点与曲线空间投影的探讨概要

1、21分类号:点与曲线空间投影的探讨摘要：空间投影是解析几何的重要内容之一，而且其应用很广泛.本文介绍了空间投影的概念，给出了点与曲线空间投影的概念及其求法，并分析了空间曲线在坐标平面的投影的误区所在，将点与曲线空间投影整体做了归纳，并总结了几种投影的具体求法。关键词：空间的点；空间的直线；空间的曲线；投影。The projecti on of points and curves in spaceWang Chu n(Mathematics and computer engin eeri ng Xia n Un iversity of Arts and Scie nee College of X

2、ia n, Shaa nxi,710065)Abstract: the an alytic geometry of space projecti on is one of the important contents, but also its application is very extensive. This paper in troduces the con cept of space projecti on is prese nted, and the curve of space project ion con cept and method, and an an alysis o

3、f space curve in a coordi nate pla ne projecti on of the misun dersta ndin gs, the points and curves in space project ion overall summarized, in the project ion of lin es, points in the projection plane, straight line in the plane of projection, curve in the coordinates of the projection and the cur

4、ve in the general plane of projection, and the curve in stereo in the projection plane, and error-prone areas summarized.Key words: point of space; space straight line; space curve; projecti on.前言：投影在几何研究领域有着重要地位， 点与曲线是几何研究中比较普遍的 东西，也是至关重要的内容，有许多技巧和方法需要我们掌握， 本文主要通过实 例说明问题并将其归纳总结，也指出了在求投影时经常出错的地方， 并总

5、结了求 点与曲线的各种投影的方法。一、预备知识空间曲线的一般方程空间曲线C可看作空间两曲面的交线F(x,y,z)=OG(x, y,z) =0叫做空间曲线的般方程。特点：曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点 不能同时满足两个方程。空间曲线的一般方程曲:;需，当给定I时，就得到曲线上的一个点(xi,yi,zi)，随着参数的变化可得到曲线上的全部点。二、空间点的投影1、空间点到直线的投影定义：点到直线的投影就是由点向直线做垂线， 这条垂线和直线的交点即所 求的投影。求法：过点Po作平面二与L垂直，L与二交点p即为点Po在直线L上的投影占八、例1求点（1,2,3）在直线上2x-

6、3y 仁0的投影？解：所求投影就是该直线与以（2, -3,1）为法向量的，且过点（1,2,3）的平面 的交点，所求平面方程为：2（x -1）-3（y - 2） - z-3=0，即2x - 3y z = -1，与直线方程联立即可解出X=6，y= T4，Z= -荷，所以所求投影为（匚石，石）o2、空间点到平面的投影定义：点到平面的投影就是由已知点向已知平面作垂线，垂线与已知平面的交点即为投影点。求法：过p0作直线L与兀垂直，L与兀交点p即为点p0在平面兀上的投影点。例2、平面L为x*2y*2z-6=0，点为0（0,0,0）,求点o在平面l上的 投影。解：过已知点。（0,0,0），作垂直于平面x 2

7、y 2z - 6二0的直线：直线的参数方程 为x=0 + t, y = 0+2t, z=0+2t ；x= t, y = 2 t, z = 2 t，求该直线与平面x+ 2y + 2z - 6 = 0的交x - 2/2 j4 j4点，直线方程代入平面方程，得9 t=6，故t= -3，于是（3，3，3丿，即为所求投影点例3、已知点A(1,2,-3),求点a在平面2x 3y - 5z T二0上的投影 点B?解：过点A(1,2, -3)向平面2x 3y - 5z T = 0做垂线，交平面于B因为向量(2,3, -5)为平面的法向量，所以过线段 AB的直线的方向向量为(2,3, -5)，所以根据空间直线的

8、点向式可得：垂线 ab的方程为x-1 y _2 z 32 =3= -5，它与平面2x 3y - 5z T二0的交点B即为投影点522所以将上述两个方程联立解出b(-19，19,19)三、空间曲线的投影1、直线在空间平面的投影定义：直线在平面的投影就是直线上每一点在平面的投影点构成的直线 求法：过L作平面q与二垂直，则？与二的交线为L在二上的投影。通常求直线在平面的投影，我们米取的方法是：(1)、在直线上任取两点，分别向平面做垂线，垂线与平面交点所在的直线就是直线到平面的投影；(2)、过直线L作平面q与二垂直，则q与二交线为就是直线L在平面二的投影。x + 2y + z -1例4、直线LJ,;在

9、平面x+y+2z=5上的投影直线方程是什么？1 23 ,0,3 )。过A作平I2x-y-z = 0f x 亠 2v 亠 z -1解：在直线 L：2x-V-z=0上取点 A(0J-1)B( 面x+y+2z=5的垂线x=y-仁 2 ,交平面x+y+2z=5于点C(1,2,1)。过B作平面xT z_348x+y+2z=5 的垂线 3 =y=2 ,交平面 x+y+2z=5 于点 D( 3 ,1, 引。3直线CD:3(x-1)=-(y-2)=5 (z-1),就是L在平面x+y+2z=5上的投影直线例5、求直线x 2y z 1 = 0 ,在平面x y 0上的投影直线方程。3x-2y +z -4 = 0解：

10、x+y+z=0的法向量为(1,1,1),过直线x + 2y-冇1。的平面束方3x-2y+z-1 =0程为x + 2y _z+ 1 + k(3x _2y + z _1)= 0，即(1 3k)x (2 - 2k) y (k - 1)z 1 - k = 0(1)，法向量为(1+3k,2-2 k, k-1)，若该法向量与(1,1,1)垂直，贝U(1 3k)*1(2-2k)*1 (k -1)*1 =0,即 2 k +2=0, k=-1 ；代入(1)x 2y _z 1 _(3x _2y z1)=0，即 _2x 4y_2z 2=0，即 x_2y z_1 = 0该平面与平面x y z 一3 =0的交线就是投影

11、直线，.直线就是”x _2y +z _1 =0 ，x y z - 3 = 02 7也可化成较简单的形式y = , x z = 3 。2、空间曲线在平面的投影2.1、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线C的一般方程为了 (兀”刃=0GU) = 0由上述方程组消去变量z，x，y后所得的方程分别为：H ( x , y )=0 R( y , z )=0 T( x , z )=0 z = 0l表示曲线C在xoy面上的投影，亦刃=0.J = 表示曲线C在yoz面上的投影,fixry) - 0l z 表示曲线C在xoz面上的投影。设空间曲线的一般方程：F(x,y,z)=0，消去变量z后得：H(x,y)=0这就

12、Q(x,y,z) =0是曲线关于xoy的投影柱面，投影柱面的特征：以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面 如图：投影曲线的研究过程。空间曲线投影柱面投影曲线2 2 2x y z 1例6、求曲线 1在坐标面上的投影|z = _2解(“消去变量z后得x2 y3,在xoy 面上的投影为z =0223x y4,例7、求抛物面y2 z2投影曲线方程。解:截线方程为jy 化=xx 2yz = 0(1)消去z得投影2 2x +5y +4xy_x=0z = 0消去z得投影丿2 2x+5z -2xz-4x = 0,y=o(3)消去x得投影y2 +z2 + 2y _z =0x =01因为曲线在平面上，所以在xo

13、z面上的投影为线段。1 z =2, y =0(3)同理在yoz面上的投影也为线段。z2,x =0 二x与平面x 2y 一 z = 0的截线在三个坐标面上的(2)补充：由空间曲线围成的空间立体或曲面在坐标面上的投影。空间立体曲 面丁锥面所围成,例8设一个立体，由上球面z = 厂X? 一 y2和z二3(X2求球面与锥面围成圆的曲线在xoy平面的投影。、z =斗4 _x2 _ y2解:半球面和锥面的交线为c :L= J3(x2 +y2), 消去z得投影柱面x2y2 =1,则交线C在xoy面上的投影为2 2x +y 7 个圆, z =0.2.2、在寻求L在坐标平面上的投影曲线及曲线围成柱面在坐标平面的

14、投影 时常有如下典型错误：(10)求 Li：X2 y2 (z-1)2 =1 2x2 y2 _y (z_1)2 =1在xoy平面上的投影曲线解:从L,的两个方程中消去z得到x2-y=0，故L.:在xoy平面上的投影曲线的方程为彳z =0(20)求 L2：x2 y2x2 y2z2 二 a2关于xoz平面的投影柱面的方程一 ax =0解:从L2的两个方程消去y ,即得到L2关于xoz平面的投影柱面 的方程:z2 =a2 -ax，容易看出这两个解答都是不完善的，因为L,和均为两个曲面的交线，且 其 中至 少各有一个曲面是封闭的，即范围是有限的，所以Li在xoy平面 上 的投影，Li在xoz平面上的投影

15、也只能在有限范围内。其实由以上 所作,我们只能断定L在柱面xyO上，L2在柱面z2 ax - a2 = 0上，而它 们各自是否与柱面的直母线都相交尚待讨论。现来求Li在xoy平面上的投影曲线，-22 2易见Li可表成x2 y (Z_1) ，由第一式知:x2 yi 1，于是Lix y =0t (2)2的投影曲线应是曲线x =0，ly =o-2在xoy平面的单位圆内的部分，讨论不等式组x/ y/，首先y = x2_0,j + y (1)y2()，由第一式乘以3再减去第二y 3z -8x =12z (2)式得：y2 40，又由（1）式知D =（x, y, 0） y2 2x- 2空0，解不等式组且-2

16、兰y兰2，（或者-1兰x兰0），L关于xoy平面的投影柱面为 y2+4x = 0.例10、对于曲线l：x2 y：x yz2 二 a2-； (1)ax 二 0 ； (2)将（2）式改写成（xy）2易见在xoy平面上圆r0 : （x -号）2 y2二（号）2整个被包括在半径为a的圆x2 y2 = a2之内，即r D1，故L在xoy平面的投影柱面即为圆柱面：（x-弓）2 y2 =（弓）2F面在求此曲线在yoz平面的投影柱面。把L的方程首先改写成2 2 2 2L: x2y z = a (1)进而在把它改写成zax = 0 (3)L:子 2z ax 0； (3)(a -：)2 y2 二C)2 (4)又易

17、知对于任意y，z，方程（3）关于x均有实解,故从曲线L的最后形式的方程立即可知L在yoz的投影柱面为（号-勺2 y2 =（号）2就以上所论可见，问题归根究底是从方程中消去参数时如何真确把握所产生X2 + y2 + z2 = a2的限制条件。如果在问题（2）中，将L2写成，那么由第二式立=Ja（a -x）即有0乞x岂a，再将第二式代入第一式, 面方程 z2 ax - a2 = 0,0 二 x 二 a。即消去 z就得到关于xoz平面的投影柱同样道理，对于一些归结为消去参数的问题， 特别由曲线族生成曲面时，我们务必考虑为使这些参数在实数范围对点的坐标所产生的限制条件，否则难以活得正确结论。2.3、空

18、间曲线在一般平面上的投影前面我们探讨了空间曲线在坐标平面的投影，现在我们来研究一下空间曲线 在一般平面的投影有哪些问题：所谓空间曲线C在平面P上的投影线，是将C上 的每一点作P的垂直线与P的交点的集合。问题1 :求空间曲线C在一般平面P : Ax By Cz0上的投影曲线I的方程。方法一 空间曲线C可看成两个空间曲面的交线,即可用JF(x,y,z)=O G(x, y,z)=O(1)表示,(1)式称为曲线C的一般方程。所求投影曲线I可看成由两个空间曲面的交线，一个是已知平面 P,另一个是经过已给空间曲线C且垂直于已知平面P的柱面7,故问题转化为求这一柱面方程。设柱面Z的准线的方程为广(x, y,

19、z )-0,母线方向b=(A,B,C )，点M( x , y, z)属于柱面E 的充要G x,y,z =0条件是点M在某一条母线上，即存在准线上一点M! (%, %,乙)，使得点MF ( x-i, y-i, z3= 0位于过点M-且以b为方向向量的直线上.因此，有，G(xi,如,乙)=0!x = Xi At方法二 空间曲线C也可用参数方程表示，即y = yi Bt，其中t为参数。z =乙 Ct经过C上任意一点 xt,yt,zt ，作P的垂直线方程为,x = x(t)+s0A,x x 兀一)y飞z 眉 则该垂直线方程可写成参数式： y = y(t )+sB,ABCjZ = z(t)+s)C.代入

20、平面P的方程求出s,记为S0 : S0 = -空 By Cz2t D，设t在C的0a2 + b2+c2定义域内变动，即得I的参数方程如上,注意,当t变动时，So不是常数。特别地，若 P为xoy平面,则A = B = D = 0,C =1x 二 x t| 于是I的参数方程为丿y = y(t)，即曲线C在xoy平面上的投影曲z =z(t )+s)C =0线只要将其参数方程中的z = z ( t ) 换成z = 0即可。例11、求空间曲线C : x=y z在平面二：x_2z=3上的投影曲线的方程。| x = 2z厂22c人 -w =0,Xi 2乙=0;x = Xit,y = y1,，由以上两式消去X

21、iyiz =Zi -2t.解投影曲线的方程可看作平面P和经过空间曲线C且垂直于平面P的柱面的交线。先求柱面方程r220:柱面的准线方程为；_二0，母线方向为b=1,0,-2，设点M( x , y, z )是柱面上一点，点Mi (,乙)为准线t,可得柱面方程为4x2 25 y2 z2 4x 20x -10z = 0.故投影曲线方程为x -2z =3,4x2 25y2 z2o4xz 20x 10z = 0.Jx = 3cos ,I例12、求曲线C : y=4si n，,0 v 2二在平面x y z0上的投影曲z =5,线的方程。解：经过已知曲线 C上任意一点X ,y r ,z作已知平面的垂直线方程

22、为匸严=上产乜七七5则该垂直线方程可写成参数式:x = 3cos) y =4sin - z = 5 s.s,s,代入已知平面方程求出s,记为s0s0 =3cos 4sin 5 13，于x = 3cos r &,是得到投影点的坐标：y =4sin 一 ,上式即为所求投影曲线的参数方程。z = 5 s0.总结，由上面可知， 点与曲线在空间的投影在解析几何中地位的重要性， 将 它总结归纳可以为以后研究解析几何提供了便利。结束语 综上所述，数学研究就是不断总结学习新知识的过程，通过研究学 习不断发现问题， 并将其改正完善。 在本节所涉及点与曲线在空间的投影就是通 过总结以前所学的知识，找出解决的办法，并将我们容易出错的地方分析研究， 不但采用具体实例说明， 而且采用数形结合， 可以让我们直观地发现问题， 为解 析几何研究提供便利， 另外，本文将点与曲线在空间投影扩展到由曲线围成的立 体图形也给了研究和分析的投影，为今后数学研究提供了很好的素材。【参考文献】 1 同济大学数学教研室 . 高等数学 M . 北京 : 高等教育出版社 , 1996. 2 钱昌本 . 高等数学解题过程中的分析和研究 M . 北京 : 科学出版社 , 2005. 3 孙本旺 , 汪浩 . 数学分析中典型例题和解题方法 M . 长沙 : 湖南科学技术出版社 1983. 4 徐利治 , 王兴华