勾股定理的逆定理(基础)知识讲解

1、初二数学优质课时训练、专题汇编（附详解）勾股定理的逆定理（基础）【学习目标】1. 理解勾股定理的逆定理，并能与勾股定理相区别；2. 能运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形；3. 理解勾股数的含义；4.通过探索直角三角形的判定条件的过程，培养动手操作能力和逻辑推理能力.【要点梳理】【高清课堂勾股定理逆定理知识要点】要点一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长a，b，c ，满足 a2b2c2 ，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（ 1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（ 2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形

2、 .要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（ 1）首先确定最大边（如c ） .（ 2）验证 c2 与 a2b2 是否具有相等关系. 若 c2a2b2 ，则 ABC是 C 90°的直角三角形；若c2a2b2 ，则 ABC不是直角三角形.要点诠释： 当 a2b2 c2 时，此三角形为钝角三角形；当a2 b2 c2 时，此三角形为锐角三角形，其中c 为三角形的最大边.要点三、勾股数满足不定方程x2 y2 z2 的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以 x、y、 z 为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助： 3、 4、 5； 5、 12、

3、 13； 8、 15、 17； 7、24、 25； 9、 40、41如果 a、b、 c 是勾股数， 当 t 为正整数时， 以 at、bt、 ct 为三角形的三边长， 此三角形必为直角三角形 .要点诠释：（ 1） n21，2n， n21 （ n1, n 是自然数）是直角三角形的三条边长；（ 2） 2n22n, 2n1, 2n22n 1（ n 1， n 是自然数）是直角三角形的三条边长；（ 3） m2n2 , m2n2 , 2mn（ m n, m、n 是自然数）是直角三角形的三条边长；【典型例题】类型一、勾股定理的逆定理1、判断由线段a， b，c 组成的三角形是不是直角三角形初二数学优质课时训练、

4、专题汇编（附详解）（ 1） a 7， b 24， c 25；（ 2） a 4 ， b 1， c 3 ；34（ 3） am2n2 ， bm2n2 ， c 2mn ( mn 0 ) ；【思路点拨】 判断三条线段能否组成直角三角形，关键是运用勾股定理的逆定理：看较短的两条线段的平方和是否等于最长线段的平方若是，则为直角三角形，反之， 则不是直角三角形【答案与解析】解：（ 1）a2b272242625 ， c2252625 ， a2 b2 c2 由线段 a， b，c 组成的三角形是直角三角形29 25 ， a22（ 2）a b c ， b2c21231416 ，4161639b2c2a2 由线段a，b

5、，c 组成的三角形不是直角三角形（ 3）mn0，m2n22mn ， m2n2m2n2 a2c2(m2n2 )2(2mn)2m42m2 n2n44m2 n2m42m2n2n4 ，b2(m2n2 ) 2m42m2n2n4 ，a2c2b2 由线段 a，b，c 组成的三角形是直角三角形【总结升华】 解此类题的关键是准确地判断哪一条边最大，然后再利用勾股定理的逆定理进行判断，即首先确定最大边，然后验证c2 与 a2b2 是否具有相等关系，再根据结果判断是否为直角三角形举一反三：【变式】（优质试题春 ?安陆市期中）发现下列几组数据能作为三角形的边：（ 1）8，15，17；（ 2） 5， 12，13；（ 3

6、）12， 15， 20；（ 4） 7，24， 25其中能作为直角三角形的三边长的有（ ）A.1 组B.2组C.3 组D.4组【答案】 C.222解： 8 +15 =17 ，能组成直角三角形；222 5 +12 =13 ，能组成直角三角形；22212 +1520，不能组成直角三角形；初二数学优质课时训练、专题汇编（附详解）222，能组成直角三角形7+24 =25故选 C2、（优质试题春 ?丰城市期末）如图，已知四边形ABCD中， B 90°， AB 3， BC 4， CD 12， AD 13，求四边形 ABCD的面积【思路点拨】 由 AB 3，BC 4， B 90°，应想到连

7、接AC，则在 Rt ABC中即可求出 ABC的面积，也可求出线段AC的长所以在ACD中，已知AC， AD，CD三边长，判断这个三角形的形状，进而求得这个三角形的面积【答案与解析】解：连接AC，在 ABC中，因为 B 90°， AB 3，BC 4，所以 AC2AB 2BC 2324291625，所以 AC 5，在 ACD中， AD 13， DC12， AC5，所以 DC2AC 25212225144169132AD 2，即DC2AC 2AD2 所以 ACD是直角三角形，且ACD 90°所以 S四边形 ABCDS ABCSACD1 g AB g BC1 AC g DC11223

8、451263036 22【总结升华】 有关四边形的问题通常转化为三角形的问题来解，综合考察类型二、勾股定理逆定理的应用本题是勾股定理及逆定理的3、已知： a, b, c 为ABC 的三边且满足a2b2c233810a24b26c ，试判断 ABC 的形状 .【答案与解析】解： a2b2c233810a24b26c初二数学优质课时训练、专题汇编（附详解） a 210ab 224bc226c338 0(a5) 2(b12)2(c13)20 a5, b12, c13， a 2b 2c2 ABC是直角三角形 .【总结升华】 此类问题中要判断的三角形一般都是特殊三角形，一定要善于把题目中已知的条件等式进

9、行变形， 从而得到三角形的三边关系. 对条件等式进行变形常用的方法有配方法，因式分解法等 .举一反三：【变式】请阅读下列解题过程：已知a、b、 c 为 ABC 的三边，且满足222244acb c =a b ，试判断 ABC 的形状解：a2c2 b2c2=a4b4，第一步c2（ a2 b2）=（ a2+b2）（a2 b2），第二步c2=a2+b2，第三步 ABC为直角三角形第四步问：（ 1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误：_；（ 2）错误的原因是：_ ；（ 3）本题正确的结论是：_【答案】解：（ 1）第三步；（ 2）方程两边同时除以（ a2b2）时，没有考虑（ a2 b2）的值有可能是

10、 0；（ 3） c2（ a2 b2） =（ a2+b2）（ a2 b2）22222 c =a +b或 a b =0 a2b2=0 a+b=0 或 a b=0 a+b0 c2=a2+b2 或 a b=0 c2=a2+b2 或 a=b该三角形是直角三角形或等腰三角形4、（优质试题 ?秦皇岛校级模拟）如图，铁路MN 和铁路 PQ在 P 点处交汇，点第九十四中学，AP=160米，点 A 到铁路 MN的距离为80 米，假使火车行驶时，周围以内会受到噪音影响A 处是100 米（ 1）火车在铁路 MN上沿 PN方向行驶时，学校是否会受到影响？请说明理由（ 2）如果受到影响，已知火车的速度是180 千米 /

11、时那么学校受到影响的时间是多久？（ 2.4 秒初二数学优质课时训练、专题汇编（附详解）【思路点拨】 （1）过点 A 作 AEMN于点 E，由点 A 到铁路 MN的距离为 80 米可知 AE=80m，再由火车行驶时，周围 100 米以内会受到噪音影响即可直接得出结论；（2）以点 A 为圆心， 100 米为半径画圆， 交直线 MN于 BC两点，连接 AB、AC，则 AB=AC=100m，在 Rt ABE中利用勾股定理求出 BE的长，进而可得出 BC的长，根据火车的速度是 180 千米/ 时求出火车经过 BC是所用的时间即可【答案与解析】解：（ 1）会受到影响过点 A 作 AE MN于点 E，点 A 到铁路 MN的距离为80 米，AE=80m，周围 100 米以内会受到噪音影响，80100，学校会受到影响；（ 2）以点 A 为圆心，100 米为半径画圆，