电动力学复习题

1、电动力学复习题填空题1. 电荷守恒定律的微分形式可写为J - 0dS、2一般介质中的Max涮方程组的积分形式为半dl dtsB:,H dlIfdtD dS、-D dS Qf、s3. 在场分布是轴对称的情形下，拉普拉斯方程在球坐标中的通解为r,0/ 冬 P cos .。n 0r丄i k x t4. 一般坐标系下平面电磁波的表示式是 E x,tE°e5. 在真空中，平面电磁波的电场振幅与磁场振幅的比值为光速6. 引入了矢势和标势后，电场和磁场用矢势和标势表示的表达式为EA,和 B At7. 核能的利用，完全证实了相对论质能关系A8. 洛仑兹规范条件的四维形式是0x9.真空中的Maxwel

2、l方程组的微分形式为t0J10. 引入磁矢势A和标量势下，在洛伦兹规范下，满足的波动方程是c2 t2AAA11. 电磁场势的规范变换为t12.细导线上恒定电流激发磁场的毕奥-萨伐尔定律可写为Idl r3 r13.介质中的Maxwell方程组的微分形式为B 0、i t14. 时谐电磁波的表达式是 E x,t E x e |和B x,t B x e i t 015. 在两介质界面上，电场的边值关系为 n D2D.nE2 E1016 .库仑规范和洛伦兹规范的表达式分别为A1 c2 t17 狭义相对论的二个基本原理分别是狭义相对性原理和光谏不变原理18.狭义相对论的质速关系是mm。19.真空中位移电流

3、的表达式可写为JD20.在场分布球对称的情形下，拉普拉斯方程在球坐标中的通解为br, a -.r21 .满足变换关系Va V的物理量称为相对论四维矢量。22揭示静电场是保守力场的数学描述是E 0,或者E dl 0。23. 介质中的Maxwell方程组的边值关系为n E? 巳 0、n H2 Hi 、n D2、n B20。24. 介质的极化现象是当介质置于外电磁场中，分子中的电荷将发生相对位移，分子的电偶极矩的取向呈现一定的规律性而出现束缚电荷的现象。25. 波导中截止波长入c其物理意义是只有波长入小于入c的波才能在波导中传播26. 电荷守恒定律的四维形式为 0。x27. 揭示磁单极不存在的数学描

4、述是0。28 .在介质中，电磁波的传播速度与相对电容率和相对磁导率的关系 是1v= 。V r r29. 波导中截止频率c的物理意义是只有频率大于或等于c的波才能在波导中传播。30. 麦克斯韦理论上预言了电磁波的存在，赫兹从实验上证实了电磁波的存在。31 相对论指出了同时是相对的。32. 相对论的质能关系是E=mC33. 1820年 奥斯特 在讲课中发现电流附近的小磁针微微跳动了一下，苦苦讲行了三个月的连续实验研究，终于向科学界宣布了“电流的磁效应”，轰动了整个欧洲。34. 法国物理学家安培提出了圆形电流产生的可能性，报告了 “右手定则”35. 1831年11月24日，法拉第 写了一篇论文，向英

5、国皇家学会报告了“电 磁感应现象”这一划时代的发现。36法拉第 类比于流体力学，提出用磁感线和电场线的几何图形形象地描述电 场和磁场的状况。37.变化的磁场 能够激发涡旋电场。38 变化的电场产生了位移电流。39. 介质置于外电磁场中，“分子的磁偶极矩”受到电磁场的作用而发生变化， 介质中将出现宏观的磁偶极矩即宏观的电流分布，这种现象称为介质的磁化40. 用假想的点状像电荷，代替比较复杂的边界，保持原来的边值条件不变，同 时不改变空间的电荷分布。用这样的方法来求解静电场就称为电象法_三、简答题1. 简述超导体的主要电磁性质。答：超导体的主要电磁性质有二个：零电阻性质和完全抗磁体。2. 简述什么

6、效应指出了电磁场的矢势和标势具有可观察的物理效 应。答：阿哈罗诺夫一玻姆效应（A B效应）指出了电磁场的矢势和 标势具有可观察的物理效应。3. 简述推迟势的物理意义答：推迟势的物理意义是反映了电磁相互作用有一定的传播速度。4. 写出x特殊方向的洛仑兹变换。答：x特殊方向的洛仑兹变换为：x vtyxt笃X tLCV2.1 C25. 简述平面电磁波的主要性质。答:(1)电磁波为横波，E和B都与传播方向垂直;(2)E B,E B沿波矢量k方向。(3)E和B同相,振幅比为V6简述规范变换。vA答：规范变换是（ 为任意的时空函数）7.简述规范不变性。答：电场强度和磁感应强度作规范变换，则有vBvvAAv

7、AtvEvAvAtv_Atv(A,每一组 E和B保持不变&简述光速不变原理。答：真空中的光速相对于任何惯性系沿任一方向恒为）作规范变换时，这种不变性称为规范不变性c,并与光源运动无关。9. 试定性简述电像法的主要物理思想。答：电像法主要的物理思想是根据静电场的唯一性定理， 在不改变空间电荷分布 的情况下，用少数几个点电荷充当的像电荷来等效地替代边界上的极化电荷或感 应电荷计算电场强度。10. 简答时谐电磁波的概念答：所谓时谐电磁波是指满足 E x,t E x e i t和B x,t B x e i t的电磁波。11 简答推迟势的物理意义。答：推迟势的物理意义在于：对势有贡献的不是同一时

8、刻t的电荷密度或电流密 度值，而是在较早时刻的电荷密度或电流密度值。 说明电磁作用具有一定的传播 速度。12试从电磁场理论的角度简答光速不变原理的依据。答：从电磁场理论可知，真空中电磁波满足的波动方程并不依赖于哪个具体的参 考系，而真空电磁波就是以光速传播的，所以这就隐含了光速不变原理。13. 试写出静电场场强和势的边值关系答：静电场的边值关系为:n (E2 E1) 0n (D2 D1)1= 222 n114. 简述位移电流及其物理意义。u答：。下，位移电流说明变化的电场也能产生电流和磁场15. 试写出一般电磁场的边值关系:答:n(E2E1)0n(H2H1)fn(D2D1)fn(B2B1)0四

9、、证明和计算题1.试写出真空中麦克斯韦方程组的微分形式，并导出自由空间的波动方程。k解：真空中麦克斯韦方程组为，一，0，0t0J对于自由空间,0, J 0.则:两边取旋度得：(E) ( E)2E2E 2分而（E）=- PoP0 0）上22刀2E2E-（Jo 0 f2 =0 1 分2eJo 0 2'0,而c同理：2b1 一。o1分2E-丄2ctE "，B 丄2cc为传播速度，c是最基本的物理常数之在球体内，M点的象电荷M3Qa3Q4a4M4ap点的象电荷Q22a aP =-2a 2作用在p点电荷上的合力为：f 1 Q2 3Q2402（3a）24（ 9a）224负号表示引力大于斥

10、力.3Q2 (6 a)2 3/Q224320a23、地球上测得太阳的能流密度平均值为=1300瓦/米2 .设太阳光是单色平面线偏振电磁波（实际上不是偏振光，也不是单色光）（1）试估计地球上太阳光中的电场和磁场振幅（2）求太阳的平均辐射功率（3）估计太阳表面的电场和磁场振幅°E；n)0（已知日地距离为X 1011米，太阳半径为7X 108米，提示s解：（1）s20E0n，0E0142( s8.851300103 v1410 7 12B。1033 10863.3 10 T（2）以太阳为中心，以日地距离为半径的大球面积为:1023 m2A 4 R2 4 1.5 1011 2 平均辐射功率P

11、) AS；2.832。310231300 3。68 1026 w（3）太阳的表面积为A 47 1086.15 1018m2所以太阳的能流密度平均值为263.68 10186.15 106.00 107 WE。142(s10 7128.85 1017 26.00 1074.21 106 vB04.21 1063 10821.4 10 T，问飞船到4. 一恒星与地球相距（光年），从地球上向它发射宇宙飞船，设宇宙飞船的速度是 达恒星需要多长时间宇航员的钟看来是多少时间如果飞船的速度是，其结果又如何 解：（1）v=,地球观察者：飞船到达恒星需要时间（单位：a=年）5c0.8c6.25 a ,宇航员的钟

12、（由于运动而变慢）所需要时间为:2tJ ；2 6.25 10.8； a 3.75a. c(2)如果v=，同理可得:5c5.05 a ,0.99c宇航员的钟（由于运动而变慢）所需要时间为:0.99c5.05, 1 2 a 0.712a. c5.根据四维波矢量K卩的变换式，导出相对论多普勒效应公式解：洛仑兹变换为X vtl'2v2cv2 X c2V2 c可写成矩阵形式:-i0100001012V1 - 2c四维的波矢量的变换为ki00 ik1k201 00k2k300 10k3k4-i0 0k4k4ii k1 k42分即i ci k1 icvk12分设波矢k与X轴的夹角为，则 k1k co

13、s cosc1 vco ,这就是相对论的多普勒 效应。2分c6证明(A B) C (B C) A (C A) B。证： 左式（A B）kCk kjABjCk jkBjCkA （B C）iA B C A（4 分）同理（A B） C kjABjCk jkiCkABj（C A）jBj （C A B因此，（A B）C （B C）A（C A）B7 试写出真空中麦克斯韦方程组的积分形式，并利用高斯公式和Stokes公式导出对应的微分形式。解：:E dlLB dS dt s：E dSSq0sB dS 0厂B dlL0 f0d0Eds。dt s(4分)lE dlSE dSplsB dS dtBS tdS,eB

14、tE0sB dSBdVV0B0dElB dlB dS0 f0 0 sE ds0 J dS0 0dSdtSS tEBoJ0 00J0otsE dSE dV q 1 dVVV0 0解：由于接地导体球壳的静电屏蔽作用,r Ri区域电势为零。球腔内利用电象法可得1Q 4 o r2 a2 2ra cos象电荷QQR1aQ.r2 b2 2rbcos象电荷的位置在球心与点电荷的连线上：b2分，由于球壳及球外电场为零,a感应电荷只能分布于内表面。2Q(R a /R)f 0 r r R 4 (R2 a2 2Racos )3/2 对r= R的球面积分，得到总感应电荷Q = ? fds Q.2分9. 试由一定频率的

15、时谐电磁波和麦克斯韦方程出发，证明电场满足的亥姆霍兹方程为:2 2E k E 0。( k)。8. 接地的空心导体球壳内外半径为 尺和R2，在球腔内离球心 a (a<R1)处置一 点电荷Q，用电象法求电势分布。导体球壳上的感应电荷有多少分布在内表面还 是外表面E(x,t)B(x,t)解:时谐电磁波(单色波)为(2 分)E(x)e iwtB(x)e iwt(2 分)在一定频率下，D E,B H所以麦克斯韦方程可写为：EiHiEHiHEH00(i2分)HiEE)E)(i2而(E)(E)2E2E而2E02(4分)E +k E =0 ,(亥姆霍兹万程)其中 k =、10. 试由洛仑兹变换来阐明同时

16、的相对性。解：洛仑兹变换为:x vtt在参考系上，以(XtJ代表为原因第一事件 以(X2,t2 )代表为结果第二事件变换到 上，这两事件用(X1,t1)和(X2,t2)表示.t2tlF(X2X)Il对于tl=t2(系同时)，而XiX2则一定有tlt2，系上一定不同时。11.设惯性系S相对于惯性系S沿X轴正向以速度v运动，试由洛仑兹变换解:导出势的变换关系A和合为一个四维矢量,A A, - c0 0 i2分Lorentz变换为：010 0aAx00iAxAy0100AyAz0010Azi-i00icc00 10-i 0 0AxAxv2 cAyAy,AzAz,vAx .12试写出真空中麦克斯韦方程

17、组的积分形式，并说明对应的实验定律。解：真空中麦克斯韦方程组的积分形式为EdqE dS -S0：sb dS 0L B dl0 0 dtE ds。sdd对于第一个方程，由于°, E dl 二B dS h ,所以对应于法Ldt sdt拉弟电磁感应定律(2分);对于第二个方程，由于高斯定理是来源于库仑定 律，所以它对应于库仑定律(2分)；对于第三个方程，由于磁场的高斯定理 对应于磁单极不存在的实验事实，所以它对应于磁单极不存在；对于第四个 方程，由于位移电流的引入，它对应于广义的安培环路定律。13.试证明:(1)真空中或绝缘介质中的平面单色波是横波；(2)它的电场能量密度等于磁场能量密度。

18、证：（1）平面单色波的电场矢量为E x,t Eoe，k x 七（1 分）因为假定在电磁波传播的空间中0,所以vE0（ 1分）而i k x etieikx 七 k（2）代入到E 0，则i k xtE ikE°eik E0（2）按照上述方法，根据B0，同理可证：ikB 0， （ 1 分）（2）电场的能量密度we-E2，（2）由E/B=C可得：we-E2-2 22B12厂2 BWb14.试由麦克斯韦方程组推导出势A和所满足的微分方程，并且分别用库仑规范和洛仑兹规范简化方程的形式。B oJ代入上式得oJ2112 A代入上二式整理得若用库仑规范12 AFT2aA 0,1c若采用洛仑兹规范则A和

19、满足的方程为：oJc2 t0，则:2A iA2 1 2FT15 试由特殊方向的洛仑兹变换出发论证运动的钟变慢和运动的尺子长度缩短。解：特殊方向的洛仑兹变换的逆变换为x vt 2/ Iv2x c 2v2c(+2)所以t2 tit2 t1(x2xi )C22 C2所以静系上的人看，运动的钟变慢了。(+3)(+2)两式相减，利用/厂©有苴中片“为工上测得的物体长度Z (因为坐标 *1和屯是在E上同时测定的儿为疋上 测得的物体静止长度乩 由于物袜对E静止, 所以对测量时刻厂胡”：没有任何限制。显然I16. 从麦克斯韦方程组的微分形式出发，推导出电荷守恒定律的微分形式。vvQ0和HV J ,

20、J0,即 J ?D 0,又Q ?C), J0解：17. 在均匀、线性且各向同性的绝缘电介质& 1和& 2界面两侧电场强度分别为 日及E2,9 1和B 2则为曰及E与界面法线的夹角；试证明下式成立。tan 0 1 : tan 0 2= c 1 ：c 2。证：在绝缘电介质c 1和c 2界面的边值关系为E1t = E2t,D 2n= D 1nV V二 E1sin0 1=E2sin02,D 1cos0 1=D 2cos02,D E ,D1=1Ei,D2 =2 E2D1 1 E1D2 2 E21 sin 2cos 2tan 112 sin 1cos /tan 2218.在惯性系3S中，有

21、两个事件同时发生在 XX轴上相距为 10的两处，从惯性系S观测到这两个事件相距为103，试问由S系测得此两事件的时间间隔为多少解：x根据洛仑兹变换,2 X c2t（2分）x1匚 c1.02.0（已知1.0103m,20.xvt/ 2/. v2c（+2 分）103103_v_c厂2：1 v1c2上1.02c12vXcv2c（3分）t 0,1032.010103m,）55.7（sec）（2 分）空间能标乩y.丘的函数证明:W（n）=堂 W'du-dAJ= V;r dup 亠#、 dAV a（h） = Vn y .du诃明：1,)盹)怜T、W)一.歌町二_坐殂(if. df du .du匸-

22、处 du昴卞J* e>b占，e.Zdu &-n/ ozC八(勺 H他-加 1 (") &AdAx(u)CH yOO CU dA-00=VnCzdA&Td：dudlff?l-dzdu3)V x J(»)=<Cdd=4-)务GZGAx 曲 一7社一和足7砥_吐. 于他=dv dxdydzFf叫町4, W-L Wdu cvTdAx dndu空4宠du Sx ' du 5xd.4 ©H-k,du 5vVj/x du21证明：歸种导电介质丙流有恒定电流时.分界冊上电场线曲折满足tant?2 ftan cTH；屮巧和巳分别为阿种介妣

23、的电导仁证明：根IS边界条件： 仆工-瓦) = 0,即:耳sin爲二ESinG由于边界面 l：af = 0 t Mt u (D2 -5j) = Ot Bp> s2E2 cos -fL£tcos-有迅魏即4空一空根州：J-aE电场方I】与电流密废同加叭由于电流I £ffi±的，故荷*-亠 COS 込 COS &UPi 卞叵.二 6三丄 市：x - E. j = 0 '- E. sin O.-E sin 0v C0S2 CCS故税鱼二玉猪$622.试用边值关系证明；在绝缘介瓜与导体的分界曲h在静电情况下，导体外的电场线总是垂宜于导m；在植定电剛情

24、况人导体内电场线总是平时导体表此证明:C1)导体在静电条件卜达到静电平衡 二导体内£i=0F而：H x(E3 -£j) =0x Ez = 0 F故Eq垂直于导体表面"(2)导体中通过恒龙电流时，导体表面导休外瓦二0,即；另二0血；i; (Di -DJ = <Jj =。即：习 D =員£、= 0亓£ = 0导体内电场力向和也线垂葭，即半荷J：导体表面。23.均匀介质球的中心置 点电荷0L 球的电容率为左，球外为宾试用分离变数法求 空间电坍*把结果与便用高斯定理所得給呆比较。辭：空间各点的电第足心电荷Q的电势%虽与球面上的极化电荷所产生的电势的 徨加.后者満足拉普拉斯方程解：',高斯法在球外* R>Ra,由高斯定理有：f£ c = 0=Gf + Qp=eft <对丁整个导体球而言直巧电荷0宫=0）枳分后符匚-+c.（cy：枳分常散） 4码J?又曲于內= o,：,co0J '着艸一 :（尺=尺1 ）在球内.R丈，由介械中的离斯定理士