电磁感应(微元及积分专题)

1、电磁感应(微元与积分专题)一.例题1如图所示，在水平面上有两条平行金属导轨MN、PQ,导轨间距为d，匀强磁场垂直于导轨所在的平面向下，磁感应强度大小为B，两根金属杆间隔一定的距离摆放在导轨上，且与导轨垂直，两金属杆质量均为 m,电阻均为R,两杆与导轨接触良好，导轨电阻不计，金属杆与导轨间摩擦不计，现将 杆2固定，杆1以初速度vo滑向杆2，为使两杆不相碰，则两杆初始间距至少为mRvoA、2 2B dmRvoB、2B 2B d2产NXXJx Qi X冥X其XXXXXXxxxXJxXXXXM &XXP V2mRvoC时2如图所示，两根相距为 d足够长的光滑平行金属导轨位于水平的 xOy平面内

2、，导轨与x轴平行，左端接 有阻值为R的电阻在x>0的一侧存在竖直向下的磁场， 金属棒质量为 m,电阻为r，与金属导轨垂直放置， 且接触良好.开始时，金属棒位于 x=0处，现给金属棒一大小为 v0、方向沿x轴正方向的初速度，金属棒 沿导轨滑动，金属导轨电阻可忽略不计问：金属棒滑行过程中安培力对金属棒做的功和电阻 若导轨间的磁场是匀强磁场，磁感应强度为 若导轨间的磁场是非匀强磁场，磁感应强度 导体棒最终在导轨上静止时的坐标X2 R上产生的焦耳热；B,导体棒最终在导轨上静止时的坐标X!；B沿X轴正方向增加，且大小满足 B2二kx ,rr3如图所示，间距为 L的两条足够长的平行塑料绝缘光滑导轨与

3、水平面的夹角为0,磁感应强度为 B的条形匀强磁场方向与导轨平面垂直，磁场区域的宽度为d，间距为2d .质量为m、有效电阻为 R的均质矩形导体框ABCD对称地放在导轨上， AB和CD边与导轨垂直.(重力加速度大小为 g)(1) 如果矩形导体框 ABCD的宽度BD等于3d，求矩形导体框 ABCD由静止释放下滑s距离时速度大 小为多少？(2) 如果矩形导体框 ABCD的宽度BD等于2d，线框AB边从磁场区域1上边由静止开始通过磁场 区域1所需要的时间为t，求线框AB边刚通过磁场区域 1时的速度 大小？这段时间内线框中所产生 的热功率为多少？(3) 对于第问所述的运动情况，线框 CD边刚穿出第n个磁场

4、区域时的速率为 V，试求：线框 CD 边由静止起始，至通过第 n个磁场区域时的总时间为多少？二.作业1如图所示，空间等间距分布着水平方向的条形匀强磁场，竖直方向磁场区域足够长， 磁感应强度B = 1 T，每一条形磁场区域的宽度及相邻条形磁场区域的间距均为d= 0.5 m，现有一边长l = 0.2 m、质量m= 0.1 kg、电阻R= 0.1 Q的正方形线框 MNOP以vo= 7 m/s的初速从左侧磁场边缘水平进入磁场，求：线框MN边刚进入磁场时受到安培力的大小F ;Q;线框从开始进入磁场到竖直下落的过程中产生的焦耳热线框能穿过的完整条形磁场区域的个数n。XX'I1:X XI:X XI-

5、JdX XIIX XIiIX XIX XIIX XIIjX XIiddXXIiI1XXI"fcIXXiIII"XXI1PiXXI'I!XXd dXXtII1XXI)'I'XXJIXXIIIIXXIII'XXIi2如图所示，间距为L的两条足够长的平行金属导轨与水平面的夹角为0,导轨光滑且电阻忽略不计场强为B的条形匀强磁场方向与导轨平面垂直，磁场区域的宽度为di,间距为d2.两根质量均为m、有效电阻均为R的导体棒a和b放在导轨上，并与导轨垂直.(设重力加速度为g)(1) 若a进入第2个磁场区域时，b以与a同样的速度进入第1个磁场区域，求b穿过第1

6、个磁场区域过程中增加的动能厶Ek.(2) 若a进入第2个磁场区域时，b恰好离开第1个磁场区域；此后a离开第2个磁场区域时，b又恰好进入第2个磁场区域.且a. b在任意一个磁场区域或无磁场区域的运动时间均相.求b穿过第2个磁场区域过程中，两导体棒产生的总焦耳热Q.对于第问所述的运动情况，求 a穿出第k个磁场区域时的速率 Vwww. hengq 3. 如图所示，两平行的光滑金属导轨安装在一光滑绝缘斜面上，导轨间距为I、足够长且电阻忽略不计，导轨平面的倾角为 ，条形匀强磁场的宽度为 d，磁感应强度大小为 B、方向与导轨平面垂直。长度为 2d的绝缘杆将导体棒和正方形的单匝线框连接在一起组成“”型装置，

7、总质量为 m,置于导轨上。导体棒中通以大小恒为I的电流(由外接恒流源产生，图中未图出)。线框的边长为d (d < I),电阻为R，下边与磁场区域上边界重合。将装置由静止释放，导体棒恰好运动到磁场区域下边界处返回，导体棒在整个运 动过程中始终与导轨垂直。重力加速度为go求：(1)装置从释放到开始返回的过程中，线框中产生的焦耳热Q;(2) 线框第一次穿越磁场区域所需的时间t1 ;(3) 经过足够长时间后，线框上边与磁场区域下边界的最大距离(弟1$題图)4. 如图所示，顶角 二=45 °，的金属导轨 MON固定在水平面内，导轨处在方向竖直、磁感应强度为B的匀强磁场中。一根与ON垂直的

8、导体棒在水平外力作用下以恒定速度v0沿导轨MON向右滑动，导体棒的质量为 m,导轨与导体棒单位长度的电阻均匀为r.导体棒与导轨接触点的a和b,导体棒在滑动过程中始终保持与导轨良好接触.t=0时，导体棒位于顶角O处，求:(1) t时刻流过导体棒的电流强度I和电流方向。(2) 导体棒作匀速直线运动时水平外力F的表达式。(3) 导体棒在Ot时间内产生的焦耳热Q。(4) 若在to时刻将外力 F撤去，导体棒最终在导轨上静止时的坐标X。.例题2w1 2mv02（1 分）Q = -mv22（1 分）Rmv0（ 1 分） E =BdvF =12,2dB皿（1 分）R + r（1 分）lv = a=t（1 分）

9、r-,2. 2PA T- B d v ' .vt（R + r）m=11（R r）m（3 分）X1mv0 R r0 （1 分）B2d22 2B d V件 （R r）md2-kxx （3 分）（R r）md2v0kx x 二R r m1 2R rm 产2（2分）d2X22mv0R（ 1 分）kd23. （1）线框向下运动的过程中，由于穿过线框的磁通量不变，因而无感应电流，不受安培力作用，线框只 有重力做功，所以机械能守恒，于是有1 2mgss in mv （2 分）2得：速度v二2gssinr（2分）由相关的规律：L va1 分）At（2）线框AB边通过磁场区域1过程中，受到重力、支持力和

10、安培力,mg sin）- F = ma 3（ 1 分）F = BIL E = B L v I =上RB2L2v 鼻得：mg 嘴 sin 日=mR求和:B2L21v tmgW；FE设线框刚通过磁场区域1时的速度为w，则有t=t,t=d,v= v1得：mg sin 才-2 2B L d- 八mv1（1分）R2 2B2L2dmd（1 分）再由能量守恒与转化可以得到线框中获得的内能Q = mgd sin v -2mvi®（ 2 分）P = Q ®（ 1 分）t由式得：. 2 2 2p mgdsi nrmgRtsi n BLd （1 分）-t2mtR2平均热功率（3）线框向下运动的过

11、程中， 要么AB （或CD）边切割磁感线，要么AB、CD边均不切割.AB （或CD） 边切割时，有：2 2mgsint B L 7、t/R=m v2 2mgsin 鉉、t B L/ t/R=mE vAB、CD边均不切割时，线框受重力、支持力，有：因此，设CD刚通过磁场区域2时的速度为V2,下滑运动的总时间为 t2,由上面几式，可得到 mgsin B2-2B2L2d/R=mv2（ 1分）解得：t2=mv22"氏爪（1 分）mgs in v由此类推：线框CD边刚穿出第n个磁场区域时的速率为 v，线框在导轨上运动的总时间为（n>1）（2 分）mv 2n _2 B2L2d/R】 t总=

12、mgsi nB.作业1.线框MN边刚进入磁场时有：Blv0F =BII = Bl 0 =2.8 NR设线框竖直下落 H时，速度为VH12 12由能量守恒得：mgHmv0二QmvH2 22自由落体规律：Vh =2gH1 2 解得：Qmv： =2.45 J2解法一：只有在线框进入和穿出条形磁场区域时，才产生感应电动势，线框部分进入磁场区域x时有：F =BIIBlvB2|2在t At时间内，由动量定理：一F At = mAv求和：、,B2|2 . x B2|2 .B2|2v tx = mv0 解得：x 二 mv0RRR穿过条形磁场区域的个数为：xn4.4可穿过4个完整条形磁场区域2I解法线框穿过第1

13、个条形磁场左边界过程中:2Bl2/.：tF =BlI -BlR根据动量定理:-F ：t= mw -mv0解得:B2|3mv, - mv0 R同理线框穿过第1个条形磁场右边界过程中有:b2i3/mv - mv<R1所以线框穿过第1个条形磁场过程中有:2B2|3/=mv - mv0R1设线框能穿过n个条形磁场，则有:2 32B l _n0 mv0R解得：n 严R： 4.42B2|3可穿过4个完整条形磁场区域2.(1) a和b不受安培力作用，由机械能守恒知，Ek =mgdjSi n(2)设导体棒刚进入无磁场区域时的速度为V1，刚离开无磁场区域时的速度为V2,由能量守恒知,12 12在磁场区域中

14、，mw Qmv2 mgd1 sin二2 2, 1 2 1 2在无磁场区域中，mv2mv-i mgd2 sin，2 2解得 Q=mg (d计 d2)sin(3)在无磁场区域根据匀变速直线运动规律V2-w=gtsin二且平均速度v2“1 _ d22t有磁场区域棒a受到合力 F=mgsin v -Bil感应电动势 ；=Blv感应电流匸2RB2|2解得F = mgsi n-v2R根据牛顿第二定律，在t到t+氏时间内=v =、F -t(11)m则有22B l v,：t 2mR(12)解得vi= v2=gtsin 日-b2i22Rdi(13)联列(13)式，解得由题意知,4mgRQB2l2diB2|2d1

15、8mR3. (1)设装置由静止释放到导体棒运动到磁场下边界的过程中，作用在线框上的安培力做功为由动能定理 mgsinLl4f W B I l=d 0且Q - W解得 Q =4mgd sin 二一Bild(2) 设线框刚离开磁场下边界时的速度为v1，则接着向下运动2d一I12由动能定理 mgsi n2dB I l =d 0-i m v装置在磁场中运动时收到的合力F = mg sin -F '感应电动势；=Bd：感应电流I '=-R安培力F '二Bl 'd由牛顿第二定律，在t到t+ . t时间内，有B2d2v mRm、沁=、2 .3若 X - 2B d 有 w =

16、gt1 sin -mR解得t1.2m(BIld -2mgd sin -)2B2dmg sin :(3)经过足够长时间后，线框在磁场下边界与最大距离xm之间往复运动由动能定理 mgsi n Lxm - BII人-d 0解得xmBildBII -mgsi4. (1) O到t时间内，导体棒的位移X=V°tt时刻，导体棒的长度I = X导体棒的电动势E二Blv回路总电阻R =(2x 、2x)r电流强度E _BVoR (2,2)r电流方向b(2) F 二 BIIB2v：t(22) r(3)解法t时刻导体棒的电功率2R'二23.B Vot(2 一 2)2r<2=Pt =B2v3t2

17、2(22)2 r(4) 撤去外力后，设任意时刻t导体棒的坐标为解法一在tt+ t时间内，由动量定理得B I l：t 二 m vx,速度为v,取得短时间 t或很短距离 X(2,2)r('v ：t) =2m v二 mVO2扫过面积 3(Xo x)(x-Xo) =20(x。= v°t。)P : tcP丄B2v：t2/ Otr22(2 2)2(3)解法二t时刻导体棒的电功率2 tP =1 R由于I恒定R'=v°rt二t因此(Voto)22(2、.2)mv°r； B设滑行距离为dVoto(Votod) d22即 d2v°tod-2S=0解之 d -

18、 -Voto、.,2S (Voto)2得 x 二 Votod 二.2. ：S (Voto)22(2 、2)mVorB2(Voto)2-1解法二在xx+ x，由动能定理得1 2 1 2 亠 Fix mV m（V - .v） = m“V （忽略咼阶小量）2 2B2(2 2)B2(2 .2)以下解法同解法一解法三（1）由牛顿第二定律得=V二 ma = mAt得 F：t=m：V以下解法同解法一也VV也VF = ma = m m - AtAx解法三（2）由牛顿第二定律得得F lx = mVLV以下解法同解法二1倾角为二的光滑斜面上，等间距地排列着宽度均为I匀强磁场，相邻磁场区域的磁场方向相反且均垂直于斜

19、面，磁感应强度大小均为B。一质量为m、总电阻为R的矩形线圈abcd从ab边与磁场边界重合处由静止起下滑，线圈的边长分别为ab=cd=2I和ad=bc=1.5I ,。（1） 求cd边第一次运动到两磁场交界处时的速度V1（2） 经过一段时间后，线圈在磁场中可以做一段时间的匀速运动，求此匀速运动的速度v（3） 经过一段时间后，ab边经过每段同向磁场区域的时间间隔均相等，求此时间间隔T1 a 12mg-sinmv2 2Vo Fglsin v(2)线圈匀速运动时，重力沿斜面方向的分力与安培力平衡mgs in)-2 Bl (21)I 2B(2l)v-RmgRsin v得: v匕-16B l(3)设ab边穿

20、过同向磁场区域的过程中，速度为v2O线圈沿斜面运动的前1/2内做匀加速运动的时间为 t2。对匀加速运动阶段有：ab边与磁场边界重合时的速度为vi， cd边与磁场边界时的t1，后1/2内做变减速运动的时间为对变减速运动阶段有:取很短时间氏研究:v2 7 = gt1 sin v八2B(2l)vmg sin v - 2B21 =mayR2 2. 16Bla =gsinvmR16B212v = a ：t 二 gsin h ：t v t mR2 2=v 二 gsin 二7 址-' (vt)mR,.g16B2l2v1 -v2 =(g sin 叽-mR 2联立式求解得：tL和2L,宽间距的导轨间相距

21、均为 2L、 且各段导轨间均用导线连接，整个装T = t1 2 8B2|3 mgRs in v2如图所示，六段相互平行的金属导轨在同一水平面内，长度分别为 窄间距的导轨间相距均为 L,最左端用导线连接阻值为 R的电阻， 置处于方向竖直向下、磁感应强度为B的匀强磁场中.质量为m的导体棒可在各段导轨上无摩擦地滑动， 在滑动过程中保持与导轨垂直导轨和导体棒电阻均忽略不计现使导体棒从ab位置以初速度V。垂直于导轨向右运动，则(1) 若导体棒在大小为F、沿初速度方向的恒定拉力作用下运动，到达cd位置时的速度为v,求在此运动求导体棒运动到cd位置的过程中，水平拉力做的功和的过程中电路产生的焦耳热.(2)

22、若导体棒在水平拉力作用下向右做匀速运动，电路中电流的有效值.(3) 若导体棒向右运动的过程中不受拉力作用，求运动到cd位置时的速度大小.第巧題團（2分）（3分）（1分）（3）若微粒能矗宜射到拦板匕的某点P P点在山线OO下方时，由图彖可知，口板 M5V耳O点间術跑离应满足3 （24kO6>m （w=0» 11 2）（2 分）若微桩能乘直射到抬极上的来点F尸点在育线（&'上方对，rh图彖可知，挡板与O点间的距离用满足 A （2.4n-1.8） m （存0】 2-0若两式合写成£ （1.2nl0.6） m Ch=0» L 2）同样给分15.（】7

23、分）解：CI）设产生的焦耳热为0 由功能关系有9F£ = 04-（-mv2-/wvp）解得 0 = 9FL +丄力请一丄加/2 2（JL按写出各耒给4分（2）导体体在宽间屮利窄问跖轨道上运动时.电曲中产空的述应电流分別为32 =B"qR（2分导体林受到的拉力分别为 斤=冬=ULB 巧=耳二KLB 拉力做功分別为=3FL 肌=6FJ-'1 2 Q2（2分）（2分）则水平拉力做的功W = W vW2=R设电流的有效值为几由功能关系有斛得W = PRI（1分）（3）设导体杯任符段宽间距和傘间距轨道上运初速度交化的大小分别为片和匕 > 在宽（】分）1分）问距轨道上，根

24、据牛顿第二定徉，A/ + &时间内冇 a F *4 - Zm2 w/则 Av. =£ 土上mE如=五4 =込R冋理Rm所以导体棒运动到也位瓷时的速度大小V = v0-3(Av|4-Av2) = v018啟mR（I分）（I分（I分）（1分）3如图，光滑的平行金属导轨水平放置，电阻不计，导轨间距为 内存在垂直轨道平面向下的有界匀强磁场，磁场宽度为 导轨上，与导轨垂直且接触良好，受到磁场的左边界由静止开始运动， 测得电阻两端电压随时间均匀增大。l，左侧接一阻值为R的电阻。区域 cdefs。一质量为m，电阻为r的金属棒MN置于F = 0.5v+ 0.4 ( N) (v为金属棒运动速度

25、)的水平力作用，从(已知 l = 1m, m= 1kg，R= 03.-，r = 02，s= 1m)(1) 分析并说明该金属棒在磁场中做何种运动;(2) 求磁感应强度B的大小；(3)若撤去外力后棒的速度 v随位移x的变化规律满足v= v0x,且棒在运动到ef处时m ( r十r丿恰好静止，则外力 F作用的时间为多少？(4)若在棒未出磁场区域时撤去外力，画出棒在整个运动过程中速度随位移的变化所对应的各种可 能的图线。(1)金属棒做匀加速运动， R两端电压U =，U随时间均匀增大，即 v随时间均匀增大，恒量，加速度为(2) F22 22B l vB l=ma，以 F = 0.5v + 0.4 代入得(0.5) v+ 0.4= a, a 与 v 无关，所以r十rr十ra= 0.4