坐标变换的原理和实现方法

1、由第二讲的内容可知，在三相静止坐标系中，异步电动机数学模型是一个多输入、多输出、 非线性、强耦合的控制对象， 为了实现转矩和磁链之间的解耦控制， 以提高调速系统的动静 态性能，必须对异步电动机的数学模型进行坐标变换。3.1 变换矩阵的确定原则坐标变换的数学表达式可以用矩阵方程表示为y=ax （3-1）式（3-1）表示利用矩阵a将一组变量x变换为另一组变量 y,其中系数矩阵a称为变换矩 阵，例如，设x是交流电机三相轴系上的电流，经过矩阵a的变换得到y，可以认为y是另一轴系上的电流。这时，a称为电流变换矩阵， 类似的还有电压变换矩阵、阻抗变换矩阵等，进行坐标变换的原则如下：（1）确定电流变换矩时，

2、应遵守变换前后所产生的旋转磁场等效的原则；（2）为了矩阵运算的简单、方便，要求电流变换矩阵应为正交矩阵；（3）确定电压变换矩阵和阻抗变换矩阵时，应遵守变换前后电机功率不变的原则，即变换前后功率不变。假设电流坐标变换方程为：i=ci ' （3-2）式中,i为新变量,i称为原变量,c为电流变换矩阵。电压坐标变换方程为：u' =bu （3-3）式中,u为新变量,u为原变量,b为电压变换矩阵。根据功率不变原则，可以证明：式中，Ct为矩阵c的转置矩阵。以上表明，当按照功率不变约束条件进行变换时，若已知电流变换矩阵就可以确定电压变换矩阵。3.2定子绕组轴系的变换(a-b-c < =

3、> a-3)简称3/2变换或2/3变所谓相变换就是三相轴系到二相轴系或二相轴系到三相轴系的变换, 换。三相轴系和二相轴系之间的关系如图3-1所示，为了方便起见，令三相的a轴与两相的a轴重合。假设磁势波形是按正弦分布，或只计其基波分量，当二者的旋转磁场完全等效时，a、3轴的投影合成磁势沿相同轴向的分量必定相等，即三相绕组和二相组绕的瞬时磁势沿 应该相等，即:(3-5 )式中，n3、n2分别为三相电机和两相电机每相定子绕组的有效匝数。经计算并整理之后可得:(3-7 )图3-1三相定子绕组和二相定子绕组中磁势的空间矢量位置关系用矩阵表示为:2(3-8 )如果规定三相电流为原电流i,两相电流为新

4、电流i ',根据电流变换的定义式3-2），式（3-8）具有i ' =C的形式，为了通过求逆得到c就要引进另一个独立于is a口 is的新变量，记这个新变量为io，称之为零序电流，并定义为:叫（3-9 ） 式中，k为待定系数。补充io后，式（3-8 ）变为:10迢21212打iK KJC(3-10 )则:12苗2聲-12-tq1 orJ1-（3-11 ）将c-1求逆，得到：1 1102K11C= - 3眄亍旅1一玺1L 22其转置矩阵为:2 _3=丄玄21 一欢根据确定变换矩阵的第三条原则即要求C-仁Ct，可得垒.2 M3聲，代入相应的变换矩阵式中，得到各变换矩阵如下:二相一三相

5、的变换矩阵:1-2 1-2刃輕34S3 s S coioc C(3-14 )三相一二相的变换矩阵:12J3_T_LL2启亍 1对于三相y形不带零线的接线方式有，ia + i b + i c = 0则，i c = ia i b,由式（3-8 ）而二相一三相的变换可以简化为:1一 2751图3-2表示按式（3-16 ）构成的三相一二相（3/2 ）变换器模型结构图。图 3-2 3/2 变换模型结构图3/2 变换、 2/3 变换在系统中的符号表示如图 3-3 所示。图 3-3 3/2 变换和 2/3 变换在系统中的符号表示如前所述， 根据变换前后功率不变的约束原则， 电流变换矩阵也就是电压变换矩阵，

6、还可以 证明，它们也是磁链的变换矩阵。3.3 转子绕组轴系变换()图3-4(a)是一个对称的异步电动机三相转子绕组。图中3 si为转差角频率。在转子对称多相绕相中，通入对称多相交流正弦电流时，生成合成的转子磁势 fr ，由电机学可知，转子磁 势与定子磁势具有相同的转速、转向。图 3-4 转子三相轴系到两相轴系的变换根据旋转磁场等效原则及功率不变约束条件， 同定子绕组一样， 可把转子三相轴系变换到两 相轴系。具体做法是，把等效的两相电机的两相转子绕组d、q 相序和三相电机的三相转子绕组a、b、c相序取为一致，且使 d轴与a轴重合，如图3-4(b)所示。然后，直接使用定 子三相轴系到两相轴系的变换

7、矩阵 (参见式 3-15 )。3.4 旋转变换在两相静止坐标系上的两相交流绕组a和B和在同步旋转坐标系上的两个直流绕组m和t之间的变换属于矢量旋转变换。它是一种静止的直角坐标系与旋转的直角坐标系之间的变 换。这种变换同样遵守确定变换矩阵的三条原则。转子d、q两相旋转轴系，根据确定变换矩阵的三条原则，也可以把它变换到静止的a- 3轴系上，这种变换也属于矢量旋转坐标变换。定子轴系的旋转变换is代替它，这时定在图3-5中，fs是异步电动机定子磁势，为空间矢量。通常以定子电流子电流被定义为空间矢量，记为is。图中m、t是任意同步旋转轴系，旋转角速度为同步角速度3 s<m轴与is之间的夹角用 Bs

8、表示。由于两相绕组 a和B在空间上的位置是固定的， 因而m轴和a轴的夹角甲是随时间变化的，即似二切1 +几，其中卩为任意的初始角。 在矢量控制系统中，通常称为磁场定向角。以m轴为基准，把is分解为与m轴重合和正交的两个分量 ism和ist，分别称为定子电流的励磁分量和转矩分量。由于磁场定向角 P是随时间变化的，因而is在a轴和B轴上的分量is 和 is也是随时间变化的。由图3-5可以看出，is a、和iismB和ist之间存在着下列关系:5;日血化土皿呼.写成矩阵形式为:式中,Eg甲 _引曾为同步旋转坐标系到静止坐标系的变换矩阵。一旨皿申,1 II盹即一(3-18 )变换矩阵c是正交矩阵即ct

9、=c-1,因此，由静止坐标系变换到同步旋转坐标系的矢量旋转变换方程式为简写:式中,为静止坐标系到同步旋转坐标系的变换矩阵。电压和磁链的旋转变换矩阵与电流的旋转变换矩阵相同。图3-6矢量旋转变换器模型结构图由图3-6可知，矢量旋转变换器由四个乘法器和两个加法器及一个反号器组成，在系统中 用符号vr，vr-1表示，如图3-7所示。在德文中，矢量旋转变换器叫做矢量回转器用符号vd表示。图3-7矢量旋转变换器在系统中的符号表示转子轴系的旋转变换转子d-q轴系以国厂5|角速度旋转，根据确定变换矩阵的三条原则，可以把它变换到静 止不动的a- B轴系上，如图3-8所示。图3-8转子两相旋转轴系到静止轴系的变

10、换转子三相旋转绕组(a-b-c )经三相到二相变换得到转子两相旋转绕组(d-q)。假设两相静止绕组a r、B除不旋转之外，与d、q绕组完全相同。根据磁场等效的原则，转子磁势fr沿a轴和B轴给出的分量等式，再除以每相有效匝数，可得：写成矩阵形式3-20 )如果规定ird、irq为原电流， ir a、为新电流，则式中:(3-21 )c-1的逆矩阵为：若存在零序电流，由于零序电流不形成旋转磁场，只需在主对角线上增加数1，使矩阵增加一列一行即可E畠一51X10TC-0.00i需要指出的是，由于转子磁势fr和定子磁势fs同步，可使 a r、供ra s、B同轴。但是,实际上转子绕组与 a、B轴系有相对运动

11、，所以 ar绕组和Br绕组只能看作是伪静止绕组。需要明确的是，在进行这个变换的前后，转子电流的频率是不同的。变换之前，转子电流rd、irq的频率是转差频率，而变换之后，转子电流ir a、啲频率是定子频率。可证明如下:(3-23 )利用三角公式，并考虑到0 r= 3则有:j' -, - siii i =f smP= I sirxu tY十-ifr r*rrT»* l X -Jr Jrflr(3-24 )从转子三相旋转轴系到两相静止轴系也可以直接进行变换。转子三相旋转轴系a-b-c到静止轴系a- B- o的变换矩阵可由式（3-15 ）及式（3-21 ）相乘得到:3馆R 松歼丄我CH&対32JTT+* l 旋(3-25 )求c-1的逆，得到32-n.R4 -c是一个正交矩阵，当电机为三相电机时，可直接使用式（3-25 ）给出的变换矩阵进行转子三相旋转轴系（a-b-c ）到两相静止轴系（a- B）的变换，而不必从（a-b-c ）到（d-q-o ）, 再从（d-q-o ）到（久-俟o）那样分两步进行变换。3.5直角坐标一极坐标变换（k/p ）在矢量控制系统中常用直角坐标一极坐标的变换，直角坐标与极坐标之间的关系是:is之间的夹角。由于Bs取值不同时，血划 的变化范围为0a,这个变化幅度太大，难以实施应用，因6 =昌2 =yr因为：hl此常改用下列方式表示