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1、对一道数学高考题的多角度思考215021西安交通大学苏州附属中学蒋亚军【摘要】本文研究了一道函数最大值的求解，从不同的角度进行了详细剖析以及对各种方法的教学进行了探究。【关键词】换元 不等式 导数 向量 数学高考题，由于其内在的规律，或由于思考的角度不同，可能会有许多不同的解法。在平时教学中，教师应自觉探求多种解法，这样可以使我们的学生的基础知识、基本技能得到训练，能力得到增强，智力得到开发。在寻求多种解法时，要防止乱碰，而应注意分析，使问题的解决更有条理。下面就一道高考题为例，探究其解法的多样性。（2008重庆高考题第5题）函数的最大值是 解法1 平方法 当时，有最大值4 所以最大值为8所以

2、函数的最大值为评注：平方法是处理根号问题最常用的方法，但却是考生嫌麻烦最易忽视的方法。本题平方后除从二次函数角度求最大值，也可用基本不等式求解。解法2 换元法 令，则所以令所以当时，取得最大值为所以函数的最大值为评注：换元法是处理根号问题的第二个常用方法，形如的形式一般都是换元转化成二次函数求解。本题换元后也可以用线性规划转化为直线与四分之一圆周相交求解。解法3 基本不等式由基本不等式可推导得出（当且仅当时等号成立）也即有所以当且仅当即时等号成立评注：因不等式的变形形式较多，考生往往不能熟练运用，因此在平时教学中要多渗透各种形式，甚至把柯西不等式也介绍给学生，虽然考试说明不作要求，但是可以激发

3、学生对不等式的学习兴趣。解法4 导数法求导得令，即，从而 -3 -1 1 0 2 单调递增 单调递减 2所以函数的最大值为评注：导数法应该是对函数（可导函数）单调性、最值研究的万能方法，且导数法应用步骤层式化，因此复合函数的求导最好文科数学的教学也要渗透，所以运用导数研究函数的性质，学生在操作上还是比较容易的。解法5 向量法令所以，当与同向，即时，取得最大所以所以函数的最大值为评注：该解法巧妙地用“1”的代换将双根号与向量的数量积联系起来，解决起来非常方便。同时也让学生体会到数学知识之间的本质联系。若将题目变为求函数的最大值？此时平方法、基本不等式就不能做了，换元法可以转化为椭圆，导数法作为万能方法仍然适用，但是向量法的解答将十分的简单：令所以当与同向，即时，取得最大用多种方法解答同一道数学题，不仅能更牢固地掌握和运用所学知识，而且通过一题多解，分析比较，寻找解题的最佳途径和方法

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