考研必备最新概率论与数理统计公式大全

1、3（5）基本 事件、样 本空间和 事件（6）事件 的关系与 运算第一章随机事件和概率pmm!从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。（1）排列 组合公式(m n)!m!n !(m n)!cm从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。（2）加法 和乘法原 理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来元成，则这件事可由m+n种方法来元成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：mxn某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n种方法来元成，则这件事可由mXn种方法来元成。（3） 一些 常见排列重复排列和非重

2、复排列（有序） 对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机 试验和随如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个， 但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。机事件试验的可能结果称为随机事件。在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有 如下性质： 每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件;任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母A, B, C,表示事件，

3、它们是 的子集。为必然事件，？为不可能事件。不可能事件（？）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理， 必然事件（Q）的概率为 1而概率为1的事件也不一定是必然事件。关系:如果事件A的组成部分也是事件 B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：A B如果同时有A B , B A，则称事件A与事件B等价，或称A等于B： A=BA B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为 A与B的差，记为A-B,也可表示为A-AB或者AB，它表示A发生而B不发生的事件。A B同时发生：A B,或者AB A B=?,则表示A与B不可能同时发生,称事件A与事件B

4、互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-A称为事件A的逆事件，或称 A的对立事件，记为 A。它表示A不发生的 事件。互斥未必对立。运算：结合率：A(BC)=(AB)C AU (B U C)=(AU B) UC分配率：(AB) U C=(AU C)n (B U C)(A U B) n C=(AC)U (BC)AiA德摩根率：i 1i 1AB A B，A B AB(7)概率设 为样本空间，A为事件，对每一个事件 A都有一个实数 足下列三个条件：1 ° OW P(A) < 1,2° P( Q) =1P(A)，若满的公理化3° 对于两两互不相容的事件A1 , A2

5、，有定义PAiP(Ai)i 1常称为可列(完全)可加性。 则称P(A)为事件A的概率。i 11°1,2n，2°P( 1) P( 2)P()1nm组成的，则有(8)古典设任一事件A，它是由12概型P(A)= ( 1)( 2)(m) =P( 1) P( 2)P( m)m A所包含的基本事件数 n基本事件总数(9)几何概型若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空 间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何 概型。对任一事件 A,P(A)L(AA。其中L为几何度量(长度、面积、体积)。L()(10 )加P(A+B)=P(A)+P

6、(B)-P(AB)法公式当 P(AB) = 0 时，P(A+B)=P(A)+P(B)P(A-B)=P(A)-P(AB)(11 )减当 B A 时，P(A-B)=P(A)-P(B)法公式当 A=Q 时，P( B)=1- P(B)P(AB)定义设A B是两个事件，且 P(A)>0，则称为事件A发生条件下，事(12 )条P(A)件概率件B发生的条件概率，记为 P(B/ A) P(AB)。P(A)条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如 P( Q /B)=1P( B /A)=1-P(B/A)(13) 乘乘法公式：P(AB) P(A)P(B/A)更一般地，对事件 A1, A2,A

7、n,若P(A1A2An-1)>0 ,则有法公式P(A1A2 An) P(A1)P(A2| A1)P(A31 A)。P(An| A1A2 An 1)两个事件的独立性设事件A、B满足P(AB) P(A)P(B)，则称事件A、B是相互独立的。若事件A、B相互独立，且P(A)0，则有P(B | A)P(AB>P(A)P(B)P(B)P(A)P(A)(14 )独立性若事件A、B相互独立，则可得到 A 与 B、A 与 B、A 与 B也都相互独 立。必然事件和不可能事件？与任何事件都相互独立。?与任何事件都互斥。多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(

8、B) ; P(BC)=P(B)P(C) ; P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互独立。对于n个事件类似。设事件B1,B2, ,Bn满足1° B1, B2, ,Bn 两两互不相容，P(Bi)0(i1,2,n)(15 )全An Bi概公式2°i 1 ,则有P(A)P(B1)P(A|B1) P(B2)P(A| B2)P(Bn)P(A | Bn)。设事件Bi, B2,，Bn及A满足1° B1， B2,，Bn 两两互不相容，P(Bi)>o, i 1，2，n，A n Bi2° ii , P(A) 0

9、,(16 )贝 叶斯公式(17 )伯 努利概型则P(Bi / A)nP(Bi)P(A/ Bi), i=1 , 2,n。P(Bj)P(A/Bj)j i此公式即为贝叶斯公式。P(Bi)，(i 1, 2，n),通常叫先验概率。P(Bi / A), (i 1, 2，n),通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了 "因 果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。我们作了 n次试验，且满足每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；n次试验是重复进行的，即 A发生的概率每次均一样；每次试验是独立的，即每次试验 A发生与否与其他次试验 A发生与否 是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利

10、试验。用p表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为1 P q，用Pn(k)表示n重伯努利试验中A出现k(0 k n)次的概率，k n kPn(k) Ck P q ，k 0,1,2, ,n。第二章随机变量及其分布(1)离散 型随机变 量的分布 律设离散型随机变量 X的可能取值为Xk(k=1,2,)且取各个值的概率，即 事件(X=Xk)的概率为P(X=xk)=pk , k=1,2,，则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：X严,呂，xk,P(XXk) 1 pi, P2, , Pk,。显然分布律应满足下列条件：Pk 1(1) Pk0 , k 1,2,(2)k1。(2

11、)连续设F(x)是随机变量X的分布函数，若存在非负函数f(x)，对任意实数x,型随机变有量的分布x密度F (x)f (x)dx则称X为连续型随机变量。f(X)称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有下面4个性质：1°f(x) 02°f(x)dx 1(3)离散P(X x) P(x X x dx) f(x)dx与连续型随机变量积分元f(x)dx在连续型随机变量理论中所起的作用与P(Xxk) Pk在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。的关系(4)分布设X为随机变量，x是任意实数，则函数函数F(x)P(X x)称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。P(

12、aXb) F(b) F(a)可以得到X落入区间(a,b的概率。分布函数F (x)表示随机变量落入区间(-x内的概率。分布函数具有如下性质：1°0F(x) 1,x;2°F(x)是单调不减的函数，即 xi x2时，有 F(xi)F (x2);3°F()lim F(x) 0, F( ) lim F(x)xx1；4°F(x 0) F(x)，即F(x)是右连续的；5°P(X x) F(x) F(x 0)。对于离散型随机变量，F(x)pk ；Xk xx对于连续型随机变量，F(x)f (x)dx 。(5)八大0-1分布P(X=1)=p,P(X=0)=q分布二

13、项分布在n重贝努里试验中，设事件 A发生的概率为p。事件A发生的次数是随机变量，设为X，则X可能取值为0,1,2,n。k k n kP(X k) pn(k) Cn p q ，其中q 1p,0 p 1,k0,1,2, ,n,则称随机变量X服从参数为n , p的二项分布。记为X B(n, p)。k 1 k当 n 1 时，P(X k) p q , k 0.1，这就是(0-1 )分布，所以(0-1)分布是二项分布的特例。泊松分布设随机变量X的分布律为kP(X k)e ,0, k 0,1,2,k!则称随机变量X服从参数为的泊松分布，记为X ()或者 P()。泊松分布为二项分布的极限分布(np=入，nis

14、)。超几何分布kn kp(X ,) Cm ?Cn m k 0,1,2,1()CN,l min(M,n)随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。几何分布k 1»亠P(X k) q p,k 1,2,3,，其中 P>0, q=1-p。 随机变量X服从参数为p的几何分布，记为 G(p)。均匀分布设随机变量X的值只落在a , b内，其密度函数f (x)在1a , b上为常数，即b a1xwbf(x)0 a,其他,U j则称随机变量X在a , b上服从均匀分布，记为 XU(a, b)。 分布函数为厂 0,x<a,x aJV b aa< xwbF(x)x

15、 f(x)dx< 1,x>b。当aWx1<x2Wb时，X洛在区间(x1, x2)内的概率为x?X1P(X1 X x?)。b a15f(x)0,其中 0,则称随机变量 X的分布函数为F(x)彳0,x 0x 0X服从参数为x 0x<0。的指数分布。记住积分公式：n xx e dx n!0正态分布设随机变量X的密度函数为f(x)12(X )2e 2 2 ,x,J其中、0为常数，则称随机变量 X服从参数为、斤(Gauss)分布，记为X N( ,5。的正态分布或咼斯f (x)具有如下性质:1°f (x)的图形;是关于X对称的；2° 当X时,1f ()为最大值；

16、若 X N(2 F( x)2彳,2 ) X2 则(t_ X2的分布函数为1厶2川edtO。参数0、1时的正态分布称为标准正态分布，记为X N(0,1)1，其(x)2 e2密X度函数记为2,X,分布函数为xt21 2(x)e 2dt。2(x)是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。1(-x) = 1-(x)且(0)=。72如果X N(,)，贝UN (0,1)。P(X1XX2)X2X1。(6)分位 数下分位表：P(X)=；上分位表：P(X)=。(7)函数 分布离散型已知X的分布列为XX1,兄,xn,P(XXi) P1, P2, pn,Y g(X)的分布列(yi g(x)互不相等)如下：Yg(

17、x1), g(x0, g(刈，若有某些g(X)相等，则应将对应白的pi相加作为g(xi)的概率。先利用X的概率密度fx(x)写出Y的分布函数FY(y) = P(g(X)wy)，再利用变上下限积分的求导公式求出fY(y)。(1)联合 分布第三章 二维随机变量及其分布如果二维随机向量(X，Y)的所有可能取值为至多可列个有序对(x,y)，则称为离散型随机量。设 =(X，Y的所有可能取值为(Xi,yj)(i, j 1,2,)，且事件 =(Xi,yj)的概率为pij,称P(X,Y) (xy) pij(i, j 1,2,)为 =(X，Y)的分布律或称为 X和Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表

18、来表示：*y1y2yjX1pnP12p1jX2p21P22P2jXip1pij这里pij具有下面两个性匸质：(1) pij >0 (i,j=1,2,);Pij1.i j连续型对于二维随机向量(X,Y)，如果存在非负函数f (x, y)(x,y)，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D,即D-(X,Y)|a<x<b,c<y<d有P(X,Y) Df (x, y)dxdy,D则称为连续型随机向量；并称 f(x,y)为=(X, Y)的分布密度或称为X和Y的联合分布密度。分布密度f(x,y)具有下面两个性质：(1) f(x,y) > 0;(2) f(x,y)d

19、xdy 1.(2)二维 随机变量 的本质(X x,Yy) (X x y y)(3)联合 分布函数设(X, Y)为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数F(x,y) PX x,Y y称为二维随机向量(X，Y)的分布函数，或称为随机变量 X和Y的联合分布 函数。分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件( 1，2)|X( 1) x,Y( 2) y的概率为函数值的一个实值函数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质：(1)0 F (x, y) 1;(2) F( x,y )分别对x和y是非减的，即当 X2>X1 时，有 F (X2,y ) > F(x 1,y);当 y2>y1 时，

20、有 F(x,y 2) > F(x,y 1);(3) F (x,y )分别对x和y是右连续的，即F (x, y) F(x 0,y),F(x,y) F(x,y 0);(4) F(,)F( ,y) F(x, )0,F(,) 1.(5)对于X1X2, y1y?,F(x2, y2)Fg yj F(X1, y2) F(X1, yj 0.(4)离散 型与连续 型的关系P(X x, Yy) P(x X x dx, y Y y dy) f (x, y)dxdy(5)边缘 分布离散型X的边缘分布为Pi?P(X x)pj(i,j 1,2,)；jY的边缘分布为P?jP(Y yj)Pij(i, j 1,2,)。i

21、连续型X的边缘分布密度为fx(x)f(x,y)dy;Y的边缘分布密度为fY(y)f (x, y)dx.(6)条件 分布离散型在已知X=x的条件下，Y取值的条件分布为PijP(Y yj |X xi)；Pi?在已知丫二y的条件下，x取值的条件分布为PuP(X x |Y yj),P?j连续型在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为f(xy)f (x 1 y)、；fY(y)在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为f(y|x) 3fx(X)(7)独立 性一般型F(X,Y)=F x(x)F Y(y)离散型PjPi? P?j有零不独立连续型f(x,y)=f X(x)f Y(y) 直接判断，充要条件： 可分离

22、变量 正概率密度区间为矩形二维正态分 布2 21x 12 (x 1)( y 2) y 212(121122f (x,y)2e,2121=0随机变量的函数若X1,X2,XmXm+1Xn相互独立，h,g为连续函数，则： h ( X1, X2,Xm)和 g ( Xm+1,Xn)相互独立。特例：若X与Y独立，则：h (X)和g (Y)独立。例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。(9)二维 正态分布设随机向量(X, Y的分布密度函数为2 21x i2 (x i)(y2) y 21 2(1 2 1 1 2 2f (x, y)2e,21212其中121020 | 1是5个参数，则称(X, Y)服从

23、二维正态分布，2 2记为(X, Y)N(1,2, 1 , 2,).由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，卄22即 X N (1,1),YN( 2,2).2 2但是若XN (11 ) 丫N ( 22)，(X , Y)未必是二维正态分布。(10)函 数分布Z=X+Y根据定义计算：Fz(z) P(Z z) P(X Y z)对于连续型，fz(z) = f (x, z x)dx两个独立的正态分布的和仍为正态分布(12 1 222)on个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。2 2 2Ci i ,Ci iiiZ=max,mi n(X1,X2,Xn)若X1 X2 Xn

24、相互独立，其分布函数分别为Fx, (x), Fx2 (x)Fxn (x)，则 Z=max,min(X 1,X2,Xn)的分布函数为：F max (x)F x1 (x) ? F x, (x)F xn(X)Fmin (x)1 1 Fx1(X)?1 Fx2 (x)1 Fx,(X)2分布设n个随机变量x1,X2, Xn相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和2Xi的分布密度为f(u)1n22 n20,nU2u2 u 0,u 0.我们称随机变量W服从自由度为2分布，记为W2(n),其中nx2 1exdx.所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量 分布中的一个重要参数。2分布满足可加性

25、：设2(ni),k 2nk).ZYi (ni n2t分布设X，Y是两个相互独立的随机变量，且2X N(0,1),Y(n),可以证明函数TXY/n的概率密度为n1n 12 22t2f(t)1(t).nnn 2我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为Tt(n)。t1(n) t (n)F分布2 2设X (n1 ) Y (n2)，且X与Y独立，可以证明X/n1F的概率密度函数为Y/氐n 1_ n 22nf(y)n 1_n 2n2 2 1n 1 n22 1a2221彳 n12门y1y, y 0n 2_ 0 ,y0-第四章随机变量的数字特征离散型连续型(1) 一维 随机 变量 的数 字特期望期望就是平

26、均值设X是离散型随机变量，其分1布律为(P(XXk)=Pk, k=1,2,n ,nE(X)Xk Pkk 1(要求绝对收敛)设X是连续型随机变量，其概率密度为f(x),E(X)xf(x)dx(要求绝对收敛)函数的期望Y=g(X)Y=g(X)nE(Y)g(Xk)Pkk 1E(Y)g(x) f (x)dx方差2D(X)=EX-E(X) 2,D(X)Xk E(X) 2pkD(X)x E(X) 2f(x)dx标准差k(X)D(X),矩对于正整数k，称随机变量对于正整数k，称随机变量XX的k次幕的数学期望为 X的的k次幕的数学期望为 X的k阶k阶原点矩，记为vk,即原点矩，记为Vk,即v k=E(Xk)=

27、xk Pi , k=1,2,iv k=E(Xk)=xk f (x)dx,k=1,2,.对于正整数k，称随机变量对于正整数k，称随机变量XX与E (X)差的k次幕的数学与E (X)差的k次幕的数学期望期望为X的k阶中心矩，记为为X的k阶中心矩，记为k，即k，即k E(X E(X)kk E(X E(X)k.kk=(x E(X) f(x)dx,=(XE(X) Pi ,ik=1,2,.k=1,2，.切比雪夫不等式设随机变量X具有数学期望E ( X) = ，方差D( X) =c 2则对于 任意正数£,有下列切比雪夫不等式2P(X)2切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率P(Xr f

28、y t ft x r,、-/、一r-Lit 、人 r ， ， .m- 、 , )的一种估计，它在理论上有里要意乂。(2) 期望 的性 质(1) E(C)=C(2) E(CX)=CE(X)nn(3) E(X+Y)=E(X)+E(Y) , E( Ci Xi)CiE(Xi)i 1i 1(4) E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X 和 Y 独立；1充要条件：X和Y不相关。(3) 方差 的性 质(1) D(C)=0 ； E(C)=C(2) D(aX)=a 2D(X) ； E(aX)=aE(X)(3) D(aX+b)= aD(X) ； E(aX+b)=aE(X)+b(4) D(X)=E(X 2)-

29、E 2(X)(5) D(X± Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X 和 Y 独立；充要条件：X和Y不相关。D(X± Y)=D(X)+D(Y) ± 2E(X -E(X)(Y-E(Y)，无条件成立。 而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。(4) 常见 分布 的期 望和 方差期望方差0-1 分布 B(1, p)pp(1 p)二项分布B(n, p)npnp(1 p)泊松分布P()几何分布G(p)1pi_p2 p超几何分布H(n,M,N)nMNnMM N n1NN N 1均匀分布U(a,b)a b2(b a)212指数分布e()112正态分布N( ,2)22分布

30、n2nt分布0n / c、(n >2)n 2(5) 二维期望E(X)nXi Pi?E(X)xfx (x)dx随机i 1变量n的数E(Y)yj p?jE(Y)yfY(y)dy字特j i征函数的期望EG(X,Y)=EG(X,Y)=G(Xi,yj)Pji jG(x, y) f (x, y)dxdy方差D(X)2XiE(X) Pi?iD(X) xE(X) 2fx(x)dxD(Y)Xj E(Y)2p?jjD(Y) yE(Y)2fY(y)dy协方差对于随机变量X与Y，称它们的二阶混合中心矩11为X与Y的协8方差或相关矩，记为xy或cov(X,Y)，即XYii E(XE(X)(YE(Y).与记号XY相

31、对应，X与Y的方差D( X)与D ( Y)也可分别记为与XX JYY。相关系数对于随机变量X与丫，如果D(X) >0, D(Y)>0，则称XYD(X)D(Y)为X与丫的相关系数，记作XY (有时可简记为)。9|三1当丨|=1时，称X与Y完全相关：P(X aY b) 1完全相关正相关，当 负相关，当兰1时(a 0),当1时(a 0),而当0时，称X与Y不相关。以下五个命题是等价的 XY 0 ； cov(X,Y)=0; E(XY)=E(X)E(Y); D(X+Y)=D(X)+D(Y); D(X-Y)=D(X)+D(Y).协方差矩阵XXXYYXYY混合矩对于随机变量X与Y,如果有E(Xk

32、lY )存在，则称之为X与Y的k+|阶混合原点矩，记为kl ； k+|阶混合中心矩记为：UklklE(X E(X) (Y E(Y).(6)(i)cov (X, Y)=cov(Y,X);协方(ii)cov(aX,bY)=abcov(X,Y);差的(iii)cov(X i +X2,Y)=cov(X1 ,Y)+cov(X 2,Y);性质(iv)cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).(7) 独立(i)若随机变量X与Y相互独立，则XY0 ；反之不真。和不相关(ii)若(X，Y)N(1,2,12,22,)，则X与Y相互独立的充要条件是 X和Y不相关。第五章 大数定律和中心极限定理(1 )大数定律

33、X切比雪 夫大数 定律设随机变量 为,X2,湘互独立，均具有有限方差，且被同 一常数C所界：D(X ) <C(i=1,2,)，则对于任意的正数 £,有nnlim J XiE(Xi)1.n特殊情形：若Xi, X2,具有相同的数学期望 E (X )=，则上式成为nlim 4Xi1.nnii伯努利 大数定 律设卩是n次独立试验中事件 A发生的次数，p是事件A 在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数有lim P p1.nn伯努利大数定律说明，当试验次数n很大时，事件A发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，艮卩lim P p0.nn这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。辛钦大数定律

34、设X1, X2,，Xi,是相互独立同分布的随机变量序列，且 E ( Xn) = ，则对于任意的正数£有nlim 事Xi1.nn i 1(2)中心极限定 理2X N(,)n列维 林德伯 格定理设随机变量X1, X2,相互独立，服从同一分布，且具 有相同的数学期望和方差：2E(Xk),D(Xk)0(k 1,2,)，则随机变量nXk nYnk1n的分布函数Fn(x)对任意的实数X,有nX k nk 1limFn (x)lim Pxn1Xt2e 2 dt.221棣莫弗 拉普 拉斯定 理设随机变量Xn为具有参数n, 任意实数X,有p（0<p<1）的二项分布，则对于t21 X 2e

35、dt.2Xnlim P nnp(1npXp)(3)二项定理若当MN时，Np(n ,k不变)，则kn kCm Cn mC；Cnp (1PT(N).超几何分布的极限分布为二项分布。(4)泊松定理若当【n时,np0，则_ k k 一Cn P (1k、n kp)ek!(n ).其中k=0, 1, 2,，n，。 二项分布的极限分布为泊松分布。第六章样本及抽样分布（1）数理 统计的基 本概念总体在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全 体称为总体（或母体）。我们总是把总体看成一个具有分布的 随机变量（或随机向量）。个体总体中的每一个单兀称为样品（或个体）。样本我们把从总体中抽取的部分样品 X

36、1,X2, ,Xn称为样本。样本 中所含的样品数称为样本容量，一般用n表示。在一般情况下，总是把样本看成是n个相互独立的且与总体有相冋分布的随机 变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结 果时，X1,X2, ,Xn表示n个随机变量（样本）；在具体的一次抽取之后，x1, x2, , xn表示n个具体的数值（样本值）。 我们称之为样本的两重性。样本函数和 统计量设X1, X2, Xn为总体的一个样本，称（X1 , X2 , Xn ）为样本函数，其中为一个连续函数。如果中不包含任何未知参数，则称（x1 , X2 , ,Xn ）为一个统计量。常见统计量 及其性质样本均值1 nxxi.n

37、i 1样本万差S2n1 J(Xix).n1 i 1样本标准差sn1(Kx)2.n 1 i 1样本k阶原点矩Mk 1nXik,k 1,2,.n i1样本k阶中心矩Mk1n(xx)k , k2,3,.n12E(X),D(X),n222 n1 2E(S ),E(S* )n其中s*2n12(Xi X)2，为二阶中心矩。n i 1(2)正态:正态分布2 , ” ,则样总体下的设 Xl,X2,xn为来自正态总体 N(,)的一个样本，四大分布本函数def xu N(0,1)./nt分布设 Xl,X2,冷为来自正态总体 N (,)的一个样本，则样本函数defX_ t(n1),ts/n其中t(n-1)表示自由度

38、为n-1的t分布。2分布设Xi, X2 , Xn为来自止态总体N (,)的一个样本，则样本函数def (n 1)S2w22(n 1),其中2(n 1)表示自由度为n-1的2分布。F分布设Xi, X2 , Xn为来自止态总体N (2,1)的一个样本,而yi, y2,yn为来自正态总体N(,22)的一个样本，则样本函数22def S / 1F22 F (niS2 /21,n2 1),其中s2ni1(Xix)2,S2ni1 ii1 1 (yn21 i 1y);F(ni1, n2 1)表示第自由度为ni ，第二自由度为n21的F分布。(3)正态 总体下分 布的性质2X与S独立。第七章参数估计23(1)

39、点估计矩估计Xik (k1,2,m).这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”11)2 ,，- 丿xi ,m)n i 1 n121,2 ,Jxi1m)的原则建立方程，即有V1(V2(n iVm(n12 m由上面的m个方程中，解出的 m个未知参数(1 参数(1, 2, m)的矩估计量。m)即为为的矩估计,g(x)为连续函数，则g(。为g()的矩估计。设总体X的分布中包含有未知数2, , m，则其分布函数可以表成 F(x; 1, 2, m).它的 k 阶原点矩 VkE(X k)(k 1,2, ,m)中也包含了未知参数1, 2, m，即VkVk( 1, 2,m)。又设x1, x

40、2, , Xn为总体X的n个样本值，其样本的k阶原点矩为极大似 然估计当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为f(X； 1 , 2 , m)，其中 1 , 2,m为未知参数。又设X1 ,X2 , ,Xn为总体的一个样本，称L( 1 , 2 , m)nf (Xi ； 1 ,2 , m)i 1为样本的似然函数，简记为 Ln.当总体X为离型随机变量时，设其分布律为PX Xp(x； 1,2, m)，则称L(Xl,X2 , ,Xn； 1, 2 ,nm)P(Xi ； 1 , 2 , m)i 1为样本的似然函数。若似然函数L(X1,X2, ,Xn； 12, m)在 1,2, m 处取到最大值，则称 1,

41、2, , m分别为1, 2 , , m的最大似然估计值，相应的统计量称为最大似然估计量。ln Ln0,i1,2, ,mii i右 为 的极大似然估计，g(X)为单调函数，则g( 3为g()的极大似然估计。(2)无偏性估计量设(X1 , X2 , Xn)为未知参数的估计量。若E ()=，贝U的评选标准称 为的无偏估计量。E ( X ) =E (X), E (S ) =D( X)有效性设 11(X1 , X, 2 , Xn)和 22 (X1 ,X,2 , Xn)疋未知参数的两个无偏估计量。若 D( 1)D( 2)，则称1比2有效。一致性设n是的一串估计量，如果对于任意的正数，都有lim P(| n |)0,则称n为 的一致估计量(或相合估计量)。若 为 的无偏估计，且 D( 30(n),则 为 的一致估计。只要总体的E(X)和D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相 应总体的一致估计量。(3) 区间估 计置信区 间和置 信度设总体X含有一个待估的未知参数。如果我们从样本X1,X,2, , Xn出发，找出两个统计量11(X1,X,2, , Xn)与22(X1,X,2 , ,Xn) ( 12)'使得区间1, 2以1(01)的概率包含这个待估参数，即P 12 1,那么称区间1, 2为 的置信区间，1为该区间的置信度(或置信水平)。单正态 总体的 期望和 方