一次函数图象的变换

1、.一次函数图象的变换平移求一次函数图像平移后的解析式是一类重要题型，同学们在做时经常做错，下面我介绍一种简便的方法：抓住点的坐标变化解决问题。知识点：“已知一个点的坐标和直线的斜率 k，我们就可以写出这条直线的解析式”。我们知道： y =kx+b 经过点（ 0，b)，而（ 0，b)向上平移 m 个单位得到点（ 0，b+m)，向下平移 m 个单位得到点（ 0，bm)，向左平移 m 个单位得到点 （0 m，b)，向右平移 m 个单位得到点 （0+m，b)，直线 y =kx+b 平移后斜率不变仍然是 k，设出平移后的解析式为 y =kx+h,把平移后得到的点的坐标带入这个解析式求出 h，就可以求出平

2、移后直线的解析式。下面我们通过例题的讲解来反馈知识的应用：例 1：把直线 y=2x-1 向右平移 1 个单位，求平移后直线的解析式。分析 : y=2x-1 经过点（ 0，-1），向右平移 1 个单位得到（ 1，-1）。平移后斜率不变，即 k=2，所以可以设出平移后的解析式为 y =2x+h ，再将点（1，-1）代入求出解析式中的 h，就可以求出平移后直线的解析式。解：设平移后的直线解析式为y=2x+h点（ 0，-1）在 y=2x-1 上，向右平移 1 个单位得到（ 1，-1），将点（ 1，-1）代入 y=2x+h 中得：- 1=2×1+hh=-3所以平移后直线的解析式为y=2x-3例

3、 2：把直线 y=2x-1 向上平移 3 个单位，再向右平移1 个单位，求平移后直线的解析式。分析：点（ 0，-1）在直线 y=2x-1 上，当直线向上平移 3 个单位，点变为（ 0，-1+3），即为（ 0 , 2 ）；再向右平移 1 个单位后，点（ 0，2）变为点（ 0+1，2），即点变为（ 1 , 2 ）。设出平移后的解析式为 y =kx+h ，根据斜率 k=2 不变，以及点（ 1 , 2 ）就可以求出 h,从而就可以求出平移后直线的解析式。解：设平移后的直线解析式为y=2x+h.易知点（ 0，-1）在直线 y=2x-1 上，;.则此点按要求平移后的点为：向右平移 1个单位( 0,-1 )

4、(12, )向上平移 3个单位平移后得到的点（ 1 , 2 ）在直线 y=2x+h 上则： 2=2×1+hh=0所以平移后的直线解析式为y=2x总结：求直线平移后的解析式时，只要找出一个点坐标，求出按要求平移后此点的坐标变为多少，再根据斜率不变和变化后的点来求解析式。练习： 1、点 (0,1)向下平移 2 个单位后的坐标是 _，直线 y 2x 1 向下平移 2 个单位后的解析式是 _.2、直线 y=2x 1 向右平移 2 个单位后的解析式是 _.3、直线 y=8x+13 既可以看作直线y=8x-3 向_平移 (填“上”或“下”)单位长度得到；也可以看作直线y=8x-3_平移 (填“左

5、”或“右 ”)单位长度得到答案： 1、（0，-1）；y=2x-12、 y=2x-33、上16左2;.一次函数图象的变换对称江苏省兴化市竹泓初级中学225716徐荣圣求一次函数图像关于某条直线对称后的解析式是一类重要题型，同学们在做时经常做错，下面我介绍一种简便的方法：抓住对称点的坐标解决问题。知识点：1、与直线 y=kx+b 关于 x 轴对称的直线 l ，每个点与它的对应点都关于 x 轴对称，横坐标不变纵坐标互为相反数。 设 l 上任一点的坐标为（x,y），则（ x, - y）应当在直线 y=kx+b 上，于是有 - y=kx+b, 即 l：y=- kx- b。2、与直线 y=kx+b 关于

6、y 轴对称的直线 l ，每个点与它的对应点都关于 y 轴对称，纵坐标不变横坐标互为相反数。 设 l 上任一点的坐标为（x,y），则（ - x, y）应当在直线 y=kx+b 上，于是有 y=- kx+b,即 l ：y=- kx+b。下面我们通过例题的讲解来反馈知识的应用：例：已知直线 y=2x+6.分别求与直线 y=2x+6 关于 x 轴， y 轴和直线 x=5 对称的直线 l 的解析式。分析：关于 x 轴对称时，横坐标不变纵坐标互为相反数；关于 y 轴对称时，纵坐标不变横坐标互为相反数；关于某条直线（垂直坐标轴）对称时，则相关点解： 1、关于 x 轴对称设点（x , y ）在直线 l 上，则

7、点（x , - y ）在直线 y=2x+6 上。即： - y=2x+6y=- 2x- 6所以关于 x 轴对称的直线l 的解析式为： y=- 2x- 6.关于直线对称。2、关于 y 轴对称设点（ x,y）在直线 l 上，则点（ - x,y）在直线 y=2x+6 上。即： y=2(- x) +6y=- 2x+6所以关于 y 轴对称的直线 l 的解析式为： y=- 2x+6.;.3、关于直线 x=5 对称（作图）由图可知： AB=BC 则 C 点横坐标： - x+5+5=- x+10 所以点 C （- x+10, y）设点（ x,y）在直线 l 上，则点（ - x+10, y）在直线 y=2x+6

8、上。即： y=2（- x+10）+6y=- 2x+26所以关于直线x=5 对称的直线 l 的解析式为： y=- 2x+26.ylCBA(x,y)0xy=2x+6X=5总结：根据对称求直线的解析式关键在找对称的坐标点。关于 x 轴对称，横坐标不变纵坐标互为相反数；关于 y 轴对称，纵坐标不变横坐标互为相反数；关于某条直线（垂直对称轴）对称，可见例题中分析的方法去求对称点。练习：1、和直线 y=5x-3 关于 y 轴对称的直线解析式为，和直线 y=-x-2 关于 x 轴对称的直线解析式为。2、已知直线 y=kx+b 与直线 y= -2x+8 关于 y 轴对称，求 k、b 的值。答案： 1、y=-5

9、x-3;y=x+2分析：设点（x,y ）在直线上，则点（-x,y ）在关于 y 轴对称的直线 y=5x-3 上，所以直线为 y=-5x-3; 设点（ x,y ）在直线上，则点（ x,-y ）在;.关于 x 轴对称的直线 y=-x-2 上，所以直线为y=x+2.2、y=2x+8分析：设点（ x,y ）在直线 y=kx+b 上，而直线 y=kx+b 与直线 y= -2x+8 关于 y 轴对称，则（-x,y ）在直线 y= -2x+8 上，所以有 y=-2(-x)+8, 即： y=2x+8 所以 k=2,b=8;.一次函数图象的变换旋转江苏省兴化市竹泓初级中学225716徐荣圣求一次函数图像平移后的

10、解析式是一类重要题型，同学们在做时经常做错，下面我介绍一种简便的方法：抓住点的坐标绕着某一点旋转一定角度变化解决问题。知识点： 当旋转的角度为 180°时，两条直线关于这点成中心对称。设旋转后直线上任一点（ x , y），则关于旋转点（ m , n）成中心的对称的点为（ 2m-x,2n-y）,此点在旋转前的直线上。若旋转的角度不是 180°，则需根据已知的条件求出两个点的坐标，再用待定系数法求解。例 1、已知直线 y=6x+6，将直线绕着坐标原点 o 旋转 180°，求旋转后的直线的解析式。分析：直线绕着坐标原点 o 旋转 180°，即绕点（ 0,0）旋

11、转 180°。可设点（ x , y）在旋转后的直线上，则点（ -x , -y）在直线 y=6x+6 上，带入就可以求出旋转后的直线解析式。解：设旋转后直线上任一点的坐标为（x , y），由关于原点（ 0 , 0）成中心对称的坐标关系，则（-x , -y）在直线 y=6x+6 上。所以 -y=6(-x)+6,即 y=-6x+6所以旋转后的直线的解析式为y=-6x+6 。例 2、已知直线 y=-x+8 与 x 轴， y 轴分别交于 A,B 两点。点 C 在直线 y=-x+8 上，点 C 的横坐标为 6。将直线绕着 C 点逆时针旋转一个角度后，交 x 轴于点 D，且 CA=CD 。求旋转后

12、的直线的解析式。分析：从图中可知，若知道点C 和点 D 的坐标，再用待定系数法就可以求出旋转后的直线的解析式。解：过点 C 作 CEx 轴于点 E。 显然 ACD 为等腰三角形。把 x=6 代入 y=-x+8 ， 得 y=2，故点 C（6,2），E(6,0)。易知 A（8,0）,由等腰三角形的性质知 D 点坐标为（ 4,0）。旋转后的直线过C、D 两点，利用待定系数法可知y=x-4,;.所以旋转后的直线的解析式为y=x-4。yBCDA0Ex总结：若直线是绕着某一点旋转 180°，则设点（ x , y）在旋转后的直线上，再根据中心对称求中心对称的点的坐标代入旋转前的直线求出直线的解析式；若旋转一点的角度，可根据已知条件求出两个点的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式。练习： 1、点（ 2，-1）关于原点中心对称的点为_。2、点（ -2 , 3）关于点（ 1 , 1）中心对称的点为 _。3、如图，直线y= 3 x+4 分别交 x 轴,y