圆锥曲线的地综合问题详细解析汇报版

1、圆锥曲线的综合问题（一）2. 了解圆锥曲线的简单最新考纲 1掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法;应用；3.理解数形结合的思想.1. 直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线 l的方程Ax + By+ C = 0（A, B不同时 为0）代入圆锥曲线 C的方程F（x, y） = 0,消去y（也可以消去x）得到一个关于变量 x（或变量 y）的一元方程，Ax + By+ C = 0 ,即消去 y，得 ax2 + bx + c= 0.F （x, y ）= 0（1）当a丸 时，设一元二次方程 ax2 + bx + c = 0的判别式为A,则A> 0?直线与圆

2、锥曲线 C 相交；A= 0?直线与圆锥曲线C相切Av 0?直线与圆锥曲线C相离.当a = 0 , b丸 时，即得到一个一次方程， 则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点， 此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合 .2. 圆锥曲线的弦长设斜率为k(k工0)的直线I与圆锥曲线 C相交于A, B两点，A(xi, yi), B(X2, y2),则|AB| 1 + k2|X1 X2|-例题精讲(考点分析)考点一直线与圆锥曲线的位置关系2 2x2 y2【例1】 在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆Ci：二+ ;= 1(a&g

3、t; b > 0)的左焦点为Fi(a2 b21 , 0)，且点 P(0, 1)在 C1 上.(1)求椭圆C1的方程；设直线I同时与椭圆C1和抛物线C2: y2 = 4x相切，求直线I的方程解 椭圆C1的左焦点为F1( 1, 0) ,.c= 1 ,又点P(0 , 1)在曲线C1上，0 1-；+ ；= 1，得 b = 1,贝U a2= b2+ c2 = 2,a2 b2x2所以椭圆C1的方程为2 + y2= 1.(2)由题意可知，直线I的斜率显然存在且不等于0，设直线I的方程为y= kx + m ,x27 + y2=1，由 2消去 y，得(1 + 2k2)x2+ 4kmx + 2m2 2 =

4、0.y = kx + m因为直线l与椭圆Ci相切，所以 Ai = 16k2m2 4(1 + 2k2)(2m2 2) = 0.整理得2k2 m2+ 1 = 0y2=4x,由消去 y,得 k2x2 + (2km 4)x + m2= 0.y = kx + m因为直线l与抛物线C2相切,所以 A = (2km 4)2 4k2m2 = 0,整理得 km = 1.综合,k =k = 一2, 解得2 或2所以直线m =m = 21的方程为y= 2+" 2或y =Tx 2.规律方法研究直线与圆锥曲线的位置关系时,般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，消元后，应注意讨论含x2项的系

5、数是否为零的情况，以及判别式的应用.但对于选择、填空题要充分利用几何条件，用数形结合的方法求解【训练1】在平面直角坐标系xOy中，点M至U点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1) 求轨迹C的方程；(2) 设斜率为k的直线I过定点P( 2 , 1)，若直线I与轨迹C恰好有一个公共点，求实数 k 的取值范围.解(1)设点 M(x, y)，依题意 |MF| = |x|+ 1 ,(x 1) 2+ y2 =|x|+ 1，化简得 y2 = 2(|x| + x),4x (x>0),故轨迹C的方程为y2 =0 (x v 0).在点 M 的轨迹 C 中，记 Ci： y2 = 4x

6、(x >0); C2： y = 0(x v 0).依题意，可设直线l的方程为y 1 = k(x+ 2).y 1 = k (x+ 2), 由方程组y2 = 4x,可得 ky2 4y + 4(2 k + 1) = 0.1当k = 0时，此时y = 1.把y = 1代入轨迹C的方程，得x=-.41故此时直线I: y = 1与轨迹C恰好有一个公共点，14当 k丸 时，方程的 A= 16(2 k2 + k 1) = 16(2 k 1)(k + 1)，设直线I与x轴的交点为(xo, 0)，则2 k+ 1由 y 1 = k(x + 2)，令 y = 0 ,得 xo =.kAv 0,1(i )若由解得k

7、v 1，或k>-.X0 v 0 ,21所以当kv-1或k>2时，直线1与曲线C1没有公共点，与曲线C2有一个公共点，故此时 直线I与轨迹C恰好有一个公共点2 k2 + k 1 = 0 ,A= 0,(ii )若即2k+ 1解集为?.X0 » ,v 0 ,k1综上可知，当kv1或k>或k=0时，直线I与轨迹C恰好有一个公共点考点二弦长问题x2 y2【例2】(2016 四川卷已知椭圆EQ +正=1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线I: y= x+ 3与椭圆E有且只有一个公共点T.(1)求椭圆E的方程及点T的坐标;I交于设0是坐

8、标原点，直线I'平行于0T,与椭圆E交于不同的两点 A, B,且与直线点P证明：存在常数 人使得|PT|2= Z|PA| |PB|,并求泊勺值.(1)解由已知，a= 2b，则椭圆E的方程为箱+音=1.x2y2+ = 1 ,由方程组2b2 b2'得 3x2- 12x+ (18 2b2)= 0y=- x+ 3,方程的判别式为 A= 24( b2-3)，由0，得b2= 3 ,此时方程的解为x = 2 ,x2y2所以椭圆E的方程为+ = 1.点T的坐标为(2 , 1).6 3(2)证明 由已知可设直线I'1的方程为y = fx + m(m工0),1y=-由方程组2+ m,可得y

9、=- x+ 3,2m1 +32m所以p点坐标为238.|PT|2=厂设点A, B的坐标分别为A(xi, yi), B(X2, y2).x2 y26 盲=1，由方程组1y = 2x+ m，可得 3x2 + 4mx + (4m2-12) = 0.方程的判别式为 A= 16(9 2 m2),由A>0，解得一23 .,23 , 2< m<24m由得xh X2 -4m2 12X1X2 =32m2 xi23，同理|PB|#2m2 X232m2m2 xi 2 X23 32m 22 3(Xi + X2)+ X1X252m 22 m2 2 4334m4m2 123310=m2.94故存在常数X

10、=-,使得|PT|2= X|PA| |PB|.5规律方法 有关圆锥曲线弦长问题的求解方法:涉及弦长的问题中，应熟练的利用根与系数关系、设而不求法计算弦长； 往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题， 的定义求解.X2 y2厂1【训练2】 已知椭圆 二+二=1（a> b > 0）经过点（0, "3），离心率为一, a2 b22涉及垂直关系时也可考虑用圆锥曲线左、右焦点分别为F1（ c, 0）, F2（c, 0）.（1）求椭圆的方程；1若直线I： y = x+ m与椭圆交于 A, B两点，与以F1F2为直径的2圆交于C, D两点，且满足担|CD|，求直线

11、l的方程4c 1解(1)由题设知a 2'解得 a = 2, b = 3, c= 1 ,b2= a2 c2,22椭圆的方程为x2 y2十一=1.4 3(2)由(1)知，以F1F2为直径的圆的方程为x2+ y2= 1 ,圆心到直线I的距离 d = 2|m|，由 dv 1，得 |m|<¥(*)|CD| = 2得 x2 mx + m2 3 = 0,设 A(xi, yi), B(X2, y2).由 22x2 y2 + = 1 ,43由根与系数关系可得X1 + X2= m , X1X2 = m2 3.1 2m2 4 (m2 3)2|AB|CD|满足(*).直线l的方程为y =1-

12、31- 3-2x+丁 或y2x - 丁考点三中点弦问题x2 y2【例3】(1)已知椭圆E：+ ；= 1(a > b > 0)的右焦点为F(3 , 0)，过点F的直线交E于A,a2 b2B两点若AB的中点坐标为(1 , - 1)，贝U E的方程为()A.45 + 36=1x2 y2 临+27 =12 2x2y2c.+= 12 2x2 y2D.+= 1189y2已知双曲线x2 - 3 = 1上存在两点M , N关于直线y = x + m对称，且 MN的中点在抛物线y2 = 18x上，则实数 m的值为.解析(1)因为直线AB过点F(3 , 0)和点(1 , - 1),1 x2 y2a23

13、所以直线AB的方程为y = ：(x 3)，代入椭圆方程 -+ 2 = 1消去y，得；+ b2 x2- a2x2 a2 b2429+尹-丹2 = 0,所以AB的中点的横坐标为3-a22a22+ b24即 a2= 2b2,又 a2 = b2+ c2,所以 b = c = 3, a= 3" 2，选 D.设 M (X1, y1),N(X2, y2), MN 的中点 P(xo, yo),x2 -y2=13y!则 x2 3 = 1 ,X1 + X2= 2xo, y1 + y2 = 2y0 ,由一得(X2 X1)(X2+ X1)= _(y2-y1)(y2+ y1),3y2 y1 y2+ y1yo显

14、然 X1 MX2.°.= 3,即 kMN = 3 ,X2 X1 X2 + X1X0M , N 关于直线 y= x + m 对称，二 kMN = 1 ,2718m3m/.yo=- 3xo.又yo= xo + m ,：P -_,449m代入抛物线方程得m2=18, 解得m = 0或8，经检验都符合.答案(1)D(2)0 或8规律方法处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有xi +yi y2X2, yi + y2 ,三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可X1 X2求得斜率.(2)根与系数的关系：即联立

15、直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解.【训练3】 设抛物线过定点 A( 1 , 0)，且以直线x = 1为准线.(1) 求抛物线顶点的轨迹 C的方程；1(2) 若直线I与轨迹C交于不同的两点 M , N ,且线段MN恰被直线x = 平分，设弦MN的垂直平分线的方程为y = kx + m，试求m的取值范围解(1)设抛物线顶点为 P(x, y),则焦点F(2x 1 , y).再根据抛物线的定义得|AF|= 2，即(2x)2 + y2 = 4,所以轨迹C的方程为x2+匚1.4设弦MN的中点为1P , yo , m（xm, yM）, n（xn, yN）,则由点 M

16、, N 为椭圆 C上的4xM + yM = 4 , 可知4xN + yN= 4.两式相减，得4(xm xn)(xm + xn)+ (yM yN)(yM + yN)= 0,将 xm + xn = 2 xyM + yN = 2yo,yM yNxm Xn1yok代入上式得k 一孑i又点P 2，yo在弦MN的垂直平分线上,所以1yo =+ m.所以m =0.1 1由点P 2，yo在线段BB'上B',B为直线x= 2与椭圆的交点，如图所示)，所以yBVyov yB，也即 .；3 v yov :3.3寸33yj3所以-<mv，且m F基础过关1. 过抛物线y2= 2x的焦点作一条直线

17、与抛物线交于A, B两点，它们的横坐标之和等于2 ,B.有且只有两条则这样的直线()A. 有且只有一条C.有且只有三条D.有且只有四条解析通径2p = 2，又|AB| = X1 + X2 + p= 3 >2p，故这样的直线有且只有两条答案 Bbx2 y22. 直线y= ax+3与双曲线a2 -1(a >o，b >o)的交点个数是()A.1B.2C.1 或 2D.0bb解析 因为直线y= x + 3与双曲线的渐近线 y = x平行，所以它与双曲线只有 1个交点.aa答案 Ax23. 经过椭圆+ y2= 1的一个焦点作倾斜角为45。的直线I,交椭圆于A, B两点，设0为坐标原点，

18、贝y OA OB等于（）A. 31B. -31D. ±31C. 一或一33解析 依题意，当直线I经过椭圆的右焦点（1，0）时，其方程为y 0 = tan 45 °x 1)，即 yx2=x -1，代入椭圆方程I+y2=1并整理得3x2 4x= 0，解得4x=0或x = ，所以两个交点坐标分别为（0， 1）,-,.0A 0B =-，同理，直线33I经过椭圆的左焦点时，也可得 OA 0B=-3答案 B4抛物线y = x2到直线x y 2 = 0的最短距离为（）A/ 27 2B.85.2D. 6解析设抛物线上一点的坐标为(x, y),则 d =|xy 丄2 Zx 一24答案 B5.

19、(2017 石家庄调研)椭圆ax2+ by2 = 1与直线y = 1 x交于B两点，过原点与线段 AB中点的直线的斜率为工，则b的值为(2 bB.327解析 设A(xi, yi)，B(X2, y2)，线段AB中点M(xo, yo).由题设koM =:xoax2 + by1 = 1 ,由 22ax2 + by2 = 1 ,(y2 + y1) ( y2 y1) 得(X2 + X1 )( X2 X1 )y2 yi 又=1 ,X2 X1y2 + y12yo 3X2 + X1 2xo2答案 A6.已知椭圆x2 y2C：二 + ； = 1(a> b >o),a2 b2F2 , o)为其右焦点，

20、过F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.则椭圆C的方程为 c= , 2,b2a = 2,一=1,解得ab = 2,解析由题意得x2 y2椭圆C的方程为；+7 =1.a2 = b2+ c2,2 2答案x2y2+ 一= 1427.已知抛物线y = ax2(a > 0)的焦点到准线的距离为2，则直线y= x+ 1截抛物线所得的弦长等于1 1解析由题设知p=2a=2，亠4.i抛物线方程为y =x2，焦点为F(0, 1)，准线为y= 1.412y = x2,联立 4 消去x,y= x+1,整理得y2 6y +1 = 0,."1 + y2= 6直线过焦点F,所得弦 |AB| =|A

21、F|+ |BF|= y1+ 1 + y2 + 1 = 8.答案 8x2y28.过椭圆材+厂1内一点P(3，1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是 解析 设直线与椭圆交于 A(X1, y1), B(X2, y2)两点,由于A, B两点均在椭圆上,x2 y2x2 y故和*厂1，荷厂1， 两式相减得=0.(X1 + X2) ( X1 X2)(y1 + y2) (y1 y2)+164又tP 是 A, B 的中点， X1 + X2= 6, y1 + y2= 2,y1 y23kAB=_ _.X1 X243直线AB的方程为y1=- 4(x - 3).即 3x + 4y 13 = 0.答案 3x + 4y 1

22、3 = 0三、解答题x2 y29设F1, F2分别是椭圆E：二+石=1(a>b>0)的左、右焦点，过 F1且斜率为1的直线Ia2 b2与E相交于A, B两点，且|AF2|, |AB|, |BF2|成等差数列(1)求E的离心率；设点P(0, 1)满足|PA| = |PB|,求E的方程.解 由椭圆定义知|AF2| + |BF2|+ |AB|= 4a,4又 2|AB| = |AF2|+ |BF2|，得 |AB| = -a,3l的方程为y= x+ c,其中c=- .”a2 b2.y = x+ c,设A(xi, yi), B(x2, y2)，贝U A, B两点的坐标满足方程组2 2x2 y2

23、+ = 12 2a2 b2消去y，化简得(a22a2ca2 (c2 b2)+ b2)x2+ 2a2cx + a2(c2 b2)= 0，贝U xi + X2=2, X1X2 =2a2+ b2a2 + b2因为直线 AB的斜率为1，所以 |AB| = ' ：'2|X2 X1|= = 2 ( X1 + X2) 2 4X1X2,4ab2a2 + b2，故 a2 = 2b2,2所以E的离心率c ' ,a2 b2 e= _=a a(2)设AB的中点为N(xo, yo)，由(1)知X1 + X2X0 =2a2ca2 + b22cc,yo= xo+ c =-33yo+ 1由 | PA|

24、 = | PB|，得 kpN = 1，即 =1 , X0得 c= 3，从而 a= 3 ,'2 , b = 3.x2 y2故椭圆E的方程为+一= 1.189x2y210.已知椭圆C： 02+产1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率M , N.直线y = k(x 1)与椭圆C交于不同的两点(1)求椭圆C的方程;(2)当MMN的面积为-,103时，求k的值.解(1)由题意得a= 2,C 二a_ 2 ，a2= b2+ c2.解得b = 2，所以椭圆x2 y2c的方程为；+7 =* 1.由x2 y27 + 7= 1，y = k (x 1),得(1 + 2 k2) x2 4k

25、2x + 2 k2 4 = 0.设点M , N的坐标分别为(X1, y)(X2, y2).则 y1 = k(X1 1), y2= k(X2 1),4k2x1 + x2 = 1 + 2k2,2k2 4x1x2= 1 + 2k2,所以 |MN | = ”，(X2 X1) 2 +( y2 y1)2=(1 + k2 ) ( X1 + X2 ) 2 4X1X2|k|'1 + k22(1 + k2)( 4 + 6k2)夕能力提高x2 y211.已知椭圆一 + 2 = 1(0 v b v 2)的左、右焦点分别为 F1, F2，过4 b2Fi的直线l交椭圆于A,B两点，若|BF2| + |AF2|的最

26、大值为5，则b的值是()A.13C2D. ,；3解析 由椭圆的方程，可知长半轴长为a = 2，由椭圆的定义，可知|AF2|+ |BF2|+ |AB|= 4a所以 |AB| = 8 - (|AF2| + |BF2|)冯.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中,2b2厂通径最短，即=3，可求得b2= 3，即b = .'3av答案 D12.(2016 四川卷设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线 y2= 2px(p>0)上任意一点,M是线段PF上的点,且|PM|= 2|MF|，则直线OM的斜率的最大值是()2B-3D.1解析如图所示，设P(xo, yo)(yo>0)，贝U y2 =

27、2pxo,即x0 =尬2p设 M (x ',y),由 PM = 2MF ,0= 2P2x，0 = 2解之得p + xoyox，丁，且y，=3fy直线OM的斜率k =-=xyo2pyo =空p + y02p y。'2p2又yo +当且仅当yo=“ 2p时取等号yo则k的最大值为答案 C13. 设抛物线y2 = 8x的焦点为F,准线为I, P为抛物线上一点，PA丄I, A为垂足如果直线AF的斜率为一 ©,那么|PF| =解析直线AF的方程为y=“ 3(x 2)，联立y 3x+23，得 y = 4 3，所以 P(6x =-2,4 -，3).由抛物线的性质可知|PF| = 6 + 2 = 8.答案 814. 已知抛物线 C: y2= 2px(p>0)的焦点为F,直线y = 4与y轴的交点为P,与C