平顶高斯光束的相关概念和对称化变换

1、第11卷第4期1999年8月强激光与粒子束HIGHPOWERLASERANDPARTICLEBEAMS.11,No.4VolAug.,1999文章编号:10014322(1999)04040005平顶高斯光束的相关概念和对称化变换吕百达,罗时荣,张彬(四川大学激光物理与化学研究所,成都,610064)摘要:对平顶高斯光束有关的一些重要概念,例如场分布和束宽等作了物理分析。进一步将二维平顶高斯光束推广到三维情况,并且对三维平顶高斯光束的对称化变换,包括在x和y方向束宽相等和z平面处曲率半径相等,进行了详细的研究。关键词:平顶高斯光束;束宽;对称化变换中图分类号:TN241文献标识码:A在激光的许

2、多实际应用中,例如激光驱动核聚变、激光材料加工等,常要求空间分布为平顶的激光。在对这类光束的描述中,由Gori1994年提出的平顶高斯光束是一个非常有用的概念1。与超高斯模型2相比较,平顶高斯光束的主要优点是可展开成有限个厄米-高斯模或拉盖尔-高斯模之和的形式,而后者通过一阶ABCD光学系统的传输可写为解析的公式,因此给应用带来许多方便3,4。然而,文献中对平顶高斯光束的场分布使用了不同的表达式,并且,用厄米-高斯(或拉盖尔-高斯)模展开后,涉及不同的束宽定义,在作计算模拟时,必须正确使用这些公式才能避免错误。本文的主要目的是:(1)对平顶高斯光束的场分布、束宽等基本概念进行深入物理分析,指出

3、采用二阶矩定义的束宽在应用中的优点;(2)将二维平顶高斯光束的概念推广到三维,研究了在实际应用中感兴趣的三维平顶高斯光束的对称化变换问题。给出了较为一般的计算公式,并用典型数值计算例对有关物理结果作了说明。1平顶高斯光束的场分布在直角坐标系下,z=0处二维平顶高斯光束的场分布E(x,0)的原始形式为3E(x,0)=exp-w220Nk=0k!w02kN=0,1,2,(1)式中N和w0分别为平顶高斯光束阶数和束腰宽度。文献中亦将平顶高斯光束的场分布E(x,0)表示为1,4Nk(2)Ex,0=exp-N=0,1,2,22k!w0w0k=0(2)式作出平顶高斯光束的场分布示意于图1。由图知,用(2)

4、式表示的优点是束宽随N按(1)、的增加变化不大,亦便于与超高斯光束作比较,因此是常用的表示式,本文也使用(2)式作二维(2)式都退化为高斯光束场分布形式,二曲线完全重平顶高斯光束的场分布。N=0时,(1)、(2)式外,Gori还使用1合。除(1)、E(x,0)=exp-2w02Nk=022k!w0kN=1,2,(3)国家863惯性约束聚变领域资助项目1999年3月18日收到原稿,1999年5月6日收到修改稿。吕百达,男,1943年2月出生,教授,博导© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights rese

5、rved.第4期吕百达等:平顶高斯光束的相关概念和对称化变换401Fig.1TherelativefielddistributionE(x,0) E(0,0)ofaFGBchangeswiththebeamorderN.solidlineinaccordancewithEq.(1);dashline222inaccordancewithEq.(2)Fig.2ThebeamwidthsWxandWyofa3DFGBvspropagationdistancez图2三维平顶高斯光束束宽Wx和Wy随传输距离z的变化图1不同阶平顶高斯光束的相对光场分布来描述平顶高斯光束的场分布,但(3)式中的N0,且高

6、斯光束不能作为特例包含进(3)式,因此应用较少。2平顶高斯光束的束宽概念(2)式中的w0在文献中称为z=0处平顶高斯光束的束腰宽度。令x=w0得=exp-E(0,0)N(N+1)k=0(N+1)kk!N(4)由(4)式知,w0的物理意义是场振幅为中心(0,0)处振幅的exp-(N+1)(N+1)k处k=0k!的横坐标值。值得指出的是,这一定义的缺点是在z为任意值处平顶高斯光束的束宽并不满足(4)式,且w0通过一阶光学系统的传输不满足ABCD定律。将(2)式中的幂级数用公式k2k(5)x=H(2x)3k(k-n)!(2n)!2n2n=0展开后代入得E(x,0)=exp-2w2N(2n)!2n=0

7、k=nN3kHk!(k-n)!2nw0(6)(7)其中w0=N+1是(N+1)个厄米2高斯模中的基模束腰宽度,虽然它通过一阶光学系统的传输满足ABCD定律,但并不能表征平顶高斯光束作为一个整体光束的束宽的变换。25我们认为,对平顶高斯光束用二阶矩x定义的束宽Wx是普适的而且便于实际应用,即(8)Wx=2x式中x= E(x,z) dx22x E(x,z) dx(9)-© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.402强激光与粒子束第11卷用(8)式定义的平顶高斯光束束宽的主要优点是其传

8、输满足ABCD定律,并且表征的是平顶高斯光束作为一个整体光束的传输特征。下面以实际应用中感兴趣的三维平顶高斯光束的对称化变换对(8)式的应用加以说明。3三维平顶高斯光束的对称化变换从(2)式出发,对变量可分离的三维平顶高斯光束z=0处的场分布E(x,y,0)可推广为NMkl2222()xxyyEx,y,0=exp-exp-2222w0xw0xw0yw0yk=0k!l=0l!(10)=E(x,0)E(y,0),N,M=0,1,2,式中2xE(x,0)=exp-2w0x2yE(y,0)=exp-2w0yN,M;w0xNk=0M2x2w0xk!2y2w0yl!k(11)ll=0(12)分别为平顶高斯

9、光束在x、y方向的阶数和束腰宽度。N,M;w0x,w0y可以不相等,因此,三维平顶高斯光束一般是非对称的。对(10)式表征的三维平顶高斯光束的对称化变换是指:在空间某处实现(1)束宽相等,或者(2)曲率半径相等。用二阶矩定义的平顶高斯光束的束宽和等相面曲率半径Rj(j=x,y,下同)通过用ABCD矩阵表征的一阶光学系统的变换公式分别为5,6,w0yW2j=W20jA2j+Z0j(13)(14)22Rj=2AjCj+BjDj Z0j式中Z0j=Mj22(15)为平顶高斯光束的瑞利长度;M2j是平顶高斯光束在x、y方向的光束传输因子;A、B、C、D为光学系统的变换矩阵元;为波长。束宽相等和等相面曲

10、率半径相等的条件可分别写为(16)Wx=Wy(17)Rx=Ry为简单起见,使用一双轴透镜来实现平顶高斯光束的对称化变换,对应的变换矩阵为AjBj1-z fjz(18)Mj=CjDj-1 fj(16)和(14)、(17)式都可得到一个关于其中fj为双轴透镜在x、分别联立(13)、y方向的焦距。位置坐标z的一元二次方程az+bz+c=02(19)f对应于(16)式,(19)式中的系数a、b、c为2a=W0x2+fxZx2x-W20yy2+Z0y2b=2fc=W20x2y-f20y2(20)-W© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co.,

11、Ltd. All rights reserved.第4期吕百达等:平顶高斯光束的相关概念和对称化变换403对应于(17)式,a、b、c为a=b=c=fffyfx2+20yZ20x-fxfxfy2+Z0y22y+-Zf-2-Z0x2(21)xy即a、b、c由光束参数和双轴透镜几何参数确定。(19)式为z的一元二次方程,由代数学知识和物理要求(例如z应为实数)知,因a、双解、无穷多解或无解b、c的取值不同,(19)式可有一解、Fig.3TherelativeintensitydistributionI(x,y,z) I(0,0,z)ofa3DFGBattheplaneofz=476.9mmfort

12、hepropagationthroughabifocallens图3三维平顶高斯光束经一双轴透镜传输后,在z=476.9mm处的相对光强分布Fig.4TherelativeintensitydistributionI(x,y,z) I(0,0,z)ofa3DFGBattheplaneofz=1392.3mmforthepropagationthroughabifocallens图4三维平顶高斯光束经一双轴透镜传输后,在z=1392.3mm处的相对光强分布四种情况。数值算例见图2图4。图2给出了=1.06m、w0x=1mm、w0y=1.5mm、N=12、M=10的三维平顶高斯光束经fx=2m、f

13、y=1m双轴透镜后的束宽随z的变化曲线。由图知,在z=476.9mm、1392.3mm时,束宽相等,分别为Wx=Wy=0.85mm、Wx=Wy=0178mm。值得注意的是,三维平顶高斯光束实现束宽相等的变换是在二阶矩定义下成立的,此时在x、y方向上的光强分布并不一定相同,见图3、4。图5为实现曲率半径相等的变换例,透镜焦距f等,Rx=Ry=2.3km。© 1995-2005 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.x=2m、fy=0.5m,其它参数同图2。图5表明,在z=2.8km时,x和y方向的相面曲

14、率半径相404强激光与粒子束第11卷4结论本文对三维平顶高斯光束对称化变换的分析进一步说明了平顶高斯光束可用解析方法进行研究的优点。但是,对平顶高斯光束相关的场分布、束宽等概念应作正确分析和理解是十分重要的。其中,使用二阶矩定义(包括空间域和空间频率域中)的束宽是普适的。它不仅有明确的物理含义,而且可以方便地用来处理平顶高斯光束的传输变换问题。最后,应当指出的是,平顶高斯光束概念可推广用来研究复杂光学系统中的光传输,包括通过聚变驱动器中一些典型元器件的光传输问题,并给出解析的便于使用的公式,有关结果将另文报道。Fig.5TheradiiofcurvatureRxandRyofa3DFGBasa

15、functionofpropagationdistancez图5三维平顶高斯光束的曲率半径Rx和Ry随传输距离z的变化致谢作者感谢贺贤土院士、范滇元院士和林尊琪教授对工作给予的帮助和支持。参考文献1GoriF.OptCommun,1994,107:3352ParentA,MorinM,LavigneP.Opt&QuantElectron,1992,24:10713AmarandeSA.OptCommun,139:3114BaginiV,BorghiR,GoriF,etal.JOSA,1996,A13:13855SigmanAE.SPIE,1990,1224:26BelangerPA.O

16、ptLett,1991,16:196FLATTENEDGAUSSIANBEAMSANDTHEIRSYMMETRICALTRANSFORMATIONSBai2da,LUOShi2rong,ZHANGBinLUInstituteofLaserPhysics&Chemistry,SichuanUniversity,Chengdu,610064ABSTRACT:SomeimportantconceptsrelatingtotheflattenedGaussianbeams(FGBs),suchasthefielddistributionandbeamwidth,areanalyzedphysically.Thetwo2dimensional(2D)FGBisextendedtothethree2dimensional(3D)case,andthe3Dsymmetrical