知识讲解二项式定理

1、二项式定理【学习目标】1 理解并掌握二项式定理，了解用计数原理证明二项式定理的方法.2 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.【要点梳理】要点一：二项式定理1.定义一般地，对于任意正整数n,都有：n0 n1 n 1r n r rn n*、(a b) Cna Cna b Cna bCnb (n N ),这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做(a b)n的二项展开式。式中的C；an rbr做二项展开式的通项，用Tr+1表示，即通项为展开式的第r+1项：Tr 1 C；an rbr ,其中的系数Cn (r=0 , 1, 2，n)叫做二项式系数，2 二项式(a+b) n的展开式

2、的特点：(1) 项数：共有n+1项，比二项式的次数大 1;(2) 二项式系数：第r+1项的二项式系数为 C：，最大二项式系数项居中；(3) 次数：各项的次数都等于二项式的幕指数n.字母a降幕排列，次数由 n到0;字母b升幕排列，次数从0到n,每一项中，a, b次数和均为n;3. 两个常用的二项展开式：n0n1n1rrnrrnnn* (a b)Cn a Cna b L ( 1)Cn a bL ( 1) Cnb(n N ) (1 x)n1 C：x C'x2 LUxrL xn要点二、二项展开式的通项公式二项展开式的通项：Tr 1 C：an-rbr ( r 0,1,2, ,n)公式特点： 它表

3、示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是cn ； 字母b的次数和组合数的上标相同； a与b的次数之和为n。要点诠释：(1)二项式(a+b) n的二项展开式的第r+1项Cnran rbr和(b+a) n的二项展开式的第r+1项Qbn rar是 有区别的，应用二项式定理时，其中的a和b是不能随便交换位置的.(2 )通项是针对在(a+b) n这个标准形式下而言的，如(a b)n的二项展开式的通项是 Tr 1 ( 1)rc；an rbr (只需把b看成b代入二项式定理)。要点三：二项式系数及其性质1. 杨辉三角和二项展开式的推导。在我国南宋，数学家杨辉于1261年所着的详解九章算法如下表，可直观地

4、看出二项式系数。（a b）n展开式中的二项式系数，当n依次取1,2,3,时，如下表所示(a b)1 112(a b) 12 13(a b) 13 3 14(a b) 14 6 4 15(a b) 15 10 10 5 1(a b)6 16 15 20 15 6 1上表叫做二项式系数的表，也称杨辉三角（在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角 ）,反映了二项式系数的性 质。表中每行两端都是 1,而且除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和。用组合的思想方法理解（a+b） n的展开式中an rbr的系数C；的意义：为了得到（a+b） n展开式中an rbr 的系数，可以考虑在 申4 »傢2b4L4

5、（0| /）这n个括号中取r个b，则这种取法种数为 C：，即为an rbr的系数.2. （a b）n的展开式中各项的二项式系数C、C：、C；C：具有如下性质: 对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即 增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，nc： c： r；在中间取得最大值.其中,当n为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数Cf最大；当n为奇数时，二项展开式中间两项的二项n 1n 1式系数, Cn_相等，且最大 各二项式系数之和为 2n，即C0 C： c2 c3 c4 L C：2n ； 二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二

6、项式系数之和，即 CO Cn2 cn4c： c3 C2n要点诠释：二项式系数与展开式的系数的区别二项展开式中，第r+1项cnan rbr的二项式系数是组合数 Cn，展开式的系数是单项式 Cnan rbr的系 数，二者不一定相等。如（a b）n的二项展开式的通项是 Tr 1 （ 1）rC；an rbr，在这里对应项的二项式系数都是Cn，但项的r r系数是（1） Cn，可以看出，二项式系数与项的系数是不同的概念.3. （a b c）n展开式中apbqcr的系数求法（p,q, r 0的整数且p q r n）(a bc)n (a b) cn U(a b)n rcrC：C： ran r qbqcr如：（

7、a10!bc)10展开式中含a3b2c5的系数为CwCCs3! 2! 5!要点诠释：三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决。 要点四：二项式定理的应用1. 求展开式中的指定的项或特定项（或其系数）2. 利用赋值法进行求有关系数和。二项式定理表示一个恒等式，对于任意的a, b，该等式都成立。利用赋值法(即通过对 a、b取不同的特殊值)可解决与二项式系数有关的问题，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项等情况。设 f(x) (3x b)n303-| x232xL3nXn(1)令 x=0,则 30f(0)bn令x=1，则30

8、33?L3nf(1) (3b)n令x= 1，则30313233L(1)n3nf( 1)( 3 b)n ao 32 34 Lf(1) f(-1)2 3! 33 35 Lf(1)-f(-1)23.利用二项式定理证明整除问题及余数的求法:如：求证：32n 2 8n 9能被64整除(n N*)4. 证明有关的不等式问题：有些不等式，可应用二项式定理，结合放缩法证明，即把二项展开式中的某些正项适当删去 小)，或把某些负项删去(放大)，使等式转化为不等式，然后再根据不等式的传递性进行证明。 (1 x)n 1 nx ；(1 x)n 1 nx©x2 ； ( x 0)21女口：求证：2(1)nn5.

9、进行近似计算：)的形式。求数的n次幕的近似值时，把底数化为最靠近它的那个整数加一个小数(或减一个小数当| x |充分小时，我们常用下列公式估计近似值：(1 x)n 1 nx :(1 x)n 1 nx 吨 ©x2 ；2女口：求1.056的近似值，使结果精确到；【典型例题】类型一、求二项展开式的特定项或特定项的系数5例1求2x 2 的二项式的展开式.2x【思路点拨】按照二项式的展开式或按通项依次写出每一项，但要注意符号.【解析】(1)解法2x32x20C50(2x)5歩C5(2x)432x2C：(2x)332x2C；(2x)22x2C；(2x)2x232x2345332x5120x218

10、01354x4058x72433解法二:2x32x2(4x332x1011032 x11512帀(1024x3840 x32 xC5(4x3)513 4C5(4x ) ( 3)23、3233、2343455 _C5(4x ) ( 3) C5 (4x ) ( 3)C5(4x )( 3) C5 ( 3)9635760 x 4320x1620x243)32x5120x21801354052438x732x10。4x x【总结升华】 记准、记熟二项式(a+b) n的展开式，是解答好与二项式定理有关问题的前提条件, 的二项式，有时先化简再展开会更简捷.对较复杂举一反三:【变式】求6的二项式的展开式.【答

11、案】先将原式化简。再展开.2x 1(2x 1)6x丄C0(2X)6 c6(2x)5 cf(2x)4x334256C6 (2x) C6(2x) C6(2x) C611(64 x654192x240x160x3260x12x 1)例2.试求：(1) (x3三)5的展开式中x5的系数；x(2) (2x2丄)6的展开式中的常数项；x【思路点拨】先根据已知条件求出二项式的指数n,然后再求展开式中含 x的项因为题中条件和求解部分都涉及指定项问题，故选用通项公式.【解析】(1) Tr +匸 c5 (x3)5r( W)r ( 2)rc5x15 5rx依题意15 5r = 5,解得r = 2故(一2)2C5 =

12、 40为所求x5的系数(2) Tr +1= C；(2x2)6-r(丄)= ( 1)r26-r C；x123rx依题意12 3r = 0,解得r = 42故(1)2 C6 = 60为所求的常数项.【总结升华】1. 利用通项公式求给定项时避免出错的关键是弄清共有多少项，所求的是第几项，相应的r是多少;2. 注意系数与二项式系数的区别；3. 在求解过程中要注意幕的运算公式的准确应用。举一反三：【变式1】求（X2 -）9的展开式中X3的二项式系数及X3的系数X【答案】126，126；r/29r,1 x rr r 18 3r通丿、Tr 1 C9 （X ）（）（ 1） C9 XX 18 3r 3，二 r

13、5 ,故展开式中X3的二项式系数为C； C； 126 ,55X3的系数为（1） C9126.【变式2】求（3 x1 ）15的展开式中的第【答案】5455x2 ；T4 G；(3、X)153(1)3 c35 x15"65455x"。【变式3】（1 ）求（|3 ）9的展开式常数项;X 3（2）求（）9的展开式的中间两项+3 Jx【答案】 Tr 1 C9Q9G)r”3一1）当92r 0，r 6时展开式是常数项，即常数项为T7 C； 332268 ；2）（39的展开式共10项，它的中间两项分别是第 5项、第6项,8 99 123 X4254 , T6 Cg 3x378 - X3 【思

14、路点拨】_1_2 &展开式中第10的展开式中的有理项.r+1 项为 C；0(x2)10 r_1_2 &r，展开式中的有理项，就是通项中X的指数为正整数的项.20x【解析】 设二项式的通项为 Tr 1 G0(x2)10 r -1=2丘令 205r Z，即 r=0 , 2, 4, 6, 8 时，20 5r Z。2 2Ciox2020x ,Ci20x1545 15x ,4C1010x105 10x ,8105 5T7C10x ,328T9 C10 x0 1匕52256二项式1011二的展开式中的常数项是第2.x9项：二5 ；有理项是第2561 项：x20,第 3 项：45 x15，4

15、第5项：105 x10，第 7 项：W，第 9 项：45832256【总结升华】求有理项是对x的指数是整数情况的讨论，要考虑到一些指数或组合数的序号的要求.举一反三:n1【变式】如果在.x 1的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。2Vx【答案】(1)展开式中前三项的系数分别为 1, - , n(n 1)2 8【思路点拨】将(1 x)2变形为1 2x x2，要使两个因式的乘积中出现x3，根据式子的结构可以分由题意得：2x -=1 +也_U得n =8。281 16 3r设第r+1项为有理项，Tr 1C82X，则r是4的倍数，所以r=0 , 4, 8。有理项为T1 x4,T5乎x“

16、912 。8256x类型二、二项式之积及三项式展开问题例4求(1 x)2(1 x)5的展开式中x3的系数.类讨论：当前一个因式为 1时，后面的应该为x3 ;当前一个因式为x时，后面的应该为x ；当前一个因式为x2时，后面的应该为 x ；也可以利用通项公式 Tr 1 c；an rbr化简解答。【解析】解法一：(1 x)2(1 x)5(1 2x x2)(1 x)5 ，(1 x) 5的通项公式 Tk 1c5k ( x)k( 1)kc5kxk( k0,1,2,3,4,5)，分三类讨论：1)当前一个因式为1 时，后面的应该为x3 ，即 T4( 1)3C52x310x3；2)当前一个因式为2x 时，后面的

17、应该为2x2 ，即 T3( 1)2C52x210x2；3)当前一个因式为2x时，后面的应该为x ，即 T2( 1)1C51x15x ；故展开式中 x3 的系数为102 105。解法二：(1 X)2的通项公式Tr 1c2rxr ( r0,1,2)，(1 x) 5的通项公式c5k( x)k( 1)kc5kxk, ( k0,1,2,3,4,5)，k令 k r 3, 则 kr1或23，0从而X3的系数为c51c21c52c535。举一反三：变式 1】求 (1x2)(1X)5的展开式中X3的系数答案】 15 ；(1 x) 5的通项公式 Tk 1c5k ( x)k( 1)kc5kxk( k0,1,2,3,

18、4,5)，分二类讨论：1)当前一个因式为 1时，后面的应该为x3，即T4( 1)3c52x310x3；(2)当前一个因式为 x2时，后面的应该为 x，即T21 1 1( 1)1c51x15X ；故展开式中 x3 的系数为 15。【变式2】在(1 + x) 5(1- x)4的展开式中，x3的系数为 .【答案】(1 + x)5(1-x)4 = (1 + x)(1- x2)4，其中(1-x2)4展开的通项为 C；(-x2)r, 故展开式中x3的系数为 C4 = -4 .例5.求(1+x+x2)8展开式中x5的系数.【思路点拨】要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理

19、展开， 然后再用一次二项式定理，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开【解析】解法一:(1+x+x 2)8=1+(x+x 2) 8，所以 Tr 1 C；(x x2)r,则5x的系数由(x+x 2) r来决定，T'k1 Ckxr kx2k Ck r krr x ，令r+k=5，解得5或r4十r 3或。0k1k 2含x5的系数为C； C5C； C4 C； C|504。解法二28:(1 x x )(1 x)x28C0(1 x)8C8(1x)7 x2c8(1 x) (x2)2 c8(1 x)5 (x2)3 LC；(1 x)(x2)7 Cs(x2)8，则展开式中含x5的系数为C

20、； Cs C8 C73 Cs C6 504。解法三：(1+x+x2) 8=(1+x+x2)(1+x+x 2)(1+x+x2)(共8个)，这8个因式中乘积展开式中形成x5的来源有三：(1 )有2个括号各出1个x2,其余6个括号恰有1个括号出1个x，这种方式共有 C； C；种；(2) 有1个括号出1个x2，其余7个括号中恰有3个括号各出1个x，共有C8 C6种；(3) 没有1个括号出x2,恰有5个括号各给出1个x,共有Cs种.所以x5的系数是c8c8 c； c；504 .【总结升华】高考题中，常出现三项式展开或两个二项式乘积的展开问题，所用解法一般为二项式定理展开，或将三项式转化为二项式.举一反三

21、:【变式1】12 的展开式中的常数项【答案】【变式2】在(1+x+px 2)10的展开式中，试求使【答案】由通项Tr 1 C；0(x px2)rC；°xr又(1+px) r 的通项为 Crm(px)m。r m m r mI r 1C10 C r p x 。而 m+r=4,且 0< me r < 10。3所求展开式中的常数项是-C6 = 20x4的系数为最小值时 p的值.(1 px)r ,m0m i，或，或r4r3 X4的系数为Ci4)c°Ci0C3 pCiQp245p2360p2i045( p28p)2i045( p 4)2 5i0。仅当类型三:例6.【思路点拨

22、】【解析】p= 4 时，有关二项式系数的性质及计算的问题(i )求(i+2x)；展开式中系数最大的项；(2)求(i 2x)7展开式中系数最大的项。利用展开式的通项，得到系数的表达式, 设第X4的系数为最小。进而求出其最大值。(1)r+1项系数最大，则有C7 2rC7 2rC；C；2r2r7!即 r!(7r)!7! r)!2r2r7!r !(7(r i)!(7 r i)!7!i)!(7 r(ri62r2ri)!r解得3，即i334丄3 r=5。系数最大的项为T6c5小552 x672x5。系数最大的项必为正项，即在第一、括号内的两项中后项系数绝对值大于前项系数绝对值，故系数最大的项必在中间或偏右

23、，故只需要比较 和T7两项系数大小即可，(2)展开式共有8项,三、五、七这四项中取得。又因(i 2x)7T5T5系数c4 ( 2)4T7系数C6 ( 2)6CC所以系数最大的项是第五项,T5 C；( 2x)4560x4。【总结升华】求展开式中系数最大的项，一般是解一个不等式组'''Tr Tr i举一反三：i 2【变式】设(-X )n展开式的第i0项系数最大，求n.55【答案】展开式的通项为Tr i cnx)n r(-)r cn()n r(2)rxn r55552r-其系数为cn5第10项系数最大,299 2Cn TK529C9Cnn528 2Cn510 '10

24、2Cn Zn525解得25 n 14 2/ n=13 或 n=14，又 n N +【变式2】已知2an的展开式中第五、六、七项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项。【答案】因为c4C652Cn ,所以n!n!4!( n 4)!6!( n 6)!2n!5!( n 5)! °即 n2- 21n+98=0，解得 n=14 或 7。当n=14时，第8项的二项式系数最大,T8C14(2a)73432a7。当n=7时，4项与第5项的二项式系数最大,T4C34(2 a)335a3, T52C7431(2a)4270a4。类型四、利用赋值法进行求有关系数和。求：a°+a2+

25、a4+a6； (4) |a 0|+|a 11 +|a2|+ +|a 7| 。72例 7. 已知(1 2x) =a°+a1X+a2X + +a?x ,(1) &+氏+a7； (2) a1+a3+a5+a7； (3)【思路点拨】求展开式的各项系数之和常用赋值法【解析】令 x=1，贝U a°+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7= 1 ,令 x= 1,贝V a°a 1 +a2 a 3+a4a 5+a6a =3，(1)因为Oao= C；(或令 x=9,得 a0=1),所以 a1+a2+a3+a7= 2。(2)由(一)-2得 d a3a5a71 3721094。

26、(3)由(+)-2得 a0a2 a41 37a61093。方法一：因为(1 2x) 7展开式中,a。,2a2, a4, a6大于零，而 a1, a3, a5, a?小于零,(4)所以 |a 0 |+|a 1|+|a 2|+ +|a 7|=(a 0+a2+a4+a6) (a 1+a3+a5+a7)=1093(1094)=2187。方法二：|a°|+|a 1|+|a 2|+|a力,即(1+2x) 7展开式中各项的系数和，所以|a °|+|a计+|a 7|=3 7=2187。【总结升华】求展开式的各项系数之和常用赋值法。“赋值法”是解决二项式系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给

27、字母不同的值。一般地，要使展 开式中项的关系变为系数的关系，令x=0可得常数项，令x=1可得所有项系数之和，令 x= 1可得偶次项系数之和与奇次数系数之和的差，而当二项展开式中含负值时，令x= 1则可得各项系数绝对值之和。举一反三：【变式1】已知(12x)7aoaixa2x2La7x7，求:(1) aia?L a?；(2) aia3a5a7 ；(3) |ao| |ai | L |a? |.【答案】(1 )当x 1时，(12x)7(1 2)71,展开式右边为a?La°aia2La?1,当xo时，ao1 , aia2La?1 12 ,(2)令x1 ,aoaia?La?1令x1 ,aoai

28、a2a3a4a5a6a?3?a°a1a?得：2(a1 a3 a5 a?)71 3 ,a1a3 a5a?1 372(3)由展开式知:ai ,a3, a5, a?均为负,a°,a2, a4, a 均为正,由(2)中+得：2(aoa2a4a6)3?a2 a4a61 3? 1 ao 1|ai| L|a?|aoaia2a3a4a5a6a7(aoa2a4a6)佝a3a5a?)3?举一反三:【变式1】求值：2nC；2n 1Cn22n 232(1)nC：3n.【答案】2nC：2n3 C：2n 2321)nC：3n (23)n1)n【变式2】设naoa1x a2x2nanX ,当aaia2

29、Lan254时，求【答案】令x1 得:aoaia2 Lan22 23 L2n2(2n 1)2 1- 2n 128,n7 ,类型四、 二项式定理的综合运用254 ,2648的式子.【答案】2323-9(10 1)'C；3 1 0 23 C；32210丄亠022J 21_ 22 923110C23 10C23 10(1).C2310C0 1022 C；3 1021(1).c；（1)22故9231能被10整除。(例9:当n求证2N 且 n >1,322(1) 1 1【变式1】求证9 231能被10整除22 221)- C23 10 ( 1)（ 1）23(1丄)nn例&求证:-2n 2 :38n9 ( nN )能被64整除.【思路