位移反分析的进化支持向量机研究

1、第22卷 第10期岩石力学与工程学报 22(10:161816222003年10月 Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering Oct.,20032002年6月14日收到初稿,2002年8月26日收到修改稿。* 中国科学院知识创新重要项目(KJCX2-SW-L1-3、国家自然科学基金(50179034和国家重点基础研究发展规划(973项目(2002CB412708资助。 作者 赵洪波 简介:男,1971年生,现为博士研究生,主要从事智能岩石力学与工程方面的研究工作。位移反分析的进化支持向量机研究*赵洪波 冯夏庭(中国科学院武汉岩土力学研究

2、所岩土力学重点实验室 武汉 430071摘要 将支持向量机与遗传算法相结合,提出了一种用于位移反分析的进化支持向量机方法。这种方法基于试验设计和有限元计算获得学习样本和检验样本,用遗传算法搜索最优的支持向量机参数,用获得的最优模型进行学习,从而获得岩体的力学参数与位移之间的非线性映射关系,再用遗传算法从全局空间上搜索,进行岩体力学参数的识别。给出的两个算例结果是令人满意的。关键词 最优化,支持向量机,位移反分析,遗传算法,有限元分类号 O 224 文献标识码 A 文章编号 1000-6915(200310-1618-05STUDY ON GENETIC-SUPPORT VECTOR MACHI

3、NE INDISPLACEMENT BACK ANALYSISZhao Hongbo ,Feng Xiating( Key Laboratory of Rock and Soil Mechanics ,Institute of Rock and Soil Mechanics ,The Chinese Academy of Sciences , Wuhan 430071 China Abstract An evolutionary support vector machine for displacement back analysis is proposed by combining the

4、support vector machine and genetic algorithm. The learning and testing samples produced in orthogonal and equality experiment are used to train the support vector machine whose parameter is determined in global optimal by genetic algorithm. Thus ,the support vector machine with optimal parameter is

5、used to describe the relationship between the rock mechanics parameters and displacements. Then genetic algorithm is adopted again to search for the optimal rock mechanics parameters in their global ranges. As an example ,a back analysis for elastic and elasto-plastic problem is introduced. The resu

6、lts are satisfactory. Key words optimization ,support vector machine ,displacement back analysis ,genetic algorithm ,finite element1 引 言在岩土工程领域,位移反分析已引起人们的广泛重视。它以工程现场的量测位移反求岩体的力学参数、地应力等,为理论研究和数值模拟在岩土工程中的应用提供符合实际的参数。位移反分析法按照采用的计算方法可分为解析法和数值法。由于解析法只适用于简单几何形状和边界条件问题的反分析,难于为复杂的岩土工程所采用。数值方法既可用于线性与各类非线性问题

7、的反分析,也适用于弹性、弹塑性等问题,具有广泛的应用范围。但是,由于岩土工程的复杂性,它所涉及的工程地质条件和岩体特性参数是不完全定量和高度非线性的,难于用确定的数学模型表达1,2;同时,数值方法具有计算量大、解的稳定性较差等特点,并且不能保证搜索收敛到全局最优解。为此,本文提出了基于遗传算法的支持向量机方法,并通过算例对这种方法进行了探讨。第22卷 第10期 赵洪波等. 位移反分析的进化支持向量机研究 1619·2 支持向量机简介支持向量机(support vector machine35是基于统计学习理论的一种新的通用学习方法,它是建立在一套较好的有限样本下机器学习的理论框架和通

8、用方法之下,既有严格的理论基础,又能较好地解决小样本、非线性、高维数和局部极小点等实际问题,其核心思想就是学习机器要与有限的训练样本相适应。支持向量机中的支持向量是通过解一个凸二次优化问题获得的,它保证找到的解是全局最优解。支持向量机算法主要用于解决模式识别和函数拟合问题,基于支持向量机的模式识别问题在文4中已有详细的论述,下面主要说明基于支持向量机的函数拟合问题。对于支持向量机函数拟合,首先考虑用线性拟合函数b x w x f +=(拟合数据x i ,y i ,=i 1,2,n ,R y R x i n i ,的问题。假设所有训练数据在精度下无误差地用线性函数拟合,即=+ 2 1( k i

9、y b x w b x w y i i i i ,L (1 优化目标是最小化221w 。根据统计学习理论,在这个优化目标下可取得较好的推广能力。考虑到允许误差的情况,引入松弛因子i 和*i 0,则式(1变为2 1( *=+k i y b x w b x w y ii i ii i ,L (2优化目标是最小化=+ki i i C w 1*2(21,其中,常数C >0,C 表示对超出误差 的样本的惩罚程度。采用优化方法可以得到其对偶问题:max : +=(21(*1,*j i j j kj i i i x x W ,=+ki i i ki i ii y 1*1*(3s.t.:0(1*=ki

10、i i0*i i ,C 2 1(k i ,L = 由上面的最小化函数可得到支持向量机拟合函数为b x x b x w x f ki i i i +=+=1*( (5式中:*i i ,只有小部分不为0,它们对应的样本就是支持向量。对于非线性问题,可以通过非线性变换将原问题映射到某个高维特征空间中的线性问题进行求解。在高维特征空间中,线性问题中的内积运算可用核函数来代替,即(j i j i x x x x K =,核函数可以用原空间中的函数来实现,没有必要知道非线性变换的具体形式。目前常用的核函数主要有多项式核函数、径向基函数核函数、Sigmoid 核函数。这样,式(3(5变为如下形式:max :

11、+=(21(*1,*j i j j kj i i i x x K W ,=+ki i i ki iii y 1*1*(6s.t.:0(1*=ki i i0*ii ,C 2 1(k i ,L =b x x K b x w x f ki i i i +=+=1*( (83 进化支持向量机的基本思想遗传算法68是一种全局最优化方法,它模拟了自然界生物进化过程中的“优胜劣汰,适者生存”的法则,将复制、杂交、变异等引入到算法中,通过构造一定规模的初始可行解群体并对其进行遗传操作,直至搜索到最优解。它克服了传统优化方法的缺点,具有隐含并行性,可以较快地搜索到全局最优解。支持向量机是基于统计学习理论的一种小

12、样本的学习方法,它采用结构风险最小化原则,通过对有限样本的学习,就可获得很好的推广能力;同时,通过核函数的思想很好地解决了高维问题;并且支持向量的获得是通过解凸规划问题获得的,保证找到的解是全局最优解。支持向量机参数对支持向量机的推广能力有很大的影响,通常支持向量机参数的选择是人工试算获得的,通过将遗传算法和支持向量机结合,改进了支持向量机的参数选择。 3.1 岩体力学参数与岩体位移的支持向量机表示 (4(7 1620 岩石力学与工程学报 2003年由于岩体是一种复杂的地质介质,岩体力学参数与位移之间的关系具有高度非线性,很难用显式的数学表达式来描述9。支持向量机是一种新的通用机器学习方法,对

13、于处理高维、非线性问题具有很好的适应性。因此,本文拟采用支持向量机来描述岩体力学参数与岩体位移之间的映射关系。即待反演参数与位移之间的非线性关系可以用支持向量机SVM (x 1,x 2,x n 来描述:= (SVM (SVM 21n n x x x X X Y RR X ,:L(9式中:X = (x 1,x 2,x n ,为待反演的岩土力学参数,如:弹性模量E 、泊松比 以及粘聚力c 和内摩擦角 等;Y 为现场量测的某关键点位移值。为了建立这种映射关系,需要有一组样本供支持向量机进行学习,用以学习的样本可以通过数值计算或物理模型试验的方法获得。由于不同的支持向量机参数(主要指核函数和c 值对模

14、型的推广预测能力有直接的影响,因此,支持向量机参数的选择是至关重要的。本文采用遗传算法来搜索最佳的支持向量机参数,具体方法是:首先,随机地产生一规模为N 的初始支持向量机参数,用给定的样本训练每一支持向量机参数对应的模型,用获得的支持向量机模型对给定的检验样本进行预测,以检验样本中的最大预测误差作为适应值;然后,通过遗传操作直至找到满意的支持向量机参数,用获得的参数对应的支持向量机对学习样本进行学习,获得表达岩体力学参数与岩体位移的支持向量机模型,这个模型可以很好地反映岩体力学参数与岩体位移之间的非线性映射关系,用这种关系可以很好地进行岩体力学参数的识别。 3.2 位移反分析的目标函数进化支持

15、向量机位移反分析就是基于上述方法所建立的关系,寻找与位移实测值相比误差最小的位移计算值对应的岩土力学参数,这时的岩土力学参数即为待反演参数。对于实际的工程问题,往往取多个关键点的位移进行反分析10,11,因此,以各个关键点位移预测值与实测位移值的误差平方和最小作为选择待反演参数的依据。即:当反分析得到的参数对应的位移值与实测的位移值最接近时,该参数就是待反演参数。因此,目标函数可以采取以下的形式:=ni i i y X f X F 12( (10式中:X = (x 1,x 2,x n ,为一组待反演参数;f i (X 为在第i 个测点对应的位移计算值;y i 为在第i 个 测点的位移实测值;n

16、 为用于位移反分析的关键点的个数。位移反分析的目标就是求解上述目标函数,寻找一组适当的岩体力学参数X ,使对应的目标函数值最小。3.3 进化支持向量机反分析的主要步骤进化支持向量机的位移反分析就是采用遗传算法来获得支持向量机的最佳参数,用此最佳参数的支持向量机,对构造的样本进行学习建立待反演岩体力学参数与位移之间的非线性关系;然后,采用遗传算法来寻找与实测位移值对应的岩体力学参数。用支持向量机建立起岩体力学参数与位移之间的映射关系后,对于任一给定的岩体力学参数,支持向量机均可求出其相应的位移值,如果某一位移值和实际位移值相比误差最小,则此位移值对应的岩土力学参数即为所求。进化支持向量机位移反分

17、析的具体步骤如下:(1 依据实际问题,确定岩土力学参数的取值 范围,并依据试验设计原理构造计算方案;(2 采用有限元方法对构造的每一方案进行计算,获得每个方案对应的关键点位移,并将每个计算方案与对应的位移计算值构成一个学习样本;(3 用遗传算法搜索最佳的支持向量机参数; (4 用获得的最佳支持向量机参数,对上面的 样本进行学习,建立待反演岩体力学参数与位移之间的非线性映射关系;(5 依据待反演岩体力学参数与位移之间的非线性映射关系,采用遗传算法来寻找待反演参数。由支持向量机反分析的步骤可以看出,该方法既利用了支持向量机处理高维、非线性映射的优良特性,又利用了遗传算法的全局最优特性。而实际的岩土

18、工程问题,大都具有高维、非线性的复杂特点,岩体力学参数与位移之间很难用确定、明显的数学关系式(如本构关系来表达。因此,进化支持向量机的位移反分析具有较高的工程价值和实际意义。4 实例分析4.1 弹性位移反分析对于弹性位移反分析的例子,在无限大岩体中开挖一个圆形隧洞,半径=R 1 m ,泊松比=0.25,初始地应力均匀分布,xz = 0。假设地层弹性模量第22卷 第10期 赵洪波等. 位移反分析的进化支持向量机研究 1621·=E 98 MPa ,初始地应力=z x 0.98 MPa ,然后用有限元计算出的关键点的位移作为实测位移,采用进化支持向量机方法进行反演其初始地应力。 构造样本

19、时,每个参数取5个水平,即:0x ,0z 取-1.0,-1.2,-1.4,-1.6和-1.8 MPa ;xz用正交设计构造的25个样本学习、均匀设计 构造的5个样本作为检验样本和遗传算法获得支持向量机的最佳参数,建立相应的支持向量机模型。用遗传算法搜索到的地应力结果如表1所示。表2和图1给出了采用的理论值与反分析获得的地应力有限元计算的关键点位移的比较。 4.2 弹塑性位移反分析某隧洞为一圆形断面,半径为3.0 m ,均质岩性。设初始地应力为=z x 1.0 MPa 。其杨氏模量=E 2 100 MPa ,泊松比=0.2,粘聚力=c 1.1 MPa ,表1 弹性位移反分析结果与理论值比较Tab

20、le 1 Comparison of elastic displacement back analysisresults and theoretic solutions反分析 参数 理论值 /MPa 反演值 /MPa 绝对误差 /MPa 相对误差 /% x 0 -0.98 -0.974 42 -0.005 58 0.569 08 z 0 -0.98 -0.968 08 -0.011 92 1.216 02xz-0.005 600.005 60表2 各测点位移反分析计算值与理论值比较 Table 2 Comparison of displacements from back analysisan

21、d theoretic solutions测点 方向 理论值有限元计算位移/cm反演值有限元计算位移/cm绝对误差/cm相对误差/%1 -0.446 60 -0.451 82 0.005 22 -1.168 83x -0.412 00 -0.416 04 0.004 04 -0.980 582 z -0.173 60 -0.174 15 0.000 55 -0.316 82x -0.315 60 -0.317 38 0.001 78 -0.564 013 z -0.321 2 -0.320 95 -0.000 25 0.077 83x -0.173 8 -0.174 03 0.000 23 -

22、0.132 344z-0.419 5-0.417 47 -0.002 03 0.483 915 -0.451 5-0.448 67-0.002 830.626 80图1 各测点位移反分析计算值与理论值比较 Fig.1 Comparison of displacements from back analysiscalculation and theoretic solutions内摩擦角=30°。采用与弹性位移反分析同样的 方法,选取关键点,构造学习样本,然后反演参数弹性模量E 、泊松比、粘聚力c 和内摩擦角。反演结果如表3和图2所示。表3 弹塑性位移反分析结果与理论值比较 Table

23、 3 Comparison of elasto-plastic displacement backanalysis results and theoretic solutions方案比较 E / MPa c / MPa /(° 理论值 2 100.00 0.20 1.10 30.00反演值 2 105.80 0.191.0934.51绝对误差 -5.80 0.01 0.01 -4.51相对误差/%-0.287.06 1.07 -15.03图2 各测点位移反分析计算值与理论值比较 Fig.2 Comparison of displacements from back analysisa

24、nd theoretic solutions5 结 论(1 提出了一种新的位移反分析法进化支持向量机方法。它用遗传算法搜索支持向量机参 数,由此可以找到满意的支持向量机模型。然后, 1622 岩石力学与工程学报 2003年用遗传算法在全局空间上搜索待反演的岩体力学参数。这种方法既克服了传统方法易于陷入局部极小值的缺点,又表达了岩体力学参数与位移之间复杂的非线性映射关系。(2 为了建立岩体力学参数与岩体位移之间的映射关系,需要给出一组样本进行学习,本文采用试验设计原理,用正交设计法构造学习样本,用均匀设计法构造检验样本,然后用有限元法计算获得。这种获得样本的方法是科学的,保证了样本具有代表性,可

25、以用较少的样本得出较好的结果。(3 进化支持向量机的位移反分析方法是一种通用的岩土工程反分析方法,只要根据具体问题更换学习样本,即可获得相应的反分析模型,本文的例子表明了这种方法的可行性。对于进化支持向量机反分析在工程中的应用作者将另文论述。参考文献1 冯夏庭.智能岩石力学导论M. 北京:科学出版社,20002 杨林德. 岩土工程问题的反演理论和工程实践M. 北京:科学出版社,1999 3 Alex J Smola,Bernhard Schoelkopf.A tutorial on support vectorregressionR. NeuroCOLT2 Technical Report Series NC2-TR-1998030, 19984 Burge C J C. A tutorial on support vector machines for patternrecognitionJ. Data Mining and Knowledge Discovery,1998,(2: 1211675 John C Platt