在-2,2内关于分析：在不等式中出现了两个字母三、不等式恒成立1、一次函数一、一次函数型给定一次函数v=/(x)=ax4 SHC& 假设 yf(x)在网刚内恒有/Xi) >0*叮.根据函数的i.迥设条件答价于不 曲 A 0 隹 * / L *例L对于满足啊£2的所有实数弘求 便不等式严412尸+戈恒成立的例1.对于满足p2的所有实数卉求 使不等式?4+|>2?+.r恒成立的r的取值I时毬设条件等倚于不等盘u L即0工) u 在 k ,的2j > 0+扫ZQ JI1-旳*剜问题可转化为 .2/上恒成立.

6、I- QT.則问锤叮转化为 2上恒成立.>/ -aj < (h ft 內 < ay(m) X)Jy-ni) >0f(.n) >0=2 as A 0 且 M (L 2/ _t恒或立 MS即 h( 2j < a芋S >0 即口2> >0x>3 或 X<1P的一次函数大于0恒成立的问题n 略解：不等式即(一1)卩+/-2|丸,设 f(p) = (x 1)p+x22x+1,那么/伞)在-2,2上恒例J关于*的不辞式1/2- z" 0 在应哥八2；上巡成立.求宾竝"的取值范 圈.分斩 平等式1O0- m Y O在区间

7、上悄成立"等价于不等式1怦2- di ! <叶罪-f L, 2J恒成芷 M当Ov 辱式2亠ax A 上怛成立令力工i -> 0 庄 JC £ / I综合，门討耳町冉。弋fl < V注 本龜涉及一次函Sk 在某个区I网a导 匕恒大于3或恒那于* 由于一次函数在区间fm內上的罔象最一缆 段.玆只霜保证该S!段两；#点均径jt轴上力 或T方八即/ a) > fl> a_r2-4r+3>0解得，七0a<0亦可合并成 f(n) >0同浬假设在Q内恒有./ Cr) <0,那么有2、二次函数型/(jr)>0在jG a禺上恒成立3

8、=bw)>o；20/(-I) M0类型 1 设 /(r)=djr: +方工+c 5HQ). /lx)>0 在 xGR±恒成立<>d>0 且 /(zXO 在 j&Rl 恒成立 <>d<0 且 i<0.类型2 设/(工)一卫工+抚r + fdHOh(D当a>0时，/(x)>0在 *"上恒成立e厂或严专切或厂召沖/(z)<0在x6 /上恒成立(2)当 d<0 时、AxXO在JtC 日卩上恒成立例 2设/Ct) =x2-2ar+2t当 xe-lf+« 吋，都有f&)勿恒成立，求口

9、的取值范圉.解:设AXx)寸兀) -a=x- 2ax+2-ff1)当 _1=4 (a- 1) G+2) <0 时 t 即一2g 1时，对切x c 1,+* |i A (x)鼻)恒成立:ii)当(卄2) mo时中图可得 以下充要条件：(a 1) 3+2) 2()即 a+30盘 W .11h孑 r-汙或/(a)>0(得-3WW-2;粽合口J得左的取值范圉为-3心3、变量别离法(构造为参数和X的函数，转化为最值处理)f(x) a 对一切 x I 恒成立 f (x)min a， f(x) a 对一切 x I 恒成立 f(x)max a f (x) g(x)对一切x I恒成立 f (x)的图

10、像在g (x)的图像上方或 f(x) g(x) 0三、变量分禽型假设在等式或不等式中出规两个变誌. 其中一"变量的范国已丸h另一个变量的 范阖为所求.且容易通过恒等变形将两 个变量分别置于等号或不等号的两边* 那么可将恒成立问翹转化成函数的最值问 题求解。例3-己划当X e R时*不等式«+cos2x< 恒成立，求实数代朗取值 范圉.解:原不等式即t n +cns2x <5 teiux + 7乂要使上式恒成立*只需 、5«-4 -a+5 大于 4siiu +<:os2i 的最大值. 故上述问题转化成求f 3 =4站卄小出五L：j 最值问题Qf (

11、耳)=4 situ + c(>s2a = 士 2si II"t + Uiiu + L -2 (siii.r -1) +3 M 3 *4 «+5>3 5-4 >ri+2Z莎0'5<0上式等价于或.凸 0 5«-4>2G2)I I聲得辛WE； I4、数形结合假设把等式或不等式进行合理的变形 后，能非常容易地回岀等号或不等号两边 函数的图象.那么可以通过曲图直接判断得 岀结果尤其对于选择题、填空題这种方法 更显方便、快捷例5.当工w2时/、等式x-D :<logjc 恒成立，求口的取值范围.解：设 = Cr-D ：讥= 那么V

12、,的图像 为右图所示的抛物线，要使对一切X E 2 ,了庄耳恒成立T显然心>1并且必须也 只需当a=2时门的函数值大于等于r,的函 数值二log4r2> I f r£>l 7 所以 l<a2cserO单伽训南貨抵川5傣旗级中学5、转化为恒成立处理1假设函数y x3 ax 6在区间1,为增函数，求a的取值范围y 3x2 a 0在区间1,恒成立，即a 3x2在在区间1,恒成立，显然a 34 w Z4四、举例四、根据函数的奇偶性、周期性等性质假设函数是奇偶函数，那么对一切定 义域中的 x =-/'Cr厅-.=fCr f亘成 立;假设函数yh®的周期

13、为八那么对一切定 义域中的Xt/Cr恒成立。例 4.假设 fr =sin Gr+a +cos Gr-o为偶 函数求o的值.分析：告诉我们偶函数的条件，即相当 于告诉我们一个恒成立问题。解：由题得：、f 1 -x才&对一切x e R恒 成立，方法一(雷数法)原不等式变形为: cos'0+2co52 53m2<0,即 cos;2m cor! 0+3/n + 2O*令 cosfl=ft f E 0,1那么 t2 2用f+ 3加+ 2>0, 令 fM = r-2mt+3m+2.:.据题意Sit0J上恒成立.一 7审<0> 217/(0) = 3ffi-|-2&g

14、t;0+.'.sin (-x+Qt： +cos (-x-a) =sin Cx +a) cos (x-oi)艮卩 sin (x+q) +sin (% -a) =cns (j +tf) ros Lv-a)2siiu cosa=-2siiv * sina.3i11t (sinci+cosa) =0对一切x e R IS成立»二只需也必须sina+cosa=0或严帯s3= 一2阳尸一4乂1乂3曲+2<4L或 V 2X1'1 y* 1= 12 席+3加+2 >01解得一才s<o或XX1或w>i.7?:.加一亏即应的取值范围为一F卄8,方法二最值法原不等式

15、可化为2如+3加+ 2>0,在f60,l上恒成立其中r=co.设 f/n"3 2M+F+2,要便 /«>0 恒成 立，即求/mTOO>0时m的取值范围.函数/加是斜率613截距底23 之间的一系列直线，易证曲数/加为增歯数.:.在迢0,1上，当！=0时,"取到最小值, 即/加“二3皿+2.由题意得3tm+2>0解得ni> 即 加的取值范围为一#，十8.电评闺木題也可别离矣敦m和Hi.得m > 一吿'求得一者的最大值为一壬仃=°也 从而解得刃：> 一亍其紅法解題思珞是将恒成丈问 题向根本类型3转化，印变换主元与轮朮或别离参数 与变量求出对应函数的最值而到达解题的目的方法三數形结合 法原不等式可化为： 2mf+3e+20 在/£0，1上恒成立 其中！ = COS力化不等式为r + 2>2mf在同一坐标系内分别作出vi = r +2mt 3mt0.1 的图像如右图而】S一条 犹物线的一局部，刃