参数区间估计ppt课件

1、 参数区间估计参数区间估计 引言引言 前面，我们讨论了参数点估计前面，我们讨论了参数点估计. 它它是用样本算得的一个值去估计未知参数是用样本算得的一个值去估计未知参数. 但是，点估计值仅仅是未知参数的一个但是，点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，使用起来把握不大差范围，使用起来把握不大. 区间估计区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷正好弥补了点估计的这个缺陷 . 譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若我们根据一个实际样本，得到鱼数N的极大似然估计为1000条. 若我们能给出一个区间，在此区间若我们能给出一个区间，在此区间内我们合理地相

2、信内我们合理地相信 N 的真值位于其中的真值位于其中. 这样对鱼数的估计就有把握多了这样对鱼数的估计就有把握多了.实际上，实际上，N的真值可能大于的真值可能大于1000条，条，也可能小于也可能小于1000条条.也就是说，我们希望确定一个区间，使我也就是说，我们希望确定一个区间，使我们能以比较高的可靠程度相信它包含真参们能以比较高的可靠程度相信它包含真参数值数值.湖中鱼数的真值湖中鱼数的真值 这里所说的这里所说的“可靠程度是用概率来度量的，可靠程度是用概率来度量的，称为置信概率，置信度或置信水平称为置信概率，置信度或置信水平. 习惯上把置信水平记作习惯上把置信水平记作 1 ，这里，这里 是一个是

3、一个很小的正数很小的正数.置信水平的大小是根据实际需要选定的置信水平的大小是根据实际需要选定的.例如，通常可取置信水平例如，通常可取置信水平 =0.95或或0.9等等. 1 121P根据一个实际样本，由给定的置信水平，我根据一个实际样本，由给定的置信水平，我,21 小的区间小的区间 ，使，使们求出一个尽可能们求出一个尽可能置信区间置信区间. 称区间称区间 为为 的的,21 1置信水平为置信水平为 的的教材已经给出了概率分布的上侧分位数分教材已经给出了概率分布的上侧分位数分位点的定义，为便于应用，这里我们再简位点的定义，为便于应用，这里我们再简要介绍一下要介绍一下.在求置信区间时，要查表求分位数

4、在求置信区间时，要查表求分位数. 设设0 1, 对随机变量对随机变量X，称满足，称满足 )(xXP的点的点 为为X的概率分布的上的概率分布的上 分位数分位数. x 例如例如:645. 105. 0u96. 1025. 0u 设设0 1, 对随机变量对随机变量X，称满足，称满足 )(xXP 的点的点 为为X的概率分布的上的概率分布的上 分位数分位数. x 标准正态分布的标准正态分布的上上 分位数分位数 u 例如例如:348. 9)3(2025. 0 216. 0)3(2975. 0 设设0 1, 对随机变量对随机变量X，称满足，称满足 )(xXP 的点的点 为为X的概率分布的上的概率分布的上 分

5、位数分位数. x 分布的上分布的上 分位数分位数 )(2n 2 自由度为自由度为n的的 设设0 1, 对随机变量对随机变量X，称满足，称满足 )(xXP 的点的点 为为X的概率分布的上的概率分布的上 分位数分位数. x F分布的上分布的上 分分位数位数 ),(21nnF 自由度为自由度为n1,n2的的 一、一、 置信区间定义：置信区间定义： 121P),(2111nXXX ),(2122nXXX )(21 满足满足设设 是是 一个待估参数，给定一个待估参数，给定, 0 若由样本若由样本X1,X2,Xn确定的两个统计量确定的两个统计量则称区间则称区间 是是 的置信水平置信度、的置信水平置信度、置

6、信概率为置信概率为 的置信区间的置信区间. ,21 121 和分别称为置信下限和置信上限分别称为置信下限和置信上限. 一旦有了样本，就把一旦有了样本，就把 估计在区间估计在区间 ,21 内内.这里有两个要求这里有两个要求:可见，可见，11 对参数对参数 作区间估计，就是要设法找出作区间估计，就是要设法找出两个只依赖于样本的界限两个只依赖于样本的界限(构造统计量构造统计量) 22 )(21 (X1,Xn)(X1,Xn)2. 估计的精度要尽可能的高估计的精度要尽可能的高. 如要求区间如要求区间12 长度长度 尽可能短，或能体现该要求的其尽可能短，或能体现该要求的其它准则它准则.,21 1. 要求要

7、求 以很大的可能被包含在区间以很大的可能被包含在区间 21 P内，就是说，概率内，就是说，概率 要尽可能大要尽可能大.即要求估计尽量可靠即要求估计尽量可靠. 可靠度与精度是一对矛盾，可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证可靠度的条件下一般是在保证可靠度的条件下尽可能提高精度尽可能提高精度.N(0, 1)选选 的点估计为的点估计为X求参数求参数 的置信度为的置信度为 的置信区间的置信区间. 例例1 设设X1,Xn是取自是取自 的样本，的样本， ,2已知 ),(2 N 1nXU 取二、置信区间的求法二、置信区间的求法明确问题明确问题,是求什么参数的置信区间是求什么参数的置信区间?置信水平是多少？置信

8、水平是多少？ 寻找未知参数的寻找未知参数的一个良好估计一个良好估计.解：解： 寻找一个待估参数和寻找一个待估参数和估计量的函数估计量的函数 ，要求，要求其分布为已知其分布为已知.有了分布，就可以求出有了分布，就可以求出U取值于任意区间的概率取值于任意区间的概率.,1 对给定的置信水平对给定的置信水平查正态分布表得查正态分布表得,2 u对于给定的置信水平对于给定的置信水平(大概率大概率), 根据根据U的分布，的分布，确定一个区间确定一个区间, 使得使得U取值于该区间的概率为取值于该区间的概率为置信水平置信水平. 1|2unXP使使为什么为什么这样取？这样取？,1 对给定的置信水平对给定的置信水平

9、查正态分布表得查正态分布表得,2 u 122unXunXP 1|2unXP使使从中解得从中解得,22 unXunX也可简记为也可简记为2 unX 122unXunXP于是所求于是所求 的的 置信区间为置信区间为 从例从例1解题的过程，我们归纳出求置解题的过程，我们归纳出求置信区间的一般步骤如下信区间的一般步骤如下:1. 明确问题明确问题, 是求什么参数的置信区间是求什么参数的置信区间? 置信水平置信水平 是多少是多少? 12. 寻找参数寻找参数 的一个良好的点估计的一个良好的点估计T (X1,X2,Xn) 3. 寻找一个待估参数 和估计量T的函数 S(T, ),且其分布为已知. 4. 对于给定

10、的置信水平对于给定的置信水平 ，根据，根据S(T, )的的分布，确定常数分布，确定常数a, b，使得，使得 1 1 P(a S(T, )b)= 5. 对“aS(T, )b作等价变形,得到如下方式: 121P,21 1 那么那么 就是就是 的的100( )的置信区间的置信区间. 可见，确定区间估计很关键的是要寻找可见，确定区间估计很关键的是要寻找一个待估参数一个待估参数 和估计量和估计量T 的函数的函数S(T, ), 且且S(T, )的分布为已知的分布为已知, 不依赖于任何未知不依赖于任何未知参数参数 (这样我们才能确定一个大概率区间这样我们才能确定一个大概率区间).而这与总体分布有关，所以，总

11、体分布的而这与总体分布有关，所以，总体分布的形式是否已知，是怎样的类型，至关重要形式是否已知，是怎样的类型，至关重要. 这里，我们主要讨论总体分布为正态这里，我们主要讨论总体分布为正态的情形的情形. 若样本容量很大，即使总体分布若样本容量很大，即使总体分布未知，应用中心极限定理，可得总体的近未知，应用中心极限定理，可得总体的近似分布，于是也可以近似求得参数的区间似分布，于是也可以近似求得参数的区间估计估计.教材上讨论了以下几种情形：教材上讨论了以下几种情形：单个正态总体均值单个正态总体均值 和方差和方差 的区间估计的区间估计. 2 两个正态总体均值差两个正态总体均值差 和方差比和方差比 的区间

12、估计的区间估计.21 2221 下面我们举几个例子说明其应用方法下面我们举几个例子说明其应用方法.统计三大分布回顾统计三大分布回顾)(22n记为记为2分布分布1、定义定义: 设设 相互独立相互独立, 都服从正态都服从正态分布分布N(0,1), 则称随机变量：则称随机变量： 所服从的分布为自由度为所服从的分布为自由度为 n 的的 分布分布.nXXX,21222212nXXX22分布是由正态分布派生出来的一种分布分布是由正态分布派生出来的一种分布. .2分布的密度函数为分布的密度函数为000)2(21);(2122xxexnnxfxnn来定义来定义.其中伽玛函数其中伽玛函数 通过积分通过积分0,)

13、(01xdttexxt)(xT的密度函数为：的密度函数为：212)1 ()2(2) 1();(nnxnnnnxf记为记为T Tt(n).t(n). 定义: 设XN(0,1) , Y , 且X与Y相互独立，则称变量nYXT 所服从的分布为自由度为所服从的分布为自由度为 n的的 t 分布分布.)(2n2、t 分布分布3、F分布分布),(),(2212nYnX定义定义: 设设 X与与Y相互相互独立，则称统计量独立，则称统计量服从自由度为服从自由度为n1及及 n2 的的F分布，分布，n1称为称为第一自由度，第一自由度，n2称为第二自由度，记作称为第二自由度，记作 FF(n1,n2) .21nYnXF

14、0001)()()()(),;(222221212112121212121xxxxnnxfnnnnnnnnnnnnn若若XF(n1,n2)， X的概率密度为的概率密度为 定理定理 1 (样本均值的分布样本均值的分布)设设X1,X2,Xn是取自正态总体是取自正态总体),(2 N的样本，则有的样本，则有),(2nNX ) 1 , 0( NnX 定理定理 2 (样本方差的分布样本方差的分布) 1() 1() 1 (222nSn 设设X1,X2,Xn是取自正态总体是取自正态总体),(2 N的样本的样本,2SX和分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差,则有则有.)(相互独立和22SX 定理定理

15、 3 设设X1,X2,Xn是取自正态总体是取自正态总体),(2 N的样本的样本,2SX和分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差,则有则有) 1(ntnSX 定理定理 4 (两总体样本均值差的分两总体样本均值差的分布布) )2(112) 1() 1()(21212122221121nntnnnnSnSnYX ，设),(),(2221 NYNXYX和分别是这两个样本的分别是这两个样本的且且X与与Y独立独立,X1,X2,1nX是取自是取自X的样本的样本,取自取自Y的样本的样本,分别是这两个样本的样本方差分别是这两个样本的样本方差,均值均值,2221SS 和则有则有Y1,Y2,2nY是是样本

16、样本 定理定理 5 (两总体样本方差比的分两总体样本方差比的分布布) ) 1, 1(2122222121nnFSS ，设),(),(222211NYNXYX和分别是这两个样本的分别是这两个样本的且且X与与Y独立独立,X1, X2,1nX是取自是取自X的样本的样本,取自取自Y的样本的样本,分别是这两个样本的样本方差分别是这两个样本的样本方差,均值，均值，2221SS 和则有则有Y1,Y2,2nY是是样本样本例例2 已知某地区新生婴儿的体重已知某地区新生婴儿的体重X),(2 N,2未知 随机抽查随机抽查100100个婴儿个婴儿得得100100个体重数据个体重数据X1,X2,X100 的区间估计的区

17、间估计2 求求和和（置信水平为（置信水平为1- ）. 解：这是单总体均值和方差的估计解：这是单总体均值和方差的估计未知22,),( NX知知 先求均值先求均值 的区间估计的区间估计. ) 1(ntnSXt 因方差未知，取因方差未知，取 对给定的置信度对给定的置信度 ,确定分位数确定分位数 1),1(2nt使使1)1(|2nttP1)1(|2ntnSXP即即)1(),1(22ntnSXntnSX均值均值 的置信水平为的置信水平为 的区间估计的区间估计.即为即为 1从中解得从中解得1)1() 1(22ntnSXntnSXP) 1() 1(222nSn 取取 1)1() 1() 1(2222221n

18、SnnP从中解得从中解得 1) 1() 1() 1() 1(22122222nSnnSnP2 再求方差再求方差 的置信水平为的置信水平为 的区间估计的区间估计. 1 对给定的置信度对给定的置信度 ,确定分位数确定分位数 1, ) 1(22n 使使, ) 1(221n于是于是 即为所求即为所求.) 1() 1(,) 1() 1(2212222nSnnSn 1) 1() 1() 1() 1(22122222nSnnSnP 需要指出的是，给定样本，给定置信水需要指出的是，给定样本，给定置信水平，置信区间也不是唯一的平，置信区间也不是唯一的.对同一个参数，我们可以构造许多置信区间对同一个参数，我们可以

19、构造许多置信区间. .N(0, 1)nXU 取取由标准正态分布表，对任意由标准正态分布表，对任意a a、b b，我们可，我们可以求得以求得P( aUb) .P( aUb) . 例如，设例如，设X1,Xn是取自是取自 的样本，的样本， ,2已知 ),(2 N求参数求参数 的置信水平为的置信水平为 的的 1置信区间置信区间.N(0, 1)nXU 例如，由例如，由P(-1.96U1.96)=0.95)(ufu96. 196. 195. 0我们得到我们得到 均值均值 的置信水平为的置信水平为 1的的置信区间为置信区间为96. 1,96. 1nXnX 由由 P(-1.75U2.33)=0.95这个区间比

20、前面一个要长一些这个区间比前面一个要长一些. .置信区间为置信区间为33. 2,75. 1nXnX 我们得到我们得到 均值均值 的置信水平为的置信水平为 1的的)(ufu33. 275. 1我们总是希望置信区间尽可能短我们总是希望置信区间尽可能短. .类似地，我们可得到若干个不同的置信类似地，我们可得到若干个不同的置信区间区间. . 任意两个数任意两个数a a和和b b，只要它们的纵标包含，只要它们的纵标包含f(u)f(u)下下95%95%的面积，就确定一个的面积，就确定一个95%95%的置信区的置信区间间. .0buuu)(ufaaabb950.950.950.在概率密度为单峰且对称的情形，

21、当在概率密度为单峰且对称的情形，当a =-ba =-b时时求得的置信区间的长度为最短求得的置信区间的长度为最短. .0buuu)(ufaaabb950.950.950.a =-b 即使在概率密度不对称的情形，如即使在概率密度不对称的情形，如 分布，分布，F F分布，习惯上仍取对称的百分位点分布，习惯上仍取对称的百分位点来计算未知参数的置信区间来计算未知参数的置信区间. .2 我们可以得到未知参数的的任何置信水我们可以得到未知参数的的任何置信水平小于平小于1 1的置信区间，并且置信水平越高，的置信区间，并且置信水平越高，相应的置信区间平均长度越长相应的置信区间平均长度越长. .)(22n)(22

22、1n)(xfx)(2nX 也就是说，要想得到的区间估计可靠也就是说，要想得到的区间估计可靠度高，区间长度就长，估计的精度就差度高，区间长度就长，估计的精度就差. .这是一对矛盾这是一对矛盾. . 实用中应在保证足够可靠的前提下，实用中应在保证足够可靠的前提下，尽量使得区间的长度短一些尽量使得区间的长度短一些 .例例3 某单位要估计平均每天职工的总医疗费，某单位要估计平均每天职工的总医疗费，观察了观察了30天天,其总金额的平均值是其总金额的平均值是170元，标准元，标准差为差为30元，试决定职工每天总医疗费用平均值元，试决定职工每天总医疗费用平均值的区间估计置信水平为的区间估计置信水平为0.95

23、）.解：解：设每天职工的总医疗费为设每天职工的总医疗费为X，近似服从正态分布近似服从正态分布X),(2nN 大样本，由中心极限定理，大样本，由中心极限定理，2 E(X)= ,D(X)= 未知，用样本标准差未知，用样本标准差S近似代替近似代替. 取枢轴量取枢轴量nSXU 近似近似N(0,1)分布分布 对给定的置信水平对给定的置信水平 , 确定分位数确定分位数 1,2 u 使使 1|2unSXP,22 unSXunSX得均值得均值 的置信水平为的置信水平为 的区间估计为的区间估计为 1将将 =170,S=30, =1.96,n=30代入得代入得,X的置信水平为的置信水平为0.95的置信区间是的置信区间是 159.27, 180.74 2 u,22 unSXunSX得均值得均值 的置信水平为的置信水平为 的区间估计为的区间估计为 1三、单侧置信区间三、单侧置信区间 上述置信区间中置信限都是双侧的，但上述置信区间中置信限都是双侧的，但对于有些实际问题，人们关心的只是参数在对于有些实际问题，人们关心的只是参数在一个方向的界限一个方向的界限. 例如对于设备、元件的使用寿命来说，平均例如对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿命过长没什么问题，过短就有问题了寿命过长没什么问题，过短就有问