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文档简介

1、解析几何题型考点1.求参数的值求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,构造方程解之.例1若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,则的值为( )A B C D考查意图: 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质.解答过程:椭圆的右焦点为(2,0),所以抛物线的焦点为(2,0),则,考点2. 求线段的长求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,找出点的坐标,利用距离公式解之.例2已知抛物线y-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B,则|AB|等于A.3 B.4 C.3 D.4考查意图: 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和

2、距离公式的应用.解:设直线的方程为,由,进而可求出的中点,又由在直线上可求出,由弦长公式可求出例3如图,把椭圆的长轴分成等份,过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点,是椭圆的一个焦点,则_.考查意图: 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用.解答过程:由椭圆的方程知考点3. 曲线的离心率曲线的离心率是高考题中的热点题型之一,其解法为充分利用:(1)椭圆的离心率e(0,1) (e越大则椭圆越扁);(2) 双曲线的离心率e(1, ) (e越大则双曲线开口越大).例4已知双曲线的离心率为2,焦点是,则双曲线方程为A B C D考查意图:本题主要考查双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等

3、基本概念.解答过程: 所以故选(A).例5已知双曲线,则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于( ) A. B. C. 2 D.4考查意图: 本题主要考查双曲线的性质和离心率e(1, ) 的有关知识的应用能力.解答过程:依题意可知 考点4.求最大(小)值求最大(小)值, 是高考题中的热点题型之一.其解法为转化为二次函数问题或利用不等式求最大(小)值:特别是,一些题目还需要应用曲线的几何意义来解答.例6已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则y12+y22的最小值是 .考查意图: 本题主要考查直线与抛物线的位置关系

4、,以及利用不等式求最大(小)值的方法.解:设过点P(4,0)的直线为故填32.考点5 圆锥曲线的基本概念和性质例7 在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在第二象限、半径为2的圆C与直线y=x相切于坐标原点O.椭圆=1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.(1)求圆C的方程;(2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q,使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长.若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由. 解答过程 (1) 设圆C 的圆心为 (m, n) 则 解得 所求的圆的方程为 (2) 由已知可得 , 椭圆的方程为 , 右焦点为 F( 4, 0) ; 假设存在Q点使,整理得 , 代入

5、得: , 因此不存在符合题意的Q点.例8 如图,曲线G的方程为.以原点为圆心,以 为半径的圆分别与曲线G和y轴的 正半轴相交于 A 与点B. 直线AB 与 x 轴相交于点C.()求点 A 的横坐标 a 与点 C 的横坐标c的关系式;()设曲线G上点D的横坐标为,求证:直线CD的斜率为定值.解答过程(I)由题意知,因为由于 (1)由点B(0,t),C(c,0)的坐标知,直线BC的方程为又因点A在直线BC上,故有将(1)代入上式,得解得 .(II)因为,所以直线CD的斜率为,所以直线CD的斜率为定值.例9已知椭圆,AB是它的一条弦,是弦AB的中点,若以点为焦点,椭圆E的右准线为相应准线的双曲线C和

6、直线AB交于点,若椭圆离心率e和双曲线离心率之间满足,求:(1)椭圆E的离心率;(2)双曲线C的方程.解答过程:(1)设A、B坐标分别为, 则,二式相减得: , 所以, 则;(2)椭圆E的右准线为,双曲线的离心率, 设是双曲线上任一点,则: , 两端平方且将代入得:或, 当时,双曲线方程为:,不合题意,舍去; 当时,双曲线方程为:,即为所求.考点6 利用向量求曲线方程和解决相关问题例10双曲线C与椭圆有相同的焦点,直线y=为C的一条渐近线.(1)求双曲线C的方程;(2)过点P(0,4)的直线,交双曲线C于A,B两点,交x轴于Q点(Q点与C的顶点不重合).当,且时,求Q点的坐标.考查意图: 本题

7、考查利用直线、椭圆、双曲线和平面向量等知识综合解题的能力,以及运用数形结合思想,方程和转化的思想解决问题的能力.解答过程:()设双曲线方程为, 由椭圆,求得两焦点为,对于双曲线,又为双曲线的一条渐近线 解得 ,双曲线的方程为()解法一:由题意知直线的斜率存在且不等于零.设的方程:,,则.,.在双曲线上, .同理有:若则直线过顶点,不合题意.是二次方程的两根.,,此时.所求的坐标为.解法二:由题意知直线的斜率存在且不等于零设的方程,则., 分的比为.由定比分点坐标公式得下同解法一解法三:由题意知直线的斜率存在且不等于零设的方程:,则., ., ,又, ,即.将代入得.,否则与渐近线平行.解法四:

8、由题意知直线l得斜率k存在且不等于零,设的方程:,,则,.同理.即.(*)又消去y得.当时,则直线l与双曲线得渐近线平行,不合题意,.由韦达定理有: 代入(*)式得.所求Q点的坐标为.例11 设动点P到点A(l,0)和B(1,0)的距离分别为d1和d2,APB2,且存在常数(01,使得d1d2 sin2(1)证明:动点P的轨迹C为双曲线,并求出C的方程;(2)过点B作直线交双曲线C的右支于M、N两点,试确定的范围,使0,其中点O为坐标原点 解答过程解法1:(1)在中,即,即(常数),点的轨迹是以为焦点,实轴长的双曲线方程为:(2)设,当垂直于轴时,的方程为,在双曲线上即,因为,所以当不垂直于轴

9、时,设的方程为由得:,由题意知:,所以,于是:因为,且在双曲线右支上,所以由知,解法2:(1)同解法1(2)设,的中点为当时,因为,所以;当时,又所以;由得,由第二定义得所以于是由得因为,所以,又,解得:由知考点7 利用向量处理圆锥曲线中的最值问题例12设椭圆E的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,离心率为,过点的直线交椭圆E于A、B两点,且,求当的面积达到最大值时直线和椭圆E的方程.解答过程:因为椭圆的离心率为,故可设椭圆方程为,直线方程为,由得:,设,则又,故,即由得:,则,当,即时,面积取最大值,此时,即,所以,直线方程为,椭圆方程为.例13已知,且, 求的最大值和最小值.解答过程:设,因为

10、,且,所以,动点P的轨迹是以A、B为焦点,长轴长为6的椭圆,椭圆方程为,令,则,当时,取最大值,当时,取最小值.考点8 利用向量处理圆锥曲线中的取值范围问题例14(2006年福建卷)已知椭圆的左焦点为F,O为坐标原点.(I)求过点O、F,并且与椭圆的左准线相切的圆的方程;(II)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点,线段AB的垂直平分线与轴交于点G,求点G横坐标的取值范围.考查意图:本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识,考查平面解析几何的基本方法,考查运算能力和综合解题能力.解答过程:(I)圆过点O、F,圆心M在直线上.设则圆半径由得解得所求圆的方程为(II)设直线AB的

11、方程为代入整理得直线AB过椭圆的左焦点F,方程有两个不等实根.记中点则的垂直平分线NG的方程为令得点G横坐标的取值范围为例15已知双曲线C:,B是右顶点,F是右焦点,点A在x轴正半轴上,且满足成等比数列,过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线,垂足为P,(1)求证:;(2)若与双曲线C的左、右两支分别相交于点D,E,求双曲线C的离心率e的取值范围.解答过程:(1)因成等比数列,故,即,直线:,由,故:,则:,即;(或,即)(2)由,由得:(或由)例16已知, (1)求点的轨迹C的方程; (2)若直线与曲线C交于A、B两点,且, 试求m的取值范围.解答过程:(1),因,故,即,故P点的轨迹方

12、程为.(2)由得:,设,A、B的中点为则,即A、B的中点为,则线段AB的垂直平分线为:,将的坐标代入,化简得:,则由得:,解之得或,又,所以,故m的取值范围是.考点9 利用向量处理圆锥曲线中的存在性问题例17已知A,B,C是长轴长为4的椭圆上的三点,点A是长轴的一个顶点,BC过椭圆的中心O,且,(1)求椭圆的方程;(2)如果椭圆上的两点P,Q使的平分线垂直于OA,是否总存在实数,使得?请说明理由;解答过程:(1)以O为原点,OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则,设椭圆方程为,不妨设C在x轴上方,由椭圆的对称性,又,即为等腰直角三角形,由得:,代入椭圆方程得:,即,椭圆方程为;(2)假设总存

13、在实数,使得,即,由得,则,若设CP:,则CQ:,由,由得是方程的一个根,由韦达定理得:,以代k得,故,故,即总存在实数,使得.考点10 利用向量处理直线与圆锥曲线的关系问题例18设G、M分别是的重心和外心,且, (1)求点C的轨迹方程; (2)是否存在直线m,使m过点并且与点C的轨迹交于P、Q两点,且?若存在,求出直线m的方程;若不存在,请说明理由.解答过程:(1)设,则, 因为,所以,则, 由M为的外心,则,即, 整理得:;(2)假设直线m存在,设方程为, 由得:, 设,则, , 由得:, 即,解之得, 又点在椭圆的内部,直线m过点, 故存在直线m,其方程为.【专题训练与高考预测】一、选择

14、题1如果双曲线经过点,且它的两条渐近线方程是,那么双曲线方程是() A B C D2已知椭圆和双曲线有公共的焦点,那么双曲线的的渐近线方程为( ) A. B. C. D. 3已知为椭圆的焦点,M为椭圆上一点,垂直于x轴, 且,则椭圆的离心率为( ) A. B. C. D.4二次曲线,当时,该曲线的离心率e的取值范围是( ) A. B. C. D. 5直线m的方程为,双曲线C的方程为,若直线m与双曲线C的右支相交于不重合的两点,则实数k的取值范围是( ) A. B. C. D.6已知圆的方程为,若抛物线过点,且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点的轨迹方程为( ) A. B. C. D. 二、填空题

15、7已知P是以、为焦点的椭圆上一点,若 ,则椭圆的离心率为 _ .8已知椭圆x2+2y2=12,A是x轴正方向上的一定点,若过点A,斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为,点A的坐标是_ .9P是椭圆上的点,是椭圆的左右焦点,设,则k的最大值与最小值之差是_ .10给出下列命题: 圆关于点对称的圆的方程是;双曲线右支上一点P到左准线的距离为18,那么该点到右焦点的距离为;顶点在原点,对称轴是坐标轴,且经过点的抛物线方程只能是;P、Q是椭圆上的两个动点,O为原点,直线OP,OQ的斜率之积为,则等于定值20 .把你认为正确的命题的序号填在横线上_ .三、解答题11已知两点,动点P在y轴上的射影为Q, (1

16、)求动点P的轨迹E的方程; (2)设直线m过点A,斜率为k,当时,曲线E的上支上有且仅有一点C到直线m的距离为,试求k的值及此时点C的坐标.12如图,是双曲线C的两焦点,直线是双曲线C的右准线, 是双曲线C的两个顶点,点P是双曲线C右支上异于的一动点,直线、交双曲线C的右准线分别于M,N两点,(1)求双曲线C的方程;(2)求证:是定值.13已知的面积为S,且,建立如图所示坐标系,(1)若,求直线FQ的方程;(2)设,若以O为中心,F为焦点的椭圆过点Q,求当取得最小值时的椭圆方程.14已知点,点P在y轴上,点Q在x轴的正半轴上,点M在直线PQ上,且满足,(1)当点P在y轴上移动时,求点M的轨迹C

17、;(2)过点作直线m与轨迹C交于A、B两点,若在x轴上存在一点,使得为等边三角形,求的值.15已知椭圆的长、短轴端点分别为A、B,从此椭圆上一点M向x轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点,向量与是共线向量(1)求椭圆的离心率e;(2)设Q是椭圆上任意一点, 、分别是左、右焦点,求 的取值范围;16已知两点M(-1,0),N(1,0)且点P使成公差小于零的等差数列,()点P的轨迹是什么曲线?()若点P坐标为,为的夹角,求tan【参考答案】一. 1C .提示,设双曲线方程为,将点代入求出即可.2D .因为双曲线的焦点在x轴上,故椭圆焦点为,双曲线焦点为,由得,所以,双曲线的渐近线为 .3C .设,则,

18、.4.C .曲线为双曲线,且,故选C;或用,来计算.5B .将两方程组成方程组,利用判别式及根与系数的关系建立不等式组.6B .数形结合,利用梯形中位线和椭圆的定义.二.7解:设c为为椭圆半焦距, . 又 解得: 选D8解:设A(x0,0)(x00),则直线的方程为y=x-x0,设直线与椭圆相交于P(x1,y1),Q(x2、y2),由 y=x-x0 可得3x2-4x0x+2x02-12=0, x2+2y2=12,则,即x02=4,又x00,x0=2,A(2,0)91; .10.三. 11解(1)设动点P的坐标为,则点,因为,所以,即动点P的轨迹方程为:;(2)设直线m:,依题意,点C在与直线m平行,且与m之间的距离为的直线上,设此直线为,由,即,把代入,整理得:,则,即,由得:,此时,由方程组 .12解:(1)依题意得:,所以, 所求双曲线C的方程为;(2)设,则,因为与共线,故,同理:,则,所以 .13解:(1)因为,则,设,则,解得,由,得,故,所以,PQ所在直线方程为或;(2)设,因为,则,由得:,又,则,易知,当时,最小,此时,设椭圆方程为,则,解得,所以,椭圆方程为 .14解:(

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