向量的数量积运算

1、平面向量的数量积一、知识梳理1向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，作b，则_就是向量a与b的夹角(2)范围：设是向量a与b的夹角，则_.(3)共线与垂直：若0°，则a与b_；若180°，则a与b_；若90°，则a与b_2.平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，则数量_叫做a和b的数量积(或内积)，记作_(2)规定：零向量与任一向量的数量积为_3.平面向量数量积满足的运算律(1)a·b_(交换律)；(2)(a)·b_(为实数)；(3)(ab)·c_.4. 平面向量数量积的有关结论及坐标表示已知非零向

2、量a(x1，y1)，b(x2，y2)，结论几何表示坐标表示模|a|_|a|_夹角cos _cos _ab的充要条件_二、基础自测1.下列命题正确的是_(填序号)(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量(2)由a·b0可得a或b(3)a·ba·c(a0)，则bc.(4)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角(5) (a·b)ca(b·c) (6) 2.已知向量a和向量b的夹角为135°，|a|2，|b|3，则a·b_.3.已知向量a

3、，b满足|a|1，|b|4，且a·b2，则a与b的夹角为_4.已知ab，|a|2，|b|3，且3a2b与ab垂直，则实数的值为_5.已知向量a(2,1)，b(1，k)，a·(2ab)0，则k_.三、例题分析题型一平面向量的数量积的运算【例1】(1) 在中，则=_(2)已知正方形的边长为1，点是边上的动点，则的值为_. 【变式训练1】平行四边形中，点在边上，且，则_ 题型二平面向量的垂直与夹角问题【例2】(1)已知向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，且(2a3b)c，则实数k_.（2）已知向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，若2a3b与c的夹角为钝角，求k

4、的取值范围(3) 已知a，b都是非零向量，且|a|b|ab|，则a与ab的夹角为_【变式训练2】已知向量a，b都是非零向量，且a3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直，求a与b的夹角。题型三平面向量的模及其应用 例3(1)已知单位向量e1，e2的夹角为，且cos ，若向量a3e12e2，则|a|_.(2)在平面直角坐标系中，O 为原点，A(1,0) ，B(0，) ，C(3,0) ，动点D 满足，则的取值范围是_(3)若a，b，c均为单位向量，且a·b0，(ac)·(bc)0，则|abc|的最大值为_平面向量的数量积课后作业1已知向量a(1，1)，b(2，x)，若a&

5、#183;b1，则x_.2设x，yR，向量a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，且ac，bc，则|ab|_.3设向量a，b满足|a|b|1，a·b，则|a2b|_.4.已知向量a(1,2)，b(2，3)若向量c满足(ca)b，c(ab)，则c_.5 在ABC中，AB3，AC2，BC，则·_.6已知向量a，b夹角为45°，且|a|1，|2ab|，则|b|_.7在ABC中，M是BC的中点，AM3，BC10，则·_.8已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1e12e2，b23e14e2，则b1·b2_.9. 已知坐标平面内(1,5)，(7,1)，(1,2)，P是直线OM上一个动点，当·取最小值时，cosAPB_.10.已知a(2，1)，b(，3)，若a与b的夹角为钝角，则的取值范围是_11.已知|a|4，|b|3，(2a3b)·(2ab)61，(1)求a与b的夹角；(2)求|ab|；(3)若a，b，求ABC的面积12.已