行列式课后习题答案

1、第一章 行列式1 .利用对角线法则计算下列三阶行列式：2 0 11 4 1 ;-18 32 0 1解 1 -4 一 1 =2x(4) x3+0x(二)x(二)+1X1X8 -18 3-0 1 3_2 ( _1) 8_1 ( -4) ( -1)»24 8 16_4=_4 ,a b c(2) b c a ；caba b c解 b c a =acbbacPba-bbb-aaa_ccccab3.33=3abc-a -b -c ,111abc;a2b2c21 1 1 2 2 2 2 2 2解 a b c =bc2 兀a2 乜b2-ac2-ba2-cb2 a2 b2 c2qa-b)( b-c)(

2、 cv),xyx+ yyx+ yxx + yxyxyx + y解yx + yxx + yxy之(x y) y yx(x y) (x y) yx-y3_(x y) 3_x332333=3xy(x y) -y -3x yx _y -x =-2( x3 y3).2 ，按自然数从小到大为标准次序.求下列各排列的逆序数：(1)1 2 3 4解逆序数为0(2)4 1 3 2解 逆序数为4: 41 .43 .42 .32 ,(3)3 4 2 1解逆序数为 5 : 3 2.3 1 .4 2 .4 1,2 1(4)2 4 1 3解逆序数为3: 2 1.4 1 .4 3 ,(5)1 3- - - (2 n1) 2

3、 4- - - (2 n)解逆序数为n(n 1)23 2 (1个)5 25 4(2 个)7 27 47 6(3 个)(2 n_1)2 .(2 n_1)4 .(2 n_1)6 . . (2 n-1)(2 n<) ( n_1 个)(6)1 3 . (2 n_1) (2 n) (2nd) . 2 ,解逆序数为n( n _1):3 2(1 个)5 2.5 4 (2 个)(2n_1)2 .(2 n_1)4 . (2 n_1)6 . (2 n_1)(2 n_2) ( n_1 个)4 2(1 个)6 2.6 4(2 个)(2 n)2 .(2n)4. (2n)6. (2n)(2 n_2)(n_1个)3

4、，写出四阶行列式中含有因子ana23的项.解 含因子a“a23的项的一般形式为(-1) an a23a3r as.其中rs是2和4构成的排列.这种排列共有两个.即24和42 所以含因子a11&3的项分别是t1(-1)an 323332344=(-1)an a23a32a44=-an a23 a32a44.t2(-1)ana23a34a42=(-1)an a23a34a4an a23a34a42,4 .计算下列各行列式：142 0720 2112 51410041100125 12 02 1C2_C3C4 -7C3420 741100T23O2021O 41210- -4110-23Xo

5、 H12 1- -4110-0241 - 1ocI2+q9090170 241 - 1112242361202 31523159 一一- -4 -C -112242361 1 2 0231502 0 2423612023121-2102(3)-ab ac ae bd - cd de bf cf - ef-ab ac ae-b c ebd - cd de= adfb -c ebf cf - efb c -e解-1 1 1=adfbce 1 -11= 4abcdef1 1 -1o o 1 do 1 c1 b-1oTa - oooo 1dcbab-1o0-1ooD -a -+-H _一oo 1d0

6、4 c-11 b o oo解丄 1 + ab a= (T)(T)-1 c0 -1q + dg1 + ab -1 0a ad c 1 + cd -1 0=abcd ab cd ad 1= (T)(T严1 ab-1ad1 cd5 / 11a2abb29 一 c1a2ab-a2b2-a22aa + b2b2ab-a2b-2a111100ab - a2b2- a22b-2ab+ a2ax + by ay + bz az + bxx y zay + bz az 十 bx ax + by=(a3 十 b3)y z xaz+bx ax 十 by ay + bzz x yb a=(_1)31= (b_a)(b

7、_a)(2)证明ax by ay bz az bx ay bz az bx ax by az + bx ax + by ay+ bz47 / 11x=ayzy + bzxay + bz az + bx az + bx ax + by ax + by ay + bzay + bz az+bx az + bx ax + by ax + by ay + bz=a2ay bz az bx ax by+ b2y z az + bx z x ax + by x y ay + bzx= a3y zx = a3yz+ b3x+ b3yzxy y z xx y zzxy(a 2)2(b 2)2(c 2)2(d

8、2)2(a + 3)2W(c+3)2(d+3)2x y z= (a3 + b3)y z xz x ya2 (a+1)2 b2 (b+1)2 'c2 (c + 1)2d2 (d +1)2证明(C4-C3.8-c2 . C2-C1 得)(a + 3)2(b + 3)2 (c+3)22(a 2)2(b 2)2(c 2)2(a 1)2(b 1)2(c 1)2a2b22(04 -c C3C2 得)5 5 55 + + + + 9 abed2 2 2 23 3 3 3 + + + + abed2 2 2 21111 o 亠 亠 亠亠 d2a2b2c2d z/(2 2 2 2 z abed do-2

9、22 2222 21111 + + + +2a2b2c2d2 2 2 2 abed2 4 1dd d 1 cyc4 1bba2a4a=(ab)( ac)( a-d)( b-c)( bd)( cd)( a b c d);证明d 2Td2 4 1d dd 1 cc2 1bb2b41 a a aa)-b 一10013 / 11=(b _a)(c_ a)(dxo o-1x00-1u-2oo X32oo111-a) bcdb2(b+a) c2(c + a) d2(d + a)1 1 1= (b a)(ca)(d - a)0 c bd b0 c(c_b)(c + b+a) d(d_b)(d + b+a)1

10、 1=(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)c(c+b+a) d(d + b+a)=(a-b)( a-c)( a-d)( b-c)( b_d)( c_d)( a b c d).证明用数学归纳法证明.当 nm 时.D2=j=x2 + a!x+a2 "命题成立“a? xa假设对于(n -1)阶行列式命题成立.即n-1n _2D_l 衣a1 xan_2x 亠 a则D按第一列展开.有耳二 XDn_1 K(-1厂00 - T00 - XIK* *!r!r* * #IK* *!rOT - 1Tx i1X aIn才D n _1' an x'：a1XDra1nannD2

11、=a11 an1因此.对于n阶行列式命题成立. ，设n阶行列式D=det( aj ),把D上下翻转、或逆时针旋转90、或依副对角线翻转.依次得anna1n-D3=an1 '''a11n(n-1)证明 D = D? = (T) 2 D . d=d .证明 因为 Ddet( aU .所以an1annai1=(_ 1)nani'''ainannan'a1na21'''a2nan1'anna31'''a3n=(-1)2( - 1)2n(n_J)=(_ 1)1 迄(n 4 "n)D

12、= ( _ 1)2_同理可证n(n J)D2(1) 2n(n .J)n(n -1)=(-1) 2 D(-1) 2 D4nannn(n -1)n(n J)n(n J)°3=(一1) 2 D2=(-1) 2 (-1) 21)n(1) D7 .计算下列各行列式（D为k阶行列式）：a1（1） Dn二 .,其中对角线上元素都是a .未写出的元素都是0 ；1a解o o a - o O.!ro a o o o.!ra o o o 1OOOoo ao ao奇nX)T-/c一一=(_1)n1(T)n1 o o o a 1 o O OOO - ao OOO（按第n行展开）+ (-1)2n aaa(nV)

13、珂nV)(n1) (nJ)n n n _2n_2/a=a -aa (n2)(n2)Dn =xaaaxaaax解将第一行乘（-1）分别加到其余各行.得a0x-a0a- x 0x a a x x a Dn = a - x 0再将各列都加到第一列上.得a1-n oo+Xx-a 00 x-an 1=x ( n_i)a( x_a)-,000 0x-aan(a-1)n-(a-n)nan4(a-1严 (a-n)nDn十* * * * * * * * *5a-1 a_n1 1根据第6题结果.有11 1n(n 书)aa_1a- nDn亦十1) 2* * * * * *anJ(a-1严(a-心an(a-1)n (

14、a-n)n解nn 1 i j _1此行列式为范德蒙德行列式n(n 1)Dn1 十 1)丁(a-i 1)-( j 1)n(n 1)= (T) 丁h -(i-j)n 1 i j _1n(n 1)n (nX)亠 1-n (i_j)n 1 i .j_1= (T) 2 (T)(i-j).n 1 i j .1anbn D2n 二a1 $ q d1Cndn所以an°2n 二an Ja1qdiqCi,1（按第1行展开）an -Adn0_10dn_100dnbn -1+ (T严bnCn -Aa1C1b1d1Cn再按最后一行展开得递推公式D2n tdnDn 2 _bnCnDn _2 _ 即 Dn 岂 N

15、ndn -bnCn) nD2n=n (qdi-bCdi =2a1 bC anD/n (qdi-bC)i 2DWet( aij).其中 a H i d I；aj =1 i T 1D2 二D2nDn = det(aj)二nT1-1d n_10101221010021012 3 4 -. n n n nn -2n-3n 一2111-1215 / 11oooo -2OOOYOO-2-2022?+19 / 11n_Dn1 + a11111 a211 3n其中3132-3n - 0n-1 2n-3 2n-4 2n-5M1)r( n1)2n解1 + a111Dn 二11 + a21111 + an3100

16、00 1-a9a?000 1q - C2022-a3a300 1q - C3* * * *000and乳10000-an 1 +an10000ar1-11000a0-1100aa a? 3n000T1a0000-11 + a10000aT101000a.00100a.a a?'3n00001胡n000001订矿=()(1 *(1)所以51000为十x2十x3 + x4 = 5 X1+2x2-X3 + 4x4 = -2 .2x_ 3x?X3 - 5X423x1 x2 2x3 11X4= 0因为1-1-1-3114-5111425111-22-14 -2 -3 -1 -50 1 2 111

17、12 3X1=D=1 X2一 1421123115 = _426. D4 =J2 -1-3 -1 J110x4訂X3晋3= 1425-2-2O5x1 6x21为 5x2 6X30(x2 十5x3 + 6x4=0 ,I卷十 5x4 + 6x5 = 0iX4 + 5X5 =151000D0651065100006510 006 5= -2846510010001-u000650065106510二1507 D2 二000650065106510.1OOO151000一 114500065006511000165100=703 D4 =00065.10001065106510051000212-1OO O1006 51065 1065100510 0015071145703-395212x1x2X3X4X4 =1 6652665665岂1 一）（，-3） 4（1 ） -2（1 -，）（ 3 ）=（1；）3 2（1 J , _3 ,令D0 .得-0 _2 或 -3 ,于是.当=0=2或3时.该齐次线性方程组有非零解 665665片