2020届湖南省邵阳市高三第一次联考数学(理)试题(解析版)

1、2020届邵阳市高三第一次联考试题卷数学（理）本试题卷共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1 .答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置.2 .选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡的非答题卡的非答题区域均无效.3 .非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸及答题卡上的非答题区域均无效.4 .考试结束后，将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

2、合题目要求的.1 .在复平面内，复数zcos3isin3（i是虚数单位）对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】本题考查三角函数的符号，复数的几何意义.复数zcos3isin3在复平面内对应点坐标为（cos3,sin3）;因为一3,所以2cos3（0,sin3>0;则（cos3,sin3）是第二象限点.故选b2 .设a,bR,则'a|a|b|b|"是a3b3”成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断，即可得出答案【详解】充分性证明

3、：当a|a|b|b|若a0,b0,则有a2b2,于是a3b3;若a0,b0,则有a|a|0,b|b|0,可知a|a|b|b|显然成立，于是a3b3;若a0,b0,则a|a|b|b|不成立，不满足条件；若a0,b0,由a|a|b|b|,可得-a2>-b2,即a2b2,所以有0a3b3.a|a|b|b|"是a3b3”的充分条件.必要性证明：当a3b3若ab0,则有|a|b|,于是a|a|b|b|;若a0b,则有a|a|0,b|b|0,于是a|a|b|b|；若0ab,则有a2b2,于是-a2>-b2,因为a|a|a2,b|b|b2,所以有a|a|b|b|成立.a|a|b|b|&

4、quot;是a3b3”的必要条件.综上所述，'a|a|b|b|"是a3b3”的充要条件.故选：C.【点睛】本题主要考查了充分条件与必要条件判定，其中熟记充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了理解能力与运算能力，属于基础题.4,2 ,则该四边形的面积为（）uuruur3 .在四边形ABCD中，AC1,2,BD【考点定位】本题的处理方法主要是向量的平移，所以向量只要能合理的转化还是属于容易题x04 .若x,y满足约束条件x+y-30,则zx2y的取值范围是D. 4, + )x-2y0A.0,6B.0,4C.6,+)【答案】D【解析】解：x、y满足约束条件(,表示的可

5、行域如图：目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，|fis+y-3=0-由"解得C(2,1),x-2y=0目标函数的最小值为：4目标函数的范围是4,+°°).5 .一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.34B.3C.2D.【解析】【分析】根据三视图画出其立体图形，即可求得该几何体的体积【详解】根据三视图画出其立体图形：由三视图可知，其底面面积为：万，其柱体的高为：2根据柱体的体积公式求得其体积为：故选:D.【点睛】本题考查了根据三视图求几何体体积，解题关键是根据三视图画出其立体图形，考查了空间想象能力和计算能力，属于基础题.6 .函数f(x

6、)1log2x与g(x)2x1在同一直角坐标系下的图象大致是()1【详解】根据函数f(x)1log2x过一,0排除A;2根据g(x)2x1过0,2排除B、D,故选C.1057 .已知奇函数f(x)在R上是增函数，右afln,bf(In2018),cfe，则a,b,c的大2019小关系为()A.abcB.bacC.cbad.cab【答案】c【解析】【分析】已知奇函数f(x)在R上是增函数，化简a,b,c即可求得答案.【详解】Q根据奇函数性质：f(x)f(x),1,1,化简aflnflnfln2019,20192019ln2019ln2018e0.5Q根据f(x)在R上是增函数05fln2019f

7、(ln2018)fe一1即flnf(ln2018)fe2019故：cba故选:C.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，要熟练掌握奇函数的性质f(x)f(x),属于综合题.8 .设m为正整数，(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b,若13a=7b,则m=()A.5B.6C.7D.8【答案】B【解析】2m!2m1!mmmm111,1,试题分析：由题意可知C2ma,C2m1b,Q13a7b,13C2m7c2m1,即137,m!m!m!m1!1372m,解得m6.故B正确.m1考点：1二项式系数；2组合数的运算.【此处有视频，请去附件

8、查看】2229.已知点P是直线l:4x3y70上动点，过点P引圆C:x(y1)r(r0)两条切线PM,PN,M,N为切点，当MPN的最大值为一时，则r的值为()2A.2B.,3C.22D.1【答案】A【解析】【分析】因为点P在直线l：4x3y70上，连接PC,当PCl时，MPN最大，再利用点到直线的距离公式可得答案.【详解】Q点p在直线l:4x3y70上，连接PC当PCl时，MPN最大，由题意知此时MPN最大值为万时，CPM一,|PC|、2r4Q圆C:x2(y1)2r2(r0),可得其圆心为：0,1根据点到直线距离公式可得圆心0,1至M距离为：1052r2,故r2.故选:A.【点睛】本题考查求

9、圆的半径，解题关键是结合题意用数形结合，用几何知识来求解，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.10.英国统计学家E.H.辛普森1951年提出了著名的辛普森悖论，下面这个案例可以让我们感受到这个悖论.记录这些被上有甲乙两名法官，他们都在民事庭和行政庭主持审理案件，他们审理的部分案件被提出上诉述案件的终审结果如下表所示(单位：件)：法官甲终审结果民事庭行政庭合计维持29i00i29推翻3i82i合计32ii8i50法官乙终审结果民事庭行政庭合计维持9020ii0推翻i05i5合计i0025i25记甲法官在民事庭、行政庭以及所有审理的案件被维持原判的比率分别为Xi,X2和x,记乙法官在民事庭、行政

10、庭以及所有审理的案件被维持原判的比率分别为y1, y2和y,则下面说法正确的是（）A. Xiyi , X2y2, x yB. Xiyi, X2y2, x yC. Xi yi , X2 y2, X y【答案】D【解析】【分析】D. x yi, X2y2 , X y分别求出法官甲、乙民事庭维持原判的案件率为Xi, yi,行政庭维持原判的案件率X2, y2,总体上维持原判的案件率为x, y的值，即可得到答案.【详解】由题意，可得法官甲民事庭维持原判的案件率为29八Xi 0.906 ,行政庭维持原判的案件率32i00X2ii80.847，总体上维持原判的案件率为i29i500.86；9020法官乙民事

11、庭维持原判的案件率为y10.9,行政庭维持原判的案件率为y20.8,总体上维10025110持原判的案件率为y1100.88.125所以X1y1,X2y2,【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率公式的应用，其中解答中认真审题，根据表中的数据，利用古典概型及其概率的公式分别求解相应的概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.11.已知双曲线2E ：: 2a2 y b221 a 0,b 0的右顶点为 A,抛物线C: y8ax的焦点为F .若在E的渐近线上存在点uurAPFur ,则E的离心率的取值范围是（）A. (1,2)B.d 3-21,43；2C. D. (2,+?)由

12、题意得，A(a,0), F(2a,0),一 b设 P(X0,-X0),由auurAPuuuFP，uur uur 得 AP PF2c 2X0a3 aX02a2因为在E的渐近线上存在点P0,即9a22_ 2 C_2_24 2a -2 09a8ca324,又因为E为双曲线，则324选B.【点睛】本题主要考查了双曲线的基本性质的应用,抛物线基本性质的应用，向量数量积坐标运算以及一元二次方程根的判别式的运用，属于中档题，首先可画一张草图，分析其中的几何关系，然后将uuuAPuuuFP系用代数形式表示出来，即可得到一个二次方程，若要使得二次方程有实数解,0 ,水到渠成,即可得到答案，因此将几何关系转化成方

13、程是解题的关键12.在正四棱锥PABCD中，已知异面直线PB与AD所成的角为60°,给出下面三个命题:R ：若AB 2 ,则此四棱锥的侧面积为44>/3 ；p2：若E, F分别为PC,AD的中点，则EF /平面 PAB;P3 ：若P, A, B,C,D都在球O的表面上,则球 。的表面积是四边形 ABCD面积的2 倍.在下列命题中，为真命题的是 （）A. P2P3B. Pi( P2)C. PiP3D. P2( P3)【解析】因为异面直线 PB与AD所成的角为60 , AD平行于BC,故角PBC=60，正四棱锥 P-ABCD 中，PB=PC,故三角形PBC是等边三角形；当 AB=2

14、 ,此四棱锥的侧面积为4J3,故Pi是假命题;取BC的中点G, E,F分别为PC, AD的中点故得AB/FG,PB/EG ,故平面EFG/平面PAB,从而得到EF/平面PAB,故P2是真命题;设AB=a, AC和BD的交点为 O,则PO垂直于地面 ABCD , PA = a , AO =回2PO=2。为球心，球的半径为.2a c c .,表面积为2 Tia2，又正万形的面积为 a2,故P3为真.故P2P3为真；PiP2PiP3 P2P3均为假.故答案为A.、填空题：本大题有4个小题,每题5分，满分20分13.已知为三角形内角,sincos空，则cos2 2因为sincos今故sin2cos2

15、2.，可得 2sin cos20，而 sin 0,cos 0 ,即可求得sin +cos，根据余弦二倍角公式即可求得答案Qsincos222、22可得sincos2故：2sincos而sin0,cos0,sin cos1 2sin cos.62贝U cos2(cossin )(sin cos )故答案为：_2.2,考查了计算能力，属于基础题.【点睛】本题考查了三角函数化简求值，掌握余弦二倍角公式是解题关键x22x,0x214.已知函数f(x)，若存在四个不同的实数|Xi,X2,X3,X4满足sinx,2x42fx1fx2fx3fx4，且xi<x2<x3<x4,则xix2x3x

16、4.【答案】8【解析】【分析】2x2x,0x2因为函数f(x)，画出其函数图像，当存在四个不同的实数x1,x2,x3,x4满足sinx,2x42fxifx2f&fx4，且xi<x2<x3<x4结合图像求解xix2x3x4的值.2x2x,0x2【详解】Q函数f(x)sinx,2x42画出函数图像可2Q,X2,在二次函数yx2x,其对称轴为：X1XiX2212,QX3,X4在ysinx,在2x4,其对称轴为：x3x3x4236,x1x2x3x4268故答案为：8.【点睛】本题考查了根据分段函数图像应用，解题关键是画出函数图像，数学Z合，考查了分析能力和计算能力属于中档题.

17、15.为了解某地区的微信健步走”活动情况，现用分层抽样的方法从中抽取老、中、青三个年龄段人员进行问卷调查.已知抽取的样本同时满足以下三个条件：(i)老年人的人数多于中年人的人数；(ii)中年人的人数多于青年人的人数；(iii)青年人的人数的两倍多于老年人的人数.若青年人的人数为4,则中年人的人数的最大值为抽取的总人数的最小值为.【答案】(1).6(2).12【解析】x，即可求得中年人的人数的最大值.由【分析】8设老年人、中年人、青年人人数分别为x,y,z,z4,则xyz,x,y,z N，即可求得抽取的总人数的最小值题意可得yz,得2zxy2zx【详解】设老年人、中年人、青年人的人数分别为x,y

18、,z-8x八z4,则，则y的最大值为6xyxy由题意可得yz,得2zxyz,x,y,zN2zx2zz2解得z2当z3,y4,x5时xyz取最小值12.故答案为：6.12.【点睛】本题考查线性规划问题，关键是根据所给的约束条件确定可行域和目标函数.在平面区域中，求线性目标函数的最优解，从而确定目标函数在何处取得最优解.16.太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美,定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个太极函数”，则下列有关说法中:对于圆O:x2y21的所有非常数函数的太极函数中，都不能为偶函数;2_2 _一，一y 1

19、 RR0的太极函函数fxsinx1是圆O：x2y121的一个太极函数;直线m1x2m1y10所对应的函数一定是圆O：x2若函数fxkx3kxkR是圆O:x2y21的太极函数，则k2,2.所有正确的是【答案】(2)(3)(4)【解析】【分析】利用新定义逐个判断函数是否满足新定义即可【详解】显然错误，如图2.2点01均为两曲线的对称中心，且fxsinx1能把圆xy11一分为二，故正确直线m1x2m1y10恒过定点21,经过圆的圆心，满足题意，故正确3函数fxkxkxkR为奇函数，ykx3kx22Jxy1则k2x62k2x41k2x210令tx2,得k2t32k2t21k2t10一2222即t1kt

20、kt10t1即x1对k2t2k2t21,当k0时显然无解，n0即0k24时也无解即k2,2时两曲线仅有两个交点，函数能把圆一分为二，且周长和面积均等分若k2时，函数图象与圆有四个交点，若k24时，函数图象与圆有六个交点，均不能把圆一分为二综上所述，故正确的是【点睛】本题主要考查了关于圆的新定义，首先是要理解新定义的内容，其次是根据新定义内容结合已经学过的知识来判定正确还是错误，在解答过程中只要能举出一个反例即可判定结果三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.在VABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，且asinAcsinCV3asinCbsin

21、B.(1)求角B的大小；.3A(2)右f(x)sinxcosxJ3cosx，求f(1)的取值氾围.221【答案】(1)；(2)(-,1.62【解析】【分析】abc(1)因为asinAcsinCJ3asinCbsinB，根据正弦定理：,可得sinAsinBsinCa2c2相acb2,即可求得角B大小；(2)f(x)sinxcosxV3cos2x遮,化简可得f(x)sin2x，所以f仝sinA二，即可2323求得f(A)的取值范围1.八sin2x2.3。cos2x2sin2x一3A.一sinA20,5,A73,-6sinA一3：f(A)取值范围为【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，解题

22、关键是利用正弦定理sinAsinB再利用和角正弦公式化简所给式子，属于基础题.218.已知正项数列an中，ai1,an2an1an3a20.(1)求数列an的通项公式；2n1,可得Qan0,an1an0,an13an0可得：an23anQai1an13n13n1(2)令Cnbnan,则Ci4a11,C3b3a35,dC3Ci231Cn(n1)22n1,bncnan2n13n1Snb1b2b3Lbn(135L2n1)n)231n22【点睛】本题考查根据递推公式求通项公式和数列求和.解题关键是掌握分组求和,考查了分析能力和计算能力，属于基础题型.19.已知菱形ABCD的边长为4, ACI BD O

23、,ABC 60，将菱形ABCD沿对角线BD折起，使AC a,得到三棱锥A(1)当a 2后时，求证：AO 平面BCD;(2)当二面角A BDC的大小为120时，求直线AD与平面ABC所成的正切值.【答案】(1)见解析;(1)根据线面垂直定义,即可求得答案.(2)由于平面ABC不是特殊的平面，故建系用法向量求解，以。为原点建系，OC,OD所在的直线分别为xr，、一uur一r,轴，y轴，求出平面ABC的法向量n,求解AD和n的夹角，即可求得答案.【详解】(1)在4AOC中，OAOC2,ACa242,OA2OC2AC2AOC90，即AOOC，QAOBD,且AOIBDO,AO平面BCD.（2）由（I）知

24、，OCOD,以O为原点，OC,OD所在的直线分别为x轴，y轴建立如图的空间直角坐标系O xyz：则 Q(0,0,0), B(0, 2.3,0), C(2,0,0),D(02,3,0)Q AO BD,CO BDAOC为二面角A BD C的平面角AOC 120点人(1,0, .3)uuurAD(1,2.3, .3), BA_ _ uuur1,2,3, 3) , BC(2, 2,3,0)r设平面ABC的法向量为n （x, y, z）,则r uuv n BC r uuv n BA2x 23y 0x 2、3y 、3z 0取x 1,则y设直线AD与平面ABC所成的角为sin-3-.30tan，cos.10

25、10直线AD与平面ABC所成的正切值：鲁.【点睛】本题考查了线面角求法，根据题意画出几何图形，掌握其结构特征是解本题的关键.对于立体几何中角的计算问题，可以利用空间向量法，利用向量的夹角公式求解，属于基础题.20.半圆O:x2y21(y0)的直径的两端点为A(1,0),B(1,0)，点p在半圆O及直径AB上运动，若将点P的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到点Q,记点Q的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)若称封闭曲线上任意两点距离的最大值为该曲线的直径”，求曲线C的直径”.【答案】(1)答案见解析(2)迪.3【解析】【分析】(1)设Q(x,y),则Px,y，由题意可知当P在直径AB

26、上时，显然y0(1x1);当P在半圆。上22时，x2y1(y0),即可求得答案；(2)设曲线C上两动点G(x,y),Hx0,y0，显然G,H至少有一点在椭圆上时GH才能取得最大，不妨设C222yy。0,|GH|xXoyy0，根据不等式性质，即可求得曲线C的直径”.【详解】(1)设Q(x,y),则PX,-,2由题意可知当P在直径AB上时，显然y0(1x1)；当P在半圆O上时，x221(v 0)，曲线C的方程为y0( 1 x1)或 x22y- 1(y40).(2)设曲线C上两动点G(x,y),Hx0,y0 ,显然G , H至少有一点在椭圆上时GH才能取得最大，不妨设yy。0,则 |GH |2X02

27、V。x0Q x x03x22%x4x24x21632|GH |2163等号成立时,H(1,0)或 G4/2311 , H(1,0), 3由两点距离公式可得:|GH |max433故曲线C的直径”为述.3【点睛】本题考查了求解曲线轨迹方程和曲线直径”.在求曲线上两点间距离最大时，将两点设出，用两点间距离列出表达式，通过不等式放缩求其最值,考查了分析能力和计算能力21.某地政府为了帮助当地农民脱贫致富，开发了一种新型水果类食品，该食品生产成本为每件8元.当天生产当天销售时，销售价为每件12元，当天未卖出的则只能卖给水果罐头厂，每件只能卖5元每天的销售量与当天的气温有关，根据市场调查，若气温不低于3

28、0C,则销售5000件；若气温位于25C,30C)，则销售3500件;若气温低于25C,则销售2000件.为制定今年8月份的生产计划，统计了前三年8月份的气温范围数据，得到卜面的频数分布表气温范围15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)(单位：C)天数414362115以气温范围位于各区间的频率代替气温范围位于该区间的概率(1)求今年8月份这种食品一天销售量(单位：件)的分布列和数学期望值；(2)设8月份一天销售这种食品的利润为y(单位：元)，当8月份这种食品一天生产量n(单位:件)为多少时，y的数学期望值最大，最大值为多少？【答案】(1)见解析，3800；(2)当n350

29、0时，Y的数学期望达到最大值，最大值为11900.【解析】【分析】(1)今年8月份这种食品一天的销量X的可能取值为2000、3500、5000件，求出P(X2000),P(X3500)和P(X5000)，即可求得随机变量X的分布列和数学期望.(2)由题意知，这种食品一天的需求量至多为5000件，至少为2000件，所以只需要考虑2000n5000分别讨论，3500n5000和2000n3500，即可求得y的数学期望最大值【详解】(1)今年8月份这种食品一天的销量X的可能取值为2000、3500、5000件,414P(X2000)0.29036P(X3500)0.4902115P(X5000)0.

30、490于是X的分布列为X200035005000P0.20.40.4X的数学期望为EX20000.235000.450000.43800.(2)由题意知，这种食品一天的需求量至多为5000件，至少为2000件,只需要考虑2000n5000,当3500n5000日t24500 3n；5若气温不低于30度，则Y4n；14000 3n；若气温位于25,30)，贝UY35004(n3500)3若气温低于25度，则Y20004(n2000)3此时E Y22-4n - (24500 3n)5511-(14000 3n) 12600 -n5511900,当2000n3500114000 3n；若气温不低于25度