二分法求函数零点教案.

1、用二分法求方程的近似解、二分法的概念对于在区间a, b上连续不断且f (a) ·f (b) < 0 的函数yf ( x),通过不断把函数f ( x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫二分法。、用二分法求函数f ( x) 的零点的近似值的步骤：（）确定区间 a, b, 验证： f ( a) · f (b) < 0，确定精确度（）求区间 (a , b)的中点 x1（）计算 f ( x )若 f (x) =0, 则就 x1 是函数的零点11若 f (a) · f ( x1 ) <，则令 b = x1 （

2、此时零点 x0 (a,x1) ）若 f ( x1 ) · f (b) <，则令 a = x1 （此时零点 x0 ( x1, b) ）（）判断是否达到精确度即若| a b | <,则得到零点的近似值为a（或 b），否则重复（）（）3、用二分法求函数零点的条件：若函数零点左右两侧函数值符号相反，则此零点为函数的变号零点，从图象来看，若图象穿过零点，则此零点为变号零点。否则为不变号零点。二分法只能求函数的变号零点。例题讲解：例 1：下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（）解：应选 B，利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号。例 、 利用二分法

3、求方程 1x 的一个近似解（精确到0.1）。231x1解：设 fx 的一个近似解，即求函数f x 的一个近似零xx 3 ，则求方程3xx点。 f210 ， f 31作为计算的初始区间。20 ，取区间 2,33用二分法逐次计算，列表如下：端点（中点）坐标计算中点的函数值取区间2,3x 02.5f (2.5)0.102.5,3x 02.75f (2.75)0.1102.5,2.75x 02.625f (2.625)0.00602.5,2.625x 02.5625f ( 2.5625)0.04702.5625,2.625区间 2.5625,2.625 的左右端点精确到 0.1 所取的近似值都是2.6

4、，函数 f ( x ) 满足题设的一个近似零点是2.61x 满足题设的一个近似解是2.6故方程3x例 3、 二次函数 yax2bxc(xR ) 的部分对应值如下表：x3 2 101234y60 46 6 406则使函数值大于0 的自变量的取值集合是_。解： 由上表提供数值大于0 的自变量的取值集合是 (, 2)( 3,)评析： 开口方向是解题关键信息，零点是2， 3，且开口向上，例 4、已知函数 f ( x )x32x 25x6 的一个零点为（ 1）求函数的其他零点；（ 2）求函数值大于 0 时自变量 x 的取值范围。解：（ 1）由题意，设 f ( x)( x 1)( x 2mx n)x 3m

5、12nm5m1n 6解得 n6 令 f (x )0 ，即 ( x1)( x 2x6)0 ，解得 x1， 2， 31( m1) x 2(nm) xn ，函数的其他零点是2，3（2）函数的三个零点将 x 轴分成 4 个区间： (, 2，(2,1 ， (1,3 ， (3, 作出函数的示意图， 观察图象得函数值大于0 时自变量 x 的取值范围是： ( 2,1) ( 3, )例 5、求函数 f(x) x2 5 的负零点 (精确度 0.1)【解析】由于 f( 2) 1<0 ，f( 3) 4>0，故取区间 ( 3， 2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如图：区间中点中点函数值 (或近似

6、值 )( 3， 2) 2.51.25( 2.5， 2) 2.250.0625( 2.25， 2) 2.125 0.484 4( 2.25， 2.125)2.187 5 0.214 8( 2.25， 2.187 5)2.218 75 0.077 1由于 |2.25 ( 2.187 5)|0.062 5<0.1 ，所以函数的一个近似负零点可取2.25.达标练习：1下列函数零点不宜用二分法的是()A f(x) x3 8B f(x) lnx 3【答案】 CCf(x) x2 22x 2D f(x) x2 4x 12用二分法求方程f(x) 0 在 (1,2)内近似解的过程中得f(1)<0 ，f

7、(1.5)>0 ，f(1.25)<0 ，则方程的根在区间 ()A (1.25,1.5)B (1,1.25)C(1.5,2)D不能确定【解析 】由题意知f(1.25)f(1·.5)<0 ，方程的根在区间(1.25,1.5) 内，故选 A.3若函数 f(x) x3 x2 2x 2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，参考数据如下：f(1) 2， f(1.5) 0.625，f(1.25) 0.984f(1.375) 0.260， f(1.437 5) 0.16，f(1.406 25) 0.0542，那么方程 x3 x2 2x 2 0 的一个近似根 (精确度 0.1)为

8、 _【解析 】根据题意知函数的零点在1.406 25 至 1.437 5 之间，因为此时 |1.437 5 1.406 25| 0.031 25<0.1 ，故方程的一个近似根可以是1.437 5. 答案不唯一，可以是1.437 5,1.406 25 之间的任意一个数 【答案 】 1.437 51 x ln x 的根的个数是 ()4、方程 2A 0B1 C2D 3【解析 】方法一：令 f(x) ln x 1x，则 f(1)112<0， f(e) 1>0，22e f(x) 在 (1， e)内有零点又 f(x) 在定义域 (0， ) 上为增函数， f(x) 在定义域内仅有1 个零点

9、方法二：作出1 x 与 y ln x 的图象观察可知只有一个交点故选B.y 25、方程 2x1 x 5的解所在的区间是 ()A (0,1)B (1,2)C(2,3)D (3,4)【解析】x1x 5，则f(2) 2 25 1<0， f(3) 223 5 2>0，从令 f(x) 2而方程在区间 (2,3)内有解故选C.6、利用计算器，算出自变量和函数值的对应值如下表：x0.20.61.01.41.82.22.63.03.4y 2x1.1491.5162.02.6393.4824.5956.0638.010.55620.040.361.01.963.244.846.769.011.56y

10、 x那么方程2x x2 的一个根所在区间为 ()A (0.6,1.0)B (1.4,1.8)C (1.8,2.2)D (2.6,3.0)【解】 设 f(x) 2x x2 ，由表格观察出在x1.8 时，2x>x2，即 f(1.8)>0 ；在 x2.2 时，2x<x2，即 f(2.2)<0. 所以 f(1.8) f(2·.2)<0 ，所以方程2x x2的一个根位于区间(1.8,2.2) 内故选 C.7、函数 f(x) ex1的零点所在的区间是()xA. 0，1B. 1，1C. 1，3D.3，22222【解析】 f( 1) e2<0，f(1) e 1&g

11、t;0，f(1) ·f(1)<0 ，故选 B.22二、填空题 (每小题5 分，共 10 分)8、用二分法求函数y f(x) 在区间 (2,4)上的近似解，验证f(2) f(4)<0· ，给定精确度 0.01，取区间 (2,4)的中点 x1 2 43，计算得 f(2) f(x· 1)<0 ，则此时零点 x0 _(填区间 )2【解析】 由 f(2) f(3)<0·可知【答案 】 (2,3)9、用二分法求方程 x3 2x5 0 在区间 2,3 内的实数根时，取区间中间x0 2.5，那么下一个有根区间是 _【解析 】 f(2)<0

12、，f(2.5)>0 ， 下一个有根区间是(2,2.5)三、解答题 (每小题 10 分，共 20 分 )10、求方程 2x3 3x 30的一个近似解 (精确度 0.1)【解析】 设 f(x) 2x33x 3，经试算， f(0) 3<0 ，f(1) 2>0，所以函数在 (0,1)内存在零点，即方程 2x33x 3 0 在 (0,1) 内有实数解，取 (0,1)的中点 0.5，经计算f(0.5)<0 ，又 f(1)>0 ，所以方程 2x3 3x 3 0 在 (0.5,1) 内有解如此继续下去，得到方程的一个实数解所在的区间，如下表：(a，b)(a， b)的中点f(a)f

13、(b)fa b2(0,1)0.5f(0)<0f(1)>0f(0.5)<0(0.5,1)0.75f(0.5)<0f(1)>0f(0.75)>0(0.5,0.75)0.625f(0.5)<0f(0.75)>0f(0.625)<0(0.625,0.75)0.687 5f(0.625)<0f(0.75)>0f(0.687 5)<0因为 |0.687 5 0.75| 0.062 5<0.1 ，所以方程 2x3 3x 3 0 的精确度为0.1 的一个近似解可取为 0.75.11、求方程 ln x x 3 0在(2,3) 内的根

14、(精确到 0.1)【解析 】 令 f(x) ln x x 3，即求函数 f(x) 在 (2,3) 内的零点用二分法逐步计算列表如下：区间中点中点函数值2,32.50.416 32,2.52.250.060 92,2.252.125 0.121 22.125,2.252.187 5 0.029 72.187 5,2.25由于区间 2.187 5,2.25 的长度 2.25 2.187 5 0.062 5<0.1 ，所以其两个端点的近似值2.2就是方程的根下为学生卷用二分法求方程的近似解、二分法的概念对于在区间a, b 上连续不断且f (a) ·f (b) < 0的函数yf

15、( x) ,通过不断把函数f ( x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫二分法。、用二分法求函数f ( x) 的零点的近似值的步骤：（）确定区间 a, b, 验证： f ( a) · f (b) < 0，确定精确度（）求区间 (a , b)的中点 x1（）计算 f ( x )若 f (x) =0, 则就 x1 是函数的零点11若 f (a) · f ( x1 ) <，则令 b = x1 （此时零点 x0 (a,x1) ）若 f ( x1 ) · f (b) <，则令 a = x1 （此时零点 x0

16、 ( x1, b) ）（）判断是否达到精确度即若| a b | <,则得到零点的近似值为a（或 b），否则重复（）（）3、用二分法求函数零点的条件：若函数零点左右两侧函数值符号相反，则此零点为函数的变号零点，从图象来看，若图象穿过零点，则此零点为变号零点。否则为不变号零点。二分法只能求函数的变号零点。例题讲解：例 1、下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（）例 2、 利用二分法求方程1x 的一个近似解（精确到0.1）。3x例 3、 二次函数 yax2bxc(xR ) 的部分对应值如下表：x3 2 101234y60 46 6 406则使函数值大于0 的自变量的

17、取值集合是_。例 4、已知函数 f ( x )x32x 25x6 的一个零点为1（ 1）求函数的其他零点；（ 2）求函数值大于 0 时自变量 x 的取值范围。例 5、求函数 f(x) x2 5 的负零点 (精确度 0.1)达标练习：1下列函数零点不宜用二分法的是()A f(x) x3 8B f(x) lnx 3Cf(x) x2 22x 2D f(x) x2 4x 12用二分法求方程f(x) 0 在 (1,2)内近似解的过程中得f(1)<0 ，f(1.5)>0 ，f(1.25)<0 ，则方程的根在区间 ()A (1.25,1.5)B (1,1.25)C(1.5,2)D不能确定3

18、若函数f(x) x3 x2 2x 2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，参考数据如下：f(1) 2， f(1.5) 0.625，f(1.25) 0.984f(1.375) 0.260， f(1.437 5) 0.16，f(1.406 25) 0.0542，那么方程 x3 x2 2x 2 0 的一个近似根 (精确度 0.1)为 _4、方程1 x ln x 的根的个数是 ()2A 0B1 C2D 35、方程2x1 x 5的解所在的区间是 ()A (0,1)B (1,2)C(2,3)D (3,4)6、利用计算器，算出自变量和函数值的对应值如下表：x0.20.61.01.41.82.22.63.03.4y2x1.1491.5162.02.6393.4824.5956.0638.010.556y x20.040.361.01.963.244.846.769.011.56那么方程2x x2 的一个根所在区间为 ()A (0.6,1.0)B (1.4,1.8)C (1.8,2.2)D (2.6,3.0)x1()7、函数 f(x) e 的零点所在的区间是xA. 0，1B.1， 1C. 1，3D. 3，22222二、填空