第二章 随机变量分布及数字特征

1、 第二章 随机变量及其数字特征 第二章 随机变量及其数字特征一、教学要求1. 理解随机变量的概念，掌握离散型和连续型随机变量的描述方法，理解概率分布列和概率密度函数的概念和性质；2. 理解分布函数的概念和性质，会利用概率分布计算有关事件的概率；3. 会利用分布函数计算离散和连续随机变量函数的数字特征；4. 熟练掌握退化分布、两点分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布和正态分布、指数分布、均匀分布等常用概率分布及其数字特征的计算和相关概率的求解；5. 应用公式会求简单随机变量函数的概率分布及数字特征。二、重点与难点本章的重点是随机变量概率分布及其性质，常见的几种分布，随机变量函数的分布、

2、数学期望和方差的计算；难点是随机变量函数的分布及数学期望的计算。§2.1 随机变量及其分布一、 随机变量1引入随机变量的必要性1）在随机现象中，有很大一部分问题与数值发生关系。如：产品检验问题中，抽样中 出现的废品数；在车间供电问题中某时刻正在工作的车床数；在电讯中，某段时间的话务量等等。2）有些初看起来与数值无关的随机现象，也常常能联系数值来描述。如：掷硬币问题中，记出现正面时为“1”，出现反面时为“0”。注：这些例子中，试验的 结果能用一个数字X来表示，这个数X是随着试验的结果的不同而变化的，也即它是样本点的一个函数，这种量以后称为随机变量。2引例先看一个具体的例子:例1 袋中有

3、3只黑球，2只白球，从中任意取出3只球，观察取出的3只球中的黑球的个数我们将3只黑球分别记作1，2，3号，2只白球分别记作4，5号，则该试验的样本空间为我们记取出的黑球数为 X，则 X 的可能取值为1，2，3因此， X 是一个变量 但是， X 取什么值依赖于试验结果，即 X的取值带有随机性，所以，我们称 X 为随机变量 X 的取值情况可由下表给出：由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应着变量 X 的一个确定的取值，因此变量 X 是样本空间上的函数：我们定义了随机变量后，就可以用随机变量的取值情况来刻划随机事件例如表示取出2个黑球这一事件；表示至少取出2个黑球这一事件，等等3定义 1）描述

4、性定义：定义在样本空间上的实值函数称为随机变量,常用大写X,Y,Z等表示；随机变量的取值用小写字母x,y,z等表示。2）严格定义：设为一概率空间，是定义在上的实值函数，若对任一实数，则称为随机变量。4.随机变量的例子例2 上午 8:009:00 在某路口观察，令： Y：该时间间隔内通过的汽车数 则 Y 就是一个随机变量它的取值为 0，1，表示通过的汽车数小于100辆这一随机事件；表示通过的汽车数大于 50 辆但不超过 100 辆这一随机事件例3 观察某生物的寿命（单位：小时），令： Z：该生物的寿命则 Z 就是一个随机变量它的取值为所有非负实数表示该生物的寿命不超过1500小时这一随机事件二、

5、分布函数及其性质1.分布函数的概念定义 设为一概率空间，X为定义在其上的随机变量,对任意实数x,称 为随机变量X的分布函数,且称X服从,记为X.有时也可用表明是X的分布函数.2.例子例4 向半径为r的圆内随机抛一点,求此点到圆心之距离X的分布函数,并求P(X>).解 事件“”表示所抛之点落在半径为的圆内，故由几何概率知从而3.分布函数的性质 定理：任一分布函数都有如下三条基本性质:（1）单调性: 是定义在整个实数轴上的单调非减函数，即对任意的，有；（2）规范性:=；=。（3）右连续性:是x的右连续函数，即对任意的，有 ，即 。 证明 略。 注（1）上述三条可以作为判断一个函数是否为分布函

6、数的充要条件。 （2）有了分布函数的定义，可以计算：，等。三、离散随机变量及其分布列1离散型随机变量的概念 若某个随机变量的所有可能取值是有限多个或可列无限多个，则称这个随机变量为离散型随机变量。讨论随机变量的目的是要研究其统计规律性，要知道离散型随机变量X的统计规律必须且只须知道X的所有可能取值以及X取每一个可能值的概率。 2分布列 设X是一个离散随机变量，如果X的所有可能取值是，则称X取的概率 为X的概率分布列或简称为分布列，记为。分布列也可用下列形式表示：或3.分布列的基本性质 (1)非负性：(2)正则性：注 1）离散随机变量的分布函数为：。2）设离散型随机变量X的分布函数为 ，为其间断

7、点，k =1, 2, , 则X的分布律为 4.例子例5 设离散随机变量X的分布列为，试求，并写出X的分布函数。解 略。例6从110这10个数字中随机取出5个数字，令：X：取出的5个数字中的最大值试求 X 的分布列解：X 的取值为5，6，7，8，9，10并且具体写出，即可得 X 的分布列：例7设随机变量 X 的分布列为解：由分布列的性质，得，所以四、连续随机变量及其密度函数1.连续型随机变量的概念定义 设随机变量的分布函数为，如果存在实数轴上的一个非负可积函数，使得对任意，有，则称X为连续随机变量，称为X的概率密度函数，简称为密度函数。2.密度函数的基本性质（） 非负性：；（） 正则性：；反过来

8、，若已知一个函数 满足上述性质(1)和(2),则一定是某连续型随机变量X的概率密度函数另外，对连续型随机变量X的分布，还具有如下性质：（1）。 更一般的，对一般的区间，有（2）连续型随机变量X的分布函数 是连续的,但反之不真；（3）连续型随机变量X取任一确定值的概率为0；即对于任意实数 ，； 事实上，.令注：因为连续型随机变量取任一确定值是可能的，所以,概率为零的事件未必是不可能事件；概率为1的事件也不一定是必然事件。(4) 若在处连续，则有3例子例8设，求:(1)常数K；(2)X的分布函数；(3)解 (1)由性质 。解之得。(2)X的分布函数为 （3）。 §2.2 随机变量的数字特

9、征概率分布能完整、全面地刻画随机变量的统计规律，但是：(1)在实际应用中概率分布常常难以精确地求出；(2)在实际问题中,有时关心的问题仅是随机变量的某些统计特征，而不是随机变量全面的变化规律,如测量误差的平均误差,评定射击手的稳定性的离散度等；(3)对很多重要分布，只要知道它的某些数字特征，就可以完全确定其概率分布。数字特征通常是指与随机变量有关的，虽然不能完整地刻划随机变量，但却能较为集中地反映随机变量某些方面的重要特征的一些数值。一、随机变量的数学期望1引例某人参加一个掷骰子游戏，规则如下：掷得点数1点2，3点4，5，6点获得（元）124求：一次游戏平均得多少钱？解：假设做了n次游戏，。每

10、次平均得：当n很大时，2.离散型随机变量的数学期望1）定义 设离散随机变量X的分布列为 如果 ，则称 为随机变量X的数学期望，或称为该分布的数学期望，简称期望或均值。若级数不收敛，则称X的数学期望不存在。注：离散型随机变量的数学期望由分布律唯一决定，其与 X 取值顺序无关。2）例子例9 设服从几何分布，求解：由于故例10 设X取 (k=1,2,)对应的概率为，证明E(X)不存在。证明 且。但级数发散所以E(X)不存在，但级数(交错级数满足Leibniz条件)(收敛) 要注意数学期望的条件：“绝对收敛”。 2 连续型随机变量的数学期望1） 定义 设连续随机变量X的密度函数为p(x),如果 ，则称

11、 为X的数学期望，或称为该分布的数学期望，简称期望或均值。若不收敛，则称X的数学期望不存在。2）例子例11 设随机变量X服从 (-<x<+) 试讨论E(X)。此分布称为Cauchy分布。解即不绝对收敛，因此数学期望E(X)不存在。设X服从区间上的均匀分布，求。例12设随机变量X的密度函数为：求数学期望EX。解：例13 设为仅取非负整数的离散型随机变量，若其数学期望存在，证明： 证明：由于 而例14 设连续型随机变量的分布函数为且数学期望存在，证明证明： 由均值存在得于是有以此代入的计算式即得二、随机变量函数的分布及数学期望1.随机变量函数的分布1）离散型随机变量函数的分布列设X一个

12、随机变量，分布列为 , k1, 2, 则当Yg(X)的所有取值为(j1, 2, )时，随机变量Y有如下分布列：, j1, 2, 其中是所有满足的对应的X的概率的和，即例15 设离散型随机变量X有如下分布列，试求随机变量的分布列。X 1357P0.50.10.150.25解Y的所有可能取值为1，5，17，。故Y的分布列为Y1517P0.10.650.252）连续型随机变量函数的分布(1)一般方法 设连续型随机变量X的概率密度函数为，(-¥<x<+¥), Y=g(X)为随机变量X的函数，则Y的分布函数为。从而Y的概率密度函数为例16 设随机变量求Y=3X+5的概率密

13、度。解 先求Y=3X+5的分布函数。Y的概率密度函数为例17 设XU(-1,1),求的分布函数与概率密度。解当y<0时， ；当y1时；当0y<1时，。(2）公式法一般地, 若是严格单调可导函数，则 其中h(y)为yg(x)的反函数。注：1、只有当g(x)是x的单调可导函数时，才可用以上公式推求Y的密度函数；2、注意定义域的选择。例18 设X U(0,1)，求Y=aX+b的概率密度。(a0)解 Y=ax+b关于x严格单调，反函数为，故 ，而，所以 。补充定理：若g(x)在不相叠的区间上逐段严格单调，其反函数分别为均为连续函数，那么Y=g(X)是连续型随机变量，其概率密度为例19若，计

14、算的密度函数。解：分段单调，在中反函数而在中反函数为故的密度函数为即。 2.随机变量函数的数学期望设已知随机变量X 的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X 的某个函数g(X)的期望. 那么应该如何计算呢？定理 设( g为连续函数 ) 设X为离散型随机变量，其分布律为若级数绝对收敛, 则g(X) 的数学期望为。 设X为连续型随机变量，其概率密度为,若绝对收敛，则g(X) 的数学期望为 注：该公式的重要性在于: 当我们求Eg(X )时,不必知道g ( X )的分布，而只需知道 X 的分布就可以了。这给求随机变量函数的期望带来很大方便。例20 设随机变量，求E(Y).解 ，分布列为 其中p+q=

15、1例21设随机变量X 的概率密度为，求 E ( 1 / X )。解：三、数学期望的性质性质1.若C是常数，则E(C)=C. 性质2.对任意的常数a，E(aX)=aE(X)性质3.对任意的两个函数，有。四、随机变量的方差与标准差1.方差与标准差的定义1）引例 甲乙两部机床生产同一种机轴，轴的直径为10mm，公差为0.2mm，即直径在9.8mm到10.2mm的为合格品，超出范围的均为废品。现从甲乙两机床的产品中各随机地抽取6件进行测试，机轴的直径的测试尺寸如下：(mm)甲9.8 9.9 10.010.010.110.2乙9.0 9.2 9.410.610.811.0易知，甲乙两组产品的直径的均值都

16、为10.0mm，但两组的质量显然差异很大，甲组全为合格品，乙组全为废品。这里光看均值无差别，质量的差异的原因在于两组产品关于均值的离散程度不同。甲组离散程度小，质量较稳定，乙组的离散程度大，质量不稳定。 为衡量一个随机变量X关于均值的离散程度，可用|X-EX|的均值来表示，称为X的绝对离差，记作E|X-EX|，这在实际统计中有一定的作用。但由于绝对值得均值不易计算，常用随机变量与均值差的平方的均值来描述离散程度。2）定义 若随机变量的数学期望存在，则称为随机变量X的方差，记为称方差的正平方根为X的标准差，记为或。注：在实际计算中，通常使用如下公式3）例子例22 已知随机变量X的分布列如下，求D

17、(X)。 解 数学期望E(X)=7/8，。例23 设随机变量，求D(X)。解 ，。2.方差的基本性质性质1 ,其中c为常数;性质2 是常数。性质3（方差最小性）X为随机变量，方差存在，则对任意不等于EX的常数C,都有证明 由数学期望的性质，有由于，所以故五、随机变量的矩和切比雪夫不等式1原点矩与中心矩1）若存在，则称为随机变量X的k阶原点矩，简称k阶矩(k=1,2,)，而称为X的k阶绝对原点矩；2）若存在，则称为随机变量X的k阶中心矩(k=1,2,)，而称为X的k阶绝对中心矩。注：一阶原点矩就是数学期望；X的二阶中心矩就是X的方差。例24解：令，所以，。2.矩不等式 定理1（马尔可夫不等式）设

18、X的k阶矩存在，即则对任意的，有证明：仅对连续型随机变量的情形证之。设X是连续型随机变量，其密度函数为p(x),则定理2（切比雪夫不等式） 设随机变量X的数学期望和方差都存在，则对任意的常数，有 ，或 。证明 令，利用马尔可夫不等式即得。推论 若随机变量X的方差存在，则的充要条件是X几乎处处为某个常数，即。证明 充分性： ，也就是，从而故必要性：由切比雪夫不等式，有故从而§2.3 常用概率分布本节主要内容包括二项分布、泊松分布、超几何分布、几何分布与负二项分布正态分布、均匀分布、指数分布、分布、-分布和对数正态分布。主要介绍二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布。一、离散型

19、随机变量1. 退化分布若随机变量X以概率1取某个常数a，即，则称X服从a处的退化分布。201分布 若随机变量X的分布列为： P(X=k)=， k=0，1，(0<p<1)则称X服从以p为参数的0-1分布(或两点分布) ，记为XB(1,p)。若某个随机试验的结果只有两个，如产品是否合格，试验是否成功，掷硬币是否出现正面等等，它们的样本空间为,我们总能定义一个服从0-1分布的随机变量 即它们都可用0-1分布来描述，只不过对不同的问题参数p的值不同而已。 易知。3超几何分布若随机变量X的概率分布为(k=0, 1, , min(n, M). 则称X服从参数为M,N,n的超几何分布。记作 XH

20、(n,M,N).由知设有N个产品，其中M个不合格品。若从中不放回地随机抽取n个，则其中含有的不合格品数是一个随机变量，由古典概率计算公式有X服从参数为M、N和n的超几何分布。4二项分布i）定义若随机变量X的分布列为 其中p+q=1，则称X服从以n，p为参数的二项分布，记为。可以证明：正好是二项式展开式的一般项，故称二项分布。特别地，当n=1时 (k=0,1)即为0-1分布。 ii）二项分布的概率背景进行n重Bernoulli试验，设在每次试验中令X：在这n次试验中事件A发生的次数则iii）二项分布的分布形态若则由此可知，二项分布的分布先是随着 k 的增大而增大，达到其最大值后再随着k 的增大而

21、减少这个使得达到最大值的称为该二项分布的最可能次数。可以证明：iv) 二项分布是超几何分布的极限分布设随机变量X服从超几何分布H(n,M,N),则当时，X近似的服从二项分布B(n,p),即下面的近似等式成立:（*）其中其中当时，得所以，当N充分大时，近似等式（*）成立。v)例子例25 对同一目标进行300次独立射击，设每次射击时的命中率均为0.44，试求300次射击最可能命中几次？其相应的概率是多少？解：对目标进行300次射击相当于做300重Bernoulli 试验令：X表示300次射击命中目标的次数。则由题意由于它不是整数因此，最可能射击的命中次数为其相应的概率为例26 某厂长有7个顾问，假

22、定每个顾问贡献正确意见的概率为0.6，且设顾问与顾问之间是否贡献正确意见相互独立。现对某事可行与否个别征求各顾问的意见，并按多数顾问的意见作出决策，试求作出正确决策的概率。解 设X=k表示事件“7个顾问中贡献正确意见的人数”，则X可能取值为0，1，2，7。（视作7重贝努里实验中恰有k次发生，k个顾问贡献出正确意见）,XB(7,0.6)。因此X的分布列为，所求概率为VI)二项分布的数学期望与方差其中5泊松分布1）定义 如果随机变量X的分布列为 ，其中参数，则称这个分布为泊松分布，记为。易知：2）泊松分布举例 单位时间内的电话呼叫次数；候车室候车的人数；1平方米上的砂眼数等。3）二项分布的极限分布

23、 泊松(Poisson)定理 设l>0，n是正整数，若，则有 即当随机变量XB(n, p)，(n0,1,2,)， n很大，p很小且np适中时，记l=np，则对称的，若n很大而q=1-p很小且nq适中时，有例27 设每次射击命中目标的概率为0.012，现射击600次，求至少命中3次目标的概率（用Poisson分布近似计算）解：设 B= 600次射击至少命中3次目标 进行600次射击可看作是一600重Bernoulli试验.X：600次射击命中目标的次数则 用Poisson分布近似计算，取则例28 一批二极管的次品率为0.01,问一盒中至少装多少只这样的二极管才能使得至少有100个正品的概率

24、在95%以上?解：设每箱应装件二极管，s是一个小整数，从而由题条件知,据题意应有查表知故s取3符合题意，也就是说每箱应至少装103只二极管才能以95以上的概率正品有100个。4）泊松分布的数学期望与方差其中6. 几何分布1）定义设随机变量X的可能取值是1,2,3,且其中0<p<1是参数，则称随机变量X服从参数p为的几何分布。记作2）几何分布背景随机试验的可能结果只有2种，A与试验进行到A发生为止的概率P(X=k)，即k次试验，前k-1次失败，第k次成功。3）几何分布的期望与方差由例9知，例29 进行独立重复试验，每次成功的概率为p，令X表示直到出现第m次成功为止所进行的试验次数，求X的分布列。解 m=1时,m>1时，X的全部取值为：m,m+1,m+2,二、连续型随机变量1均匀分布）定义 若随机变量的密度函数为 则称服从区间上的均匀分布，记为。均匀分布的分布函数为2）均匀分布的数学期望与方差若，则2指数分布1）定义 若随机变量的密度函数为： 则称服从指数分布，记作。其中，参数。指数分布的分布函数为：生活中，指数分布应用很广像电子元件的使用寿命、电话的通话时间、排队时所需的等待时间都可用指数分布描述因此，指数分布在生存分析、可靠性理论和排队论中有广泛的应用）指数分布的数学期望与方差若，则。这里为失效率，失效率