超导磁悬浮磁滞现象的动态理论研究

1、郑州大学毕业设计(论文题 目:超导磁悬浮磁滞现象的动态理论研究 指导教师:李 平 林 职称:教 授学生姓名:胡 素 磊 学号:20072200114专 业:物 理 学院(系 :物理工程学院完成时间:2011年 6 月 1 日超导磁悬浮磁滞现象的动态理论研究摘要本文从磁通量子在变化外磁场中成核、 穿透、 钉扎并排出的角度, 研究了二类超 导体磁悬浮系统的磁滞现象,认为超导悬浮力来源于表面迈斯纳抗磁电流,和单个磁 通量子涡旋分别与外场相互作用, 并证明了涡旋密度梯度等效电流和外场的相互作用, 本质上,就是所有磁通量子涡旋和外场相互作用的总和,而磁通涡旋从表面穿透和排 出过程的不对称,和由于超导体不

2、同几何形状所导致的几何势垒引起的的不可逆性, 以及磁通涡旋在超导体内部运动耗散的能量,导致了二类超导体在变化外磁场中的磁 滞现象,其中后者占据的比重远大于前者,进而精确计算了在永磁体产生的高度不均 匀的变化外磁场中的悬浮力,得到了与实验相符的结果,为理解二类超导磁滞现象, 更好地应用高温超导体提供了新的视角和基础。关键词 :二类超导,悬浮,涡旋,磁滞Dynamic Theoretical Modeling on Type-II SuperconductorLevitation Hysteresis PhonomenonAbstractFrom the perspective of flux q

3、uantum nucleation, penetration, pinning, and discharged in a changing external magnetic field, we simulated the dynamic response of Type II superconductors, specifically, type-II Superconductor magnetic levitation system hysteresis phenomenon, in the process of a permanent magnet close to and away f

4、rom Superconductor. We showed that the origin of superconducting levitation force is that, the surface Meissner current, magnetic flux quantum vortex interaction between external magnetic field, respectively. And we proved that macroscopic current due to the vortex density gradient interacting with

5、the external magnetic field, essentially, is equivalent to all the flux quantum vortex interacting with the external magnetic field. The asymmetry due to the Bean-Livingston surface barrier, the irreversibility due to the geometric barrier as a results of superconductor different geometric shapes, i

6、n the process of the flux vortex penetration and emission from the surface, and the energy dissipation due to flux vortex movement within the superconductor, results in the Type II superconductors levitation hysteresis in the changing external magnetic field, among which, the significance of the las

7、t one is much greater than the former two. And then we calculated accurately the superconductor levitation hysteresis curve subjected to the highly inhomogeneous external magnetic field due to the cylindrical permanent magnet, which is consistent with the experimental results. Our results provides a

8、 new perspective and foundation for understanding the type-II Superconductor levitation hysteresis phonomenon and better application of superconductor.Key words: type-II Superconductor, levitation, vortex, hysteresis目录摘要 . 2 目录 . 3 I. 引言 . . 4 II. 理论推导 . 51. 永磁体产生的磁场 . 52. 迈斯纳表面电流 . 63. 理想二类超导涡旋的分布

9、. 74. 非理想二类超导涡旋的分布 . 85. 等效电流 .106. 穿透场的前锋 .127. 场冷悬挂与侧向稳定性 .15 III. 结果与讨论 .16 IV. 参考文献 .21 V. 致谢 .24I. 引言只要存在一个平衡物体重力的作用力,便可以实现物体的漂浮或自由悬浮,漂浮 可以由不同的方法获得 (通过空气束, 声压, 电磁力 1, 然而自由悬浮现象却更加奇特, 对于这些悬浮技术,稳定性都是关键问题,而二类超导体 -永磁体系统却可同时实现这 两个功能 2, 尤其是铜氧高温超导体具有远高于常规超导体的临界转变温度, 临界磁场, 这些现象不论在学术上而且在技术应用上都是十分重要的,从实用的

10、角度来看,超导 体在磁体上方的漂浮对于高温超导材料的商业化是十分核心的问题 34, 如广泛用于磁 轴承 5,能量储存系统 67,电力发动机 8,磁悬浮列车 9等等场合,而这些应用都有赖 于人们对二类超导体在变化外磁场的响应有深入准确的理解和定量具体的描述,因此 研究二类超导体在变化外磁场中的性质已经成为世界各国的超导科技工作者一个十分 重要的研究领域,而超导磁滞现象更是其中的核心关键问题。从 1957年二类超导体在理论上确定以来,经过五十年的发展,无论上实验探索, 还是理论研究,都取得了丰硕的研究成果,在实验上 , Moon10, Horoki 11, Masato 12和 Boegler 1

11、3等人详细研究了高温超导磁悬浮力的滞回特征,测量了悬浮超导体的竖直 方向的悬浮力,并且展示出悬浮系统的几个主要的特性,这些测量结果被几个小组进 一步研究,最后确定了悬浮力和垂直距离关系,发现准静态下运动速度对悬浮力的影 响较小 14, 悬浮力随临界电流密度增大及随温度降低而增大 15;在变化磁场中呈现磁 滞现象 16,以及受样品形状和大小 17,18,材料 19,20, 晶粒取向 21,22的影响。 从理论的角度来说,在二类超导体中,由于外场以磁通量子的形式穿透超导体, 有可能超导体内部的磁感应强度不为零,在真实的二类超导体中,当电流密度小于临 界值的时候,这些穿透到超导体内的磁量子会被材料中

12、的不均匀缺陷钉扎住,在这些 条件下,当外磁场增大或减小的时候,这些磁能量向超导体的内部或外部移动直到磁 通分布达到临界梯度, 此时, 电流密度达到最大值 J c 23。 惟象上讲, 这种行为已经被 Bean 的临界态模型 24和他的后来者 25很好地描述,如 Brandt 26定性地证明如何由磁通线的 钉扎解释二类超导体的磁悬浮,之后又提出了多个模型,如类比永磁体磁化的磁滞模 型 27,将二类超导简化为一类超导体的抗磁性模型 28,不变场梯度近似模型 29, Bean 模型 30,磁偶极子模型 31,磁通线能量模型 32,基于求解三维波松方程的电流演化模 型 33。但这些研究结果大多假设下临界

13、磁场为零, 不考虑迈斯纳抗磁电流对超导悬浮力 的贡献,且假定超导样品相对于永磁体足够小,以至于沿竖直方向的磁场梯度为常数,同时,也没有考虑超导体的有限尺寸所导致的退磁效应,且大多数理论中可调参数众 多,使得理论计算的可信度大大降低,这便使得发展新的更加全面精确地模型研究超 导悬浮磁滞问题成为必要。本文第二部分给出理论模型的主要思想以及详细的理论推 导,第三部分给出数值模拟结果,第五部分对结果进行讨论。II. 理论推导1. 永磁体产生的磁场高温超导磁悬浮系统由两部分构成:永磁铁提供外磁场,置于永磁铁上方的高温 超导体。当超导体由一上而下逐渐靠近永磁体时,永磁体的磁场逐渐开始作用于超体 内部的电子

14、,一方面由伦敦方程可知,超导体内部配对电子会在瞬时静磁场作用下产 生涡旋电流,涡旋电流产生磁场与外磁场方面相反,产生抵抗超导体进一步接近永磁 体的悬浮力,另一方面随着超导体逐渐接近永磁体,超导体感受到的外磁场强度逐渐 增强,超导体内电子又会由于电磁感应而产生感应电流,而感应电流也阻止超导体进 一步靠近永磁体,两者相互迭加,共同决定超导磁悬浮力。为能精确地分析并计算磁 悬浮力,必须首先精确地计算永磁体的磁场分布,以及超导体内由于外磁场作用而产 生的涡旋电流的磁场分布,并将两者在空间矢量迭加。我们将研究一个由半径为 R PM 厚度为 t PM ,沿轴向均匀磁化,磁化强度为 M 的圆 柱状永磁体 (

15、PM ,和一个置于永磁体上方可变距离 z ,相同对称轴,半径为 a ,长度为 2b 的圆柱状二类超导体组成的悬浮系统, 以永磁体上表面中心为坐标原点,建立柱坐标系 (, , z ,矢径 , (z r 处的磁矢势 A 与电流密度同为 方向,可通过积分半径为R PM 长度为 t PM 的通电螺线管产生的矢势得到0A (, cos ln 2PM rem B z R d = (1其中 rem B 是永磁体的剩余磁感应强度,则磁场的径向分量 /B A z =-为12 0(1 1(, (1 ( (2i i i i i B z k K k E k k =-=- (2 其中 K 和 E 分别为 k 的第一类和

16、第二类完全椭圆积分 (20K k =, (E k = (3 其中模数 (2224, 0,1z i P M P M k i R it =+, (12=-错误!未找到引用源。 , 为中 P M R 与 在水平面上的夹角。磁感应强度的轴向分量 (1/ ( z B A =为2212200cos cos B (, 22cos PM PM i PM rem z PM R R B A z R R -=+-(4 错误!未找到引用源。 即可得到永磁体磁场的空间分布。2. 迈斯纳表面电流对于第一类超导体,由于超导态与正常态的界面能是正值,所以随着外磁场由 零逐渐增大,只要外磁场强度不大于临界磁场,超导体表面的迈斯

17、纳抗磁电流一直增 大, 将超导体内部的磁场全部排出超导体内 (除表面穿透层外 , 使体系的总能量最小, 而二类超导体的表面能为负值,从能量上似乎要求界面越长越好,但当外磁场较小时 (小于下临界磁场,即第一个涡旋产生所对应的外磁场 ,只能够产生迈斯纳抗磁表面 电流,因为迈斯纳电流和成核的涡旋由于超导体表面镜像与涡旋的相互作用,对涡旋 由表面电流进入到超导体内部会产生一个排斥力,形成一个势垒(并且这个势垒对于 涡旋进入和排出的过程是不对称的 ,阻碍涡旋的进入,因而此时,超导体的抗磁性以 及与外场的相互作用所造成的悬浮力完全由迈斯纳表面抗磁电流承担,并且由于迈斯 纳抗磁电流的可逆性,其与外场相互作产

18、生悬浮力是可逆的,即如果再逆向减小外磁 场,其磁化曲线重合,如果磁场的变化是由永磁体的靠近与远离产生的,则相互作用 力与距离的关系是可逆的。对于第二类超导体,当外磁场小于下临界场时,迈斯纳抗磁电流随着外磁场的增图 1 永磁系统位形示意图 图 2 圆柱形永磁体的磁场分布大而磁大,但当外磁场等于下临界场时,迈斯纳电流变得不稳定,最终在微小扰动的 诱导下促使磁通量子涡旋成核并在超导体内扩散, 而迈斯纳表面抗磁电流也达到饱和, 不会再随着外磁场的变化而变化。3. 理想二类超导涡旋的分布对于二类超导体,当外磁场大于下临界场时,迈斯纳表面电流不再变化,由于 界面能为负,超导正常态界面长度的增加在能量上是有

19、利的,并且,由于量子力学的 磁通量子化,此后,超导体内不断增大的磁通量便以单个磁通量子的形式,由迈斯纳 表面电流内部成核,并克服表面势垒,进入超导体内部,并在瞬间形成六角形的规则 排布,不会造成平均磁感应强度的非均匀分布,此时,根据麦克斯韦方程,均匀分布 的涡旋磁通量子只有在涡旋分布的边缘产生顺磁电流,从而此时磁通量子涡旋与外磁 场的相互作用是吸引力,这与从单个磁通涡旋电流与外场相互作用产生的吸引力是一 致的,而表面迈斯纳抗磁电流与外场的相互作用是排斥力,随着超导体内部磁通涡旋 的数上目逐渐增多,需要表面抗磁电流抵消的外磁场逐渐减小,迈斯纳抗磁电流随之 减小,排斥力减小,而吸此力增大,当外磁场

20、处于某个临界值时,恰好是两者的转折 点,随后,整体上,超导体与产生外磁场的永磁体之间便会相互吸引,直至单个涡旋 的正常态芯相互接触,直至外磁场完全穿透整个超导体,表面抗磁电流随之消失,吸 引力也随之消失。 图 3 单个磁通量子涡旋的结构 图 4 理想二类超导体涡旋均匀分布示意图 磁通线在二类超导体中的穿透在磁通涡旋的内部产生正常态的芯 (如图 1所示 , 随着外磁场的增加,涡旋与涡旋之间的排斥力,使得磁通量子涡旋逐渐向超导体内部 移动,而涡旋中心正常态芯的运动会引起能量的耗散,由此看出,涡旋的运动是造成磁滞能量损失的根本来源,与二类超导体内部有没有缺陷没有关系,而且即使是对于 没有任何缺陷的理

21、想二类超导体,在变化的外磁场中也会产生磁滞能量损失, (接下来 我们将会看到材料中的缺陷如果对超导体的磁化曲线和力 -距离曲线产生影响 ,同样, 如果将这个过程反过来,即外磁场随后再逆向减小到零,其磁化曲线便由三部分构成, 其一是表面抗磁电流的可逆部分,其二是涡旋运动所造成的不可逆部分,第三部分便 是由于表面势垒对于涡旋进入和排出过程的不对称性造成的不可逆性。 图 5 理想二类超导体中涡旋分布随外磁场逐渐增大的过程中的变化4. 非理想二类超导涡旋的分布上面我们简要叙述了理想二类超导体的磁化行为, 而实际的超导体都不会是完全 理想的 超导体 ,其 内部 存在各 种各 样的缺 陷和 杂质, 如:杂

22、质 (impurities,空位 (vacancies, 位错 (dislocations, 双晶 (twins, 堆垛 (stacking faults, 局部缺陷 (local defects, 超导母体中添加的非超导相 (added nonsuperconducting phases in the superconducting matrix ,高能离子辐照而产生柱状缺陷 (columnar defects created by irradiation with high-energy ions 34,35。在这些缺陷存在的地方,超导电性会受到抑制,因此,当涡旋 的正常态芯处于缺陷的位置

23、时,就像一个粒子进入到一个势阱中一样,总能量降低, 并且要想使涡旋从这个缺陷所造成的势阱中出来,便需要更靠近样品边缘的涡旋提供更大的推力,使涡旋可以克服势垒,才能使得涡旋的数目进一步增多,进一步降低系 统的总能量,这样,当外磁场逐渐增大的时候,涡旋间距从内到外越来越小,涡旋密 度越来越大,这样便形成了宏观上的涡旋密度梯度,这种分布主要由电磁驱动力,材 料钉扎力和磁通跳跃之间的平衡决定, 当外磁场在上下临界磁场 H c1和 H c2之间变化时, 涡旋通过超导体边界进入或离开,每当驱动涡旋克服钉扎力时,涡旋系统自身排列另 一个亚稳状态从而与外磁场达到平衡。因此,外磁场或温度的改变驱动未钉扎涡旋讯

24、速移动到另一个平衡态或离开超导体使得系统达到一个新的准静态能量平衡态。 由于单个磁通量子涡旋本身包含两个方面的内容,一个是磁场,一个涡旋电流, 因此在处理的时候,也可以分别从这两个角度出发,如果从磁场的角度出发,则可以 将每个磁通涡旋的磁场平均化,即可以得到宏观的磁场分布,再根据安培定理 (错误! 未找到引用源。 B=0j 便可以得到宏观的抗磁等效电流, 这个等效抗磁电流与表面迈斯 纳抗磁电流一样与外磁场相互排斥;如果按照涡旋电流的角度,则如下图所示,从直 觉上看,单个磁通涡旋电流与外磁场的相互作用是吸引力,那为什么会等效出一个宏 观的抗磁电流呢?事实上,当超导体内的涡旋在没有钉扎力作用的情况

25、下会形成均匀 涡旋分布,此时处在内部的涡旋电流从整体上抵消,只有边缘处等效出一个顺磁表面 电流,这便是理想二类超导体的情形,而对于非均匀分布,从中心开始,靠内一层的 涡旋电流在这一层的外边缘形成一个等效的宏观顺磁电流,靠外一层涡旋电流在这一 层的内边缘形成一个等效的抗磁宏观电流,由于靠外一层涡旋电流密度比靠内一层的 涡旋电流密度大,因此,这两者的综合效果是产生一个抗磁电流,而且如果我们将每 个磁通涡旋分别与外场相互作用后对所有的磁通涡旋进行求和,其结果与通过等效电 流计算的结果相同。从上面的分析我们可以看到,对于实际的二类超导体,由于缺陷的存在,在外磁 场中,磁通量子涡旋在超导体内部不是均匀分

26、布,从而产生等效的体抗磁电流密度, 这个电流与表面麦克斯纳抗磁电流一起决定了超导体内部和外部的磁场分布,也使得 非理想的二类超导体的悬浮力远大于理想二类超导体,从根本上讲,随着外场的增加, 能量上负界面能要求产生尽可能多的涡旋,从而产生了涡旋成核并向超导体内部扩散 的动力,而钉扎力却阻止涡旋的运动,正是缺陷对涡旋产生的钉扎力与外磁场的相互 作用产生了悬浮力。由于缺陷对涡旋的钉扎作用,只有当涡旋密度达到一定值时,其涡旋间排斥力 才足以使涡旋克服钉扎势垒,使涡旋运运,而这个临界值所对应的等效电流密度便是临界电流密度,这个值一般可以通过测量二类超导体的输运性质得到。由此也使得当 减小外磁场时,只有使

27、外磁场减小的大小足以使得其涡旋密度梯度反向时,才能改变 等效电流密度,所以在这个外磁场的范围内,外磁场与临界电流密度不变,使得非理 想二类超导体的稳定悬浮位置和空间取向可以在某一个范围内连续变化。 图 6 非理想二类超导体中涡旋分布在外磁场增大然后减小的过程中的变化 5. 等效电流我们根据 E. H. Brandt 41,42,43所采用的方法计算出柱状超导体在永磁体产生的磁 场中的临界电流分布, 而其中关键的问题是得到超导体内部电流密度 (, J r t随外场变化 的变化情况,根据麦克斯韦方程J H=(5其中位移电流只在高频磁场时才会有贡献,所以此处忽略位移电流的贡献,并由0B H =0J

28、A = (60a B =可以得到( a J JB B B B =+= (7 2( J J J A A A =- (8电流密度演化方程20J J J B A A =- (9其中 J A A A =- 是超导体内部的等效电流产生的矢势, A 是外磁场的矢势,根据微观 超导涡旋钉扎理论, 涡旋由钉扎势中被电流激发所需要的能量 (activation energy与外加 电流之间的关系为0( l o g (/ c U J U J J = (10再由阿雷尼厄斯 (Arrhenius定律e x p (/ B E B v B v U k T =- (11 可以得到经验规律( (/ n c cE J E J

29、J = (12 其中 (1 n =-为磁通跳跃指数,在外磁场强度大于下临界磁场时对于描写二类超导的 临界态行为是一个很好的近似,由此我们也可以得到参量 00, /c B E Bv n U k T =,以及涡旋有效运动速度e x p (/ B v v U k T =- (13 由于超导悬浮系统的轴对称性,电流密度 J ,电场强度 E ,矢势 A (由 A B = 定义只有沿着方位角 的分量,因此(, J J z = (14 (, E E z = (15 (, A A z = (16这个波松方程在柱坐标系中的解为00(, ' ' (, ' (' a b b A z

30、d dz Q r r J r A -=-+ (17其中 (, , ' (', ' r z r z = ,积分核(, ' (, ' , Q r r f z z =- (18其中2221/20' c o s (, ' , ' 2(' ' 2' c o s d f z z z z-=-+-2221(1 ( ( 2k K k E k = - (19 其中 2224'(' (' k z z =+-, K 和 E 分别是第一和第二类完全椭圆积分。由电磁感应定律 E B A =-=- 可得 E A

31、 =- , 磁悬浮系统的位形可以保证, 矢势 A的规范对称性(即任对 A 加上一个无旋矢量场,其磁感应强度不变 ,在材料定律 ( (/ n c c E J E J J = 确定后,使可以得到 ( AE J =- ,可得到 20(, ' (, ' (' , (' , ' S E J r t d r Q r r J r t A z =- (20 这个电流密度 (, J r t 的精确方程中包含它的时间导数 J , 由于高度非线性的 ( E J 关系,这个方程必须数值求解, 而且这个时间的导数项需要从积分中去除才能使用数值方法, 这个倒置的过程可以通过在 2D

32、的网格 , i j r r 离散化积分核 (, ' Q r r ,并且对矩阵 i j Q 求逆 得到其逆矩阵 1(, ' Q r r - 的方法实现,此时电流密度方位角分量 (, , J z t 写表达为1100(', ' ' (, '( (', 'a b bJ r t d dz Q r r E J A z -=+ (21 其中 1(, ' Q r r - 是逆积分核,它由下式给出110' ' (, ' (, ' (' ab b d dz Q r r Q r r r r -=- (2

33、2 上述方程很容易对时间求积分,假定 t=0时刻, (, , 0J z t =,当 t t t =+时,(, , (, , (, , J z t t dt J z t J z t dt =+=+ , 不断地迭代下去, 即可得到稳定平衡时的等效电流分布,进而可以得到等效电流产生的矢势和磁场。6. 穿透场的前锋在外磁场中,磁通以磁通晶格的形式存在,单个的磁通量子会被材料中的微结 构不均匀钉扎,以至于只有在由局部高的电流引起的足够强的洛仑兹力的作用下才会 脱钉扎并在材料中流动,引起磁通量子脱钉扎的局部电流密度便是微观的临界电流密 度,并且它直接正比于钉扎力强度,临界态惟象理论描述准静态材料中钉扎的磁

34、线分布, 假定钉扎引起的临界电流密度为 j c , 即磁感应强度对半径的导数对应于临界电流密 度, 即 , 以及对磁通分布的任何改变都是由样品表面引入, 在一个比实验时 间短的时间尺度内,从操作上讲,无论何时外场增加,磁线都会从表面进入超导体内 部,并且穿透形成一个磁通前逢边界,这个边界的位置由样品表面的外场大小决定, 临界态中,电流密度要么是正比于局部磁感应强度的临界值,要么是零,因此二类超 导体的电磁响应由临界态区域的范围决定,具有方位角对称性 (azimuthal symmetry 非均匀外场中的前锋轮廓 (flux front profile可以由一种积分函数方法 (integral

35、equation technique 得到。根据 Bean 临界态模型,诱导电流由材料边界产生紧接着外磁场,并 进一步延伸到超导体内部 (23 错误!未找到引用源。 是磁感应强度矢量, 错误!未找到引用源。 是真空磁导率,这 引起总磁通密度从材料表面向内部逐渐减小直至达到磁通锋边界时为零,这个边界内 部的区域没有磁场,被诱导的屏蔽电流完全屏蔽,这个磁通前锋边界可由总磁感应强 度为零的面来定义,这对应于一个定义这个边界的矢量方程,由于 错误!未找到引用 源。 ,则同样可以由磁矢势 错误!未找到引用源。 来定义边界,使用矢势的概念可以极 大地简化计算,因为只有一个分量需要确定对于方位角对称问题,对

36、于具有这种对称 性的问题, 材料内部诱电流可以通过形成回路来模拟, 每一个回路者携带常数电流 J c , 单 个 电 流 回路 的 矢势 已 知 ,并 且 可以 要 么 使用 完 全椭 圆 积 分 (complete elliptical integrals , 要么通过正交函数 (orthogonal functions 来表示, 因此, 由于所有的诱导电 流而产生的矢势是这个单电流回路的已知的矢势的体积积分,在这个积分中的未知量 是磁通前锋边界 ,这个边界构成积分限的一部分,和电流密度 J c ,另外, 既同时 是空间和外另磁场的函数,为了简化计算,外加磁场用 J c 和一个特征长度归一化

37、,采 用这种归一化方案之后,总的矢势 A tot 就变为一个无量纲隐函数 =(R, , R 为广义 空间变量, 是归一化外加磁场,总的矢势由下式给出A tot =A AJc (24 A 和 A Jc 分别是外场 的矢势和诱导电流 J c 的矢势, 方程中的负号源自屏蔽效应, 对 于给定的外场 , 磁通前锋的位置可由寻找矢势为零的空间点来确定, 通常情况下这是 一个很困难的工作,但是可以将此方程化为一个简单的积分方程来简化,一般情况下, 是时间的函数, 这种方法只能处理临界态的准静态, 外场变化的时间尺度远大于磁通 线运动所需要的时间尺度,因此,这个模型总是假定随着外场的增大磁通轮廓经历一系列由

38、外场的历史和当前值惟一确定的准静态,外加磁场的变化导致磁通线轮廓位置 相应的变化,但是在整个变化过程中这个轮廓中总的矢势一直为零,因此,确定磁通 穿透轮廓的一个要求是A tot (R, +, R= Atot (R, , R=0 (25 这意味着 (26 上面的方程往往是 的一阶非线性积分方程,然而,如果 给定,但是它的导数项未 知,上述方程可被视为一个导数项的线性一阶积分方程,正如临界态模型所建议的那 样, 当外场 最初加到超导体上时, 磁通量子从表面进入超导体内, 因此, 初始 (R, =0的轮廓是材料的表面轮廓,将这个已知函数代入到上述方程,它就变成一个未知导 数的一阶线性积分方程,有几种

39、方法可以用来求解这个方程,这些算法的大多数使用 迭代法,并且这个迭代的收敛要么由严格的数学参数,要么在实际应用中被认为是如 此,因为严格的数学证明极其困难, Gold 提出一个简单的收敛迭代方案以从上述方程 求解 的导数,随着外磁场由 增加到 +,新的磁通前锋轮廓可由下式近似 (27只要增量 错误!未找到引用源。 足够小,这个近似便是成立的,用这个近似,可以确 定 错误!未找到引用源。 时的磁通轮廓,但它的导数却还没有确定,这与起初当 错误! 未找到引用源。 =0时的情况相同,上面的方案重复进行,从根本上讲, 这个方法涉及到外场 的渐进增量数值方案 (progressively increme

40、ntal numerical scheme ,和求解上个方程的迭代方法,一旦磁轮廓对外场的依赖关系在零场冷 (ZFC过程中被确定,然后,超导样品对一个外场完整周期变化过程中的响应便可很容易计 算出来。 图 7 二类超导体磁场随外磁场增加过程中的分布图7. 场冷悬挂与侧向稳定性以上所描述的都是超导体处于超导态之后再加外磁场,即所谓的零场冷情形, 如果改变两者的顺序,先使正常态的超导体磁化之后再降温使超导体处于超导态(场 冷 , 假如正常态超导体的磁化率为零, 则超导体内部的磁场分布与外磁场相同, 此时, 再降温,超导体内磁场以磁通量子的形式存在,并且由于超导体内的缺陷对涡旋的钉 扎作用,超导体内

41、会残留部分磁通线,此时的磁通密度梯度等效电流与外磁场相互吸 引,使得超导体与永磁体之间具有吸引力,这种吸引力甚至可以使超导体悬挂在超导 体的下面。一类超导体如铅,锡,汞像抗磁体一样,将所有磁通线从其体内排出,从而产 生最大的排斥力,二类超导体,如 Nb3Sn 或高温超导体却允许磁通线以磁通量子的形 式进入超导体的内部,直觉上,好像此时排斥力应该小于第一类超导体,然而,由于 材料缺陷对磁通涡旋的钉扎作用,使得二类超导体的排斥力大大强于一类超导体,但 是这种悬浮力却在真实的条件下并不稳定,主要是由于热力学效应造成的涨落效应, 磁通线热激发的概念,以及钉扎的概念本身第一次都是由 P . W . An

42、derson 于 1962 年提 图 8 二类超导体磁场随外磁场减小过程中的分布图出的 36, 基本的观点是任何促使非平衡涡旋分布的过程都会导致超导体磁矩的改变 37, 这样的改变可以被认为是涡旋由钉扎中心自发蠕动的结果,这样的运动则通常起源于 热激发 36,但是它也会起源量子遂穿 38(在非常低的温度下 T<4K或者力学激发 39如振 动 (在外加场中会诱发弱交变电流 , 这种蠕动受到引起驱动电流的磁场梯度的驱动, 随 着涡旋位形的衰减,相应的电流变得越来越小,驰豫也减慢,形成一个近似对数的驰 豫率,这种对数驰豫现象首次被 Kim 等人实验观察到 40,这不是本文的重点,本文假 定热涨

43、落效应造成的驰豫时间远大于永磁体靠近和远离超导体的时间周期。当永磁体接近超导体上表面时冷却超导体使其处于超导态,此时,由于磁通钉 扎,由于未冷却时磁体产生的磁场被捕获在超导体内,电流密度 (28 直到磁体运动,不会发生变化,随后如果向上移动永磁体,则会产生电场 (29 并且根据 E(J关系, 便会出现临界电流的分布, 磁体最初从超导体上表面移走, 由于法 拉第 -楞次定律 (Faraday-Lenz s law,出现电流分布,其倾向于保持原来被冻结的磁通线 不变,而原来的磁通线与永磁体之间的作用力是吸引力,然而,如果磁体的运动方向 反向,便又会诱导出与原来结构相反的电流,现在,样品努力将磁场排

44、出体外,结果, 相互作用力变成斥力,这样,就可以看到稳定的悬浮,这种悬浮具有非常强的稳定性, 当侧向移动磁体时,电流密度分布会发生变化尽可能保持原来的磁通线结构不变,结 果, 一个静磁能函数 U m 中出现一个非常深的势阱, 使得任何偏离平衡位置的小位移都 会受到一个回复力。III. 结果与讨论图 6所示为零场条件下制冷实验超导情况下测量超导磁悬力随距离变化的曲线, 从图中可以清楚的看出 z 方向上超导体与磁铁之间的磁排斥力随距离的增大呈指数形 式下降。图 7为场冷条件下分别测量的超导体与磁铁在 z 轴方向磁悬浮力与距离的变 化曲线。图 8和图 9为可以做为标准的相对更好的磁悬力测量结果。通过

45、比较,我们 发现主要存在两个问题,一个是为能系统而精细地测试超导磁悬力距离的变化关系, 深入了解高温超导磁滞的根源,除了分别进行零场和场冷两种条件下的磁悬浮力测试 外,还需要分别对起始测量是上行还是下行做出区分,而我们只是做了其中一部分工 作,这为我们进一步进行磁悬浮力的测试工作提供了很多价值的参考经验。另一个问题是测试精度的问题,很显然图 7中磁悬浮力的变化曲线虽然大体上反映出磁滞的特 征, 但是上行数据明显比标准曲线过小, 而这很可能是实验操作熟练程度不够造成的。 从图中可看出二个信息,第一个是场冷条件下下行曲线与零场冷条件下测得的 曲线变化趋势极为吻合,从中可以说明超导态与磁化过程无关,

46、这是第一类超导体的 明显特征,由于钇钡铜氧高温超导体属于第二类超导体,故而并不像第一类超导体一 样超导态与磁化过程无关,因此便可得到第二个信息,即磁悬浮力随时间的变化,这 便是所谓的第二类超导体磁滞现象。具体表现在上行和下行曲线不吻合而具有一定的 差别。 按照 bean 磁滞模型, 下行时由于电磁感应, 在超导体边缘位置感应出超导电流, 超导电流产生的磁场与磁铁相互作用使得超导体表现出排斥力,由于超导体内部的杂 质,缺陷,位错等等影响超导体晶格周期性因素的影响,在超导体这些缺陷中心位置 将会形成磁通钉扎中心, 使得在超导电流产生的磁场不会随着外磁场的退去立即退去, 而是呈现一定的滞后性,当下行

47、到最低位置上行时,这些没有来得及退去的磁场与新 感应出的电流产生的磁场相互作用便表现出超导体上行下行磁悬力不吻合的情况。 当然,由于实验经验不足、测试样品的部分失超以及测试系统灵敏度不高而原因,本 次实验所得结果并不是十分理想, 与标准实验结果 (图 8、 图 9 相比还是有一定的差距。 图 8和图 9两图分别展现了起始测量阶段为超导体与永磁体相对靠近和离开两种情况。 为了验证理论模拟的正确性, 我们与两组实验结果做了比较, 分别为 Raphael B. Kasal 等人 44-47和杨万民 48等人的实验为参考,超导体为圆柱形 YBCO ,直径分别为 2R sc =28mm和 2R sc =

48、18mm,厚度都是 2d =10mm,永磁体为 Nd-Fe-B ,直径分别为 图 9 零场冷磁悬力随距离变化曲线 图 10 场冷时上行和下行磁浮力随距离变化2R pm =22mm和 2R pm =19mm, 厚度分别为 2b =10mm和 2b =25mm, 通过实验可以得到如 下图所示的竖直方向的悬浮力 z F 随悬浮距离的变化。如下图所示。 根据理论模型计算得到的电流密度分布,我们可以得到 F z 的计算式:(+=sc R dh b hb z s vz z d dz B n medF F 022228 (30式中 s n 为超导电子密度, e 为单位电荷, m 为电子的质量, 为单位面积内

49、的涡旋数。 首先,为了计算的简便,我们将 s n 看作常数,则上式可写为:(+=sc R dh b hb z sz d dz B mn e F 022228 (31又因为 (A B z =1,代入上式得到:+ +=sc sc R dh b hb sR dh b hb z zsz d dz z A z A A A mn e d dz B zB mn e F 022222221428 (32则 2k 的第一类椭圆积分可表示为:L e v i t a t i o n F o r c e F z (N Distance between HTS and PM Z (mm图 12 悬浮力实验值 45随悬浮

50、距离L e v i t a t i o n F o r c e F z /NDistance between HTS and PM Z/mm图 11 悬浮力实验值 41随悬浮距离的变(22222' 2c o s ' 2' ' ' z z z z D -+-+= (33 同理可得:(22222' ' ' 2c o s ' 2' z z z z E -+-+= (34则等效螺线管的磁矢势可表示为:(-+-=pmR b b d dz d z z jA 022220' ' ' 2cos '

51、2' 2cos ' 4 (35在计算过程中, 参数完全按照实验给出的数值, R sc =14mm, d =5mm, R pm =11mm, b =5mm, e 为单位电荷量, m 为电子的质量。计算结果见图 13。 我们得到悬浮力随悬浮距离变化的曲线 Fz Z , 。从图中 Fz Z 曲线可以看出,理 论计算的悬浮力值与实验测量的悬浮力曲线整体变化趋势基本相同,除此之外,我们 还研究了磁悬浮力曲线随涡旋密度梯度等效电流和永磁体剩余磁场强度(图 14之间 的关系,以及磁悬浮力曲线与超导样品厚度和纵横比的关系(图 15图 13 悬浮力理论计算与实验 44的 Fz Z 曲线 IV.

52、参考文献1 F . Hellman, E. M. Gyorgy, D . W . Johnson, Jr .,H. M. OBryan, and R. C. Sherwood, ”Levitation of a magnet over a at type -II superconductor”, J. Appl. Phys 63,图 15 磁悬浮力曲线与超导样品厚度和纵横比的关系图 14 磁悬浮力曲线随不同等效电流和永磁体不同的剩余磁场的变化447-450(1988.2W . G. Harter, A. M. Hermann, and Z. Z. Sheng, ”Levitation eects involving high Tc thallium based superconductors”, Appl. Phys. Lett. 53, 1119-1121(1988.3 F . Hellman, E. M. Gyorgy, D. W . Johnson, Jr .,H. M. OBryan, and R. C. Sherwood, ”Levitation