二阶常微分方程解法--求解表格.

1、二阶微分方程：2ydy， f ( x)时为齐次d0dx2P( x)Q( x) yf (x)时为非齐次dxf ( x)0二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：(*) ypy qy0，其中 p, q为常数；求解步骤：1、写出特征方程： ( )r 2pr q 0，其中 r 2， r的系数及常数项恰好是(*) 式中 y , y , y的系数；2、求出 ( )式的两个根 r1 ,r23、根据 r1 ,r2的不同情况，按下表写 出(*) 式的通解：r1，r2的形式(*) 式的通解两个不相等实根(240)r1 xr2 xpyc1ec2 eq(240)r1 x两个相等实根pqy(c1c2 x) e(240)x一

2、对共轭复根pqye (c1 cos x c2 sinx)r1i，r2ip，4qp222二阶常系数非齐次线性微分方程ypyqyf ( x)， p,q为常数f ( x)e x Pm ( x)型， 为常数；f ( x)e x Pl ( x) cosx Pn ( x)sin x型二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是ypyqyf ( x)（ 1）其中 p , q 是常数。方程（ 1）的通解为对应的齐次方程ypyqy0（2）的通解 Y 和方程（ 1）的一个特解y * 之和。即 yYy * . 我们已解决了求二阶常系数齐次线性方程通解的问题，所以，我们只需讨论求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解y *的

3、方法。下面我们只介绍当方程（1）中的 f (x) 为如下两种常见形式时求其特解y * 的方法。一、f ( x)ex P ( x) 型m由于方程 （1）右端函数 f ( x ) 是指数函数 ex 与 m次多项式 Pm (x) 的乘积， 而指数函数与多项式的乘积的导数仍是这类函数，因此，我们推测：方程（ 1）的特解应为 yex Q( x) (Q( x ) 是某个次数待定的多项式)ye x Q ( x) e xQ ( x)ye x 2 Q ( x) 2 Q ( x ) Q ( x ) 代入方程（1），得ex Q( x)(2p)Q (x)(2p q)Q(x) e xP ( x)m消去 ex ，得Q(

4、x)(2p)Q ( x)(2pq)Q( x)P ( x)（ 3）m讨论、如果不是特征方程 r 2prq0 的根。2pq0即由于 Pm ( x) 是一个 m次的多项式， 欲使（ 3）的两端恒等， 那未 Q ( x) 必为一个 m次多项式，设为Qm( x) b xmb xm 1bx b01m 1m将之代入（3），比较恒等式两端x的同次幂的系数，就得到以b0 ,b1 , bm1 ,bm 为未知数的 m 1个线性方程的联立方程组，解此方程组可得到这m1个待定的系数，并得到特解yex Q( x)m20 、如果是特征方程 r 2prq0 的单根。即2pq0，但 2p0欲使（ 3）式的两端恒等，那么Q (

5、x) 必是一个 m次多项式。因此，可令Q( x)x Qm ( x)并且用同样的方法来确定Q ( x) 的系数 b0 ,b1 ,bm1 ,bm 。30、如果是特征方程 r 2prq0 的二重根。即2pq0，且 2p0。欲使（ 3）式的两端恒等，那么Q ( x) 必是一个 m次多项式因此， 可令 Q ( x)x2 Qm ( x)并且用同样的方法来确定Q ( x) 的系数 b0 ,b1 ,bm1 ,bm 。综上所述，我们有结论如果f ( x) ex P( x)，则方程（ 1）的特解形式为myx k Q( x)exm其中 Qm ( x ) 是与 Pm ( x) 同次的多项式，k 的取值应满足条件0k

6、12不是特征方程的根是特征方程的单根是特征方程的二重根例 1 求 y5y6 yxe2x的通解。解 特征方程为r 25r60特征根为r12, r23齐次方程的通解为Y C1e2 xC2 e3x因为2 是特征单根，所以，设非齐次方程的特解为yx(b xb )e2x01则y * 2b0 x2( 2b02b1) xb1e2 xy * 4b0x 2(8b04b1) x2b04b1e2 x将上述三式代入原方程，得( 2b0 x 2b0b1) e2 xxe2x ，比较恒等式两端的系数，得2b012b01b10b0， b11解得2y*x(1 x1)e2 x因此2所以方程的通解为y c1e2 xc2e3xx(

7、1 x 1)e2x2二、f ( x)e x P ( x) cosxP ( x) sinx 型ln由于方程（ 1）右端函数为e xpl(x) cos xpn ( x) sin x ，这种形式得到非齐次方程的特解 y * 的过程稍微复杂些，所以我们这里就只给出结论yx ke x Rm(1) ( x) cosxRm(2) ( x) sin x其中， Rm(1) ( x) 、 Rm(2) ( x) 是两个 m次多项式， mmax l , n ，k0若i不是特征方程的根1若i是特征方程的根且例 2 求方程 yyx cos2 x的通解。解 特征方程r 210特征根r1, 2i齐次方程的通解为YC1 cosxC2 sin x这里0,2, m1 ，由于i2i 不是特征方程的根，所以设方程的特解为y(axb) cos2x(cxd ) sin 2x代入原方程，得( 3ax3b4C ) cos 2x(3Cx3d4a) sin 2xx cos2x