杆梁系统非线性弹性定律的研究

1、 杆梁系统非线性弹性定律的研究李裕信湖南省长沙市邮政局,湖南长沙(410001E-mail :摘 要:本文基于 Hencky 指数形式弹性定律、应力应变的因果迭代关系以及拉压的泊松 效应等三方面的规律,综合得出一个非线性弹性定律,它能很好地描述弹性杆梁的应力应 变的变化规律,明确提出它所受到的两个自然限制;讨论了材料弹性的非线性特性。文章 还以直梁的简单弯曲为例对定律的运用作了具体的说明。关键词:非线性弹性定律,应力与应变,泊松效应,因果迭代,简单弯曲 中图分类号:O3 文献标识码:A引言:已经有了许多不同形式的非线性弹性定律,它们都能在一定范围内正确地描述弹性体 的应力应变关系。但大多没有考

2、虑应力应变因果相互迭代规律,计算结果也比较复杂。本 文着眼于简单、完整、实用,从 Hencky 指数形式弹性定律、纵向横向变形关系的 Poisson 定律以及因果迭代原理出发,提出用一对非线性的相互迭代的方程组作为材料力学中的弹 性定律。还根据新的定律探讨了杆梁弹性体新的特性,指出新定律在工程计算中的运用方 法。1. Hencky弹性定律是弹性体应变随应力变化的规律:常用的弹性定律是以线性的 Hooke 定律为基础的。 但是 Hooke 定律只适用于小变形的 弹性过程,大变形的弹性力学过程却明显地偏离 Hooke 定律所描述的特征:弹性杆件简单 拉压的应力 应变图不是一条直线;在拉伸过程中,应

3、力与应变同步增加到一定程度后, 应力 变得比较稳定;而压缩过程的应变 (相对变形不可能达到 -1。能够描述这种特 性的最常用的方法是采用 Hencky 指数形式(或称对数形式的弹性定律,即认为:21式。式(弹性定律应写成指数形 。从这种意义上说, ,才产生一定的应变 的应力 变形是“果”。有一定 生,力是“因”, 力和应变都是由内力产 。需要明确的是,应 见图 形 对变 的规律产生相应的相 一定时,就会按(式表示当 从因果关系考虑, 或写为: (; ,而 真 真 2Hencky 1. 1.(2 2( 2.(. . . . . . . . 1e . . . 1. . . 1(E.ln . . 1

4、(ln lll ln l dl E E ll l=+=+=+=+2. Poisson效应的实质是确定了应力随应变变化的规律: 也的变化会引起横向尺寸 在拉压时,杆长 效应的实验定律,直杆 根据 为内力; ; ,横截面为 如图 面直杆,变化。例如,对于圆截 内力一定时,必然引起 积发生相应的变化,当 面 的变化会使杆件的横截 变化。事实上, 的变化又会引起 变化,反过来, 的 的变化会引起 是相互的。 :应力应变的因果关系 一个十分重要的事实是 r l Poisson dFFP d P F Prdr . 2dF , r . F 2. 22=。比”,实验已测得 即为“ 。 发生变化而且. 5. 0

5、. . 0Poisson . . l dl rdr. 34=µµµ是“果”。是“因”而 变化的规律。在这里, 随 这就是 即 即 ; ,即:即 故 µµµµµµ. . 3.(. . . . . . . . . 1(l l l l l . l lln . 2ln . l dl2d ., l dl 2r dr 2r . rdr . 2F dF F P -dF F P d 2020002000022+=+=下面的图一描绘了 随 的变化规律; 图 2.1则用于解释 Poisson 系数的意义。 确定了 Poiss

6、on 系数的具体数值后,就能绘出 随 变化的图线。 43 3. 完整的弹性定律是一对相互迭代的非线性方程组:本文认为非线性(2 (3两式的方程组,是适用于杆梁系统的完整的弹性定律。它们是 +=µ20E 1(1e这两个方程的迭代过程就是真实的弹性过程:当杆件受外力作用时产生内力 P ,产生初始1e,. e FP 1(. . 3. . . 1e 2. FPE11EFP . 2200100EFP 0001=+=µµ的出现,再引起产生 变为 由 式使 又据(的产生 而 , 式产生 的产生,根据(由于 应力 如此反复迭代下去,直到(2 (3的公共解值为止。这就是实际的弹性过

7、程。当取 Poisson 系数 µ=0.25时,迭代方程组变为:. 4.(. . . . . . 1(1e 020E +=+=µ 下面图 3.1就是方程组(4的迭代过程示意图线。此图的 的正半平面上的图线表示 拉伸过程,而 的负半平面上的图线表示压缩过程。两个方程的曲线交点,即过程的稳定 点。稳态时的 与 记为 . c c 和 , 它们满足. c 0+=E.ln(1+c ,而且cc 0c 0c +E.ln(1. . . +E.ln(1. +=+=而 。 值得注意,弹性定律必须能反映弹性过程所受到的两个自然限制条件:一个是 不能 小于 -1;另一个是 与 的正负符号必须相同。

8、即 与 的迭代弹性过程只存在 -平面 的的一、三象限中,一象限中的曲线描述拉伸过程;三象限中的曲线描述压缩过程。方程 组 (4 的第一个方程已经反映了 不能小于 -1这个限制条件, 它也能满足 与 的正负符 号必须相同的条件; (4的第二个方程也能反映这种限制条件。只需将(4的第二个方程 限制只取一、 三象限的部分。 所以方程组 (4 完全能反映弹性过程所受到的两个自然限制 条件。不过,此时它的第二个方程的右边应加上一个附加条件:. >0。即(4式应写为:4a .(. . . . . 0.(. 1(1e . 0020E >×+=+=µ图三就是(4a 式表示的理想

9、弹性杆件的拉压的迭代弹性过程示意图。图中曲线 1表示曲 线1e E =;曲线 2表示曲线 µ20 1(+=。7(. E EE /E E E 1(Eln 6.(. . . . . . . . . . . E . 5.(. 1E 1E +E.ln(1. 1(ln . 83211.; 32 1(ln 1. 000000cc c c 0c c c cc c c c 0232=+=+=+=+=+=+=+<<而稳态时应力 或 ,于是 即 。而 时, 注意,当24833 1(ln 1(ln 333=+的误差不大于 代替 用 。(; 时,重要的关系式有:比 当 ; ; 或 它们是:,代弹

10、性过程的物理条件 之间的关系式来描述迭 、 、稳态时的应力与应变 、初始应力外,还可用弹性模量 除了方程组(时 比 因此,当 程中允许的。 不到万分之五。这是工 相对误差也只有 达到 。即使应变 亦即相对误差 241c c0cc c 00c c c c 00c c c 0c c 04231E E 0.25. µPoisson E E E . 1E E 4, 0.25. µPoisson . 104.20.1, . . 24/24µ+=+=+=+=×=4. 新定律的运用实例(直梁简单弯曲的分析 :如下图 4.1所示的矩形梁,梁宽 b 、梁高 h ,受弯矩

11、M 的作用,可以列出下列方程54:取前三项,展开 即得(综合(即 上式成为考虑到 式可得 的垂直平分线。再由(轴必是边 式可确定 式的位置。同样,由(满足 一定位于使 即中性轴 或 或或写为 ,式变为:则(代入(且 及 梁稳态时物理条件:(几何条件:平衡条件:. 2h h 1e Ebh M 2h 1e h. 1413 14.(. EbhM2h . bE M 22-h h . 0, yln(. y . bE M y (ln . y (2y y y 12b oy 9. 13(. oz 13.(. 1e h. , h ln . h . , 0yln(. y .0dy y 1b dy b y Ey81

12、2bdy, dF ,. dF dF 12.(. . . . . E . 1E . 11.(. . . . . . . y-y 10.(. . . . . . . . . M dF . y . . . 9.(. . . . . . . . . 0dF z . . . (8. . . . . . . . . 0. dF 22hh-h -h 2h -2h-h -h -h -0000FFF+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=+=15 .(2Mh Ebh 4M 14M 2Mh Ebh . ,. Ebh M 2h . h2h 2h . 3322=+即 即可求得 则可得到 16.(. . . . . .

13、 . . . . 2MhEbh 4M.y. 3= 即 2M h M 1+ 4M.( + 2 4M.(h - 2 Ebh = 2M Ebh + 2M = 2M Ebh 2 max + = = 3 3 2 2 2 Ebh 2Mh Ebh Ebh 2M Ebh 1 2M Ebh 2Mh Ebh 2 bh 2 则 W 如果引用“抗弯截面模 量” z (按通常公式： Wz = 6 M 3EW z + M M 2M (1 + 由于3EW z >> M, 故 max + = = 3EW z 3EWz M 3EW z 3EW z M max + 2M M (1 + 3EW z 3EW z .由于

14、= 0 1 + = E = 1+ 故有 max + = E max 1 = E max + (1 max + + . = 2 1 + max M 2M 2 M2 M 2M M 2M = (1 + 1 (1 + + . 3EW z 3Wz 9EW z2 18EW z2 3Wz 3EWz 6EW z M 4M 2 M2 M 3M 2 + = + 3Wz 18EW z2 18EW z2 3Wz 18EW z2 舍去第三项以后的项， 可取稳定时 max + = = M M2 M M2 + ；而强度条件 max + + 成为 + + . .(17 .。 3Wz 6EW z2 3Wz 6EW z2 M +

15、 . Wz 4M = Ebh 3 2Mh .(在线性材料力学中为 .受拉部分的强度条件为 绝对值最大的负（压缩 ）应变 max = = h M 4M( 2 Ebh = 2M = M ；而绝对值最大的负（压缩）应力 = max = 3EWz Ebh 3 2Mh Ebh 2 =E = ( max 1 2M M 2M 2M 2 （ = E max 1 max + . E (1 + = ( 2 + 2 4 = 2 Ebh 2 Ebh 2 bh Eb h 1 + max M M2 M 1 M + , 压缩部分强度条件为 （ + .(18 2 3Wz 18EWz Wz 3 18EWz M .， Wz bh

16、 3 , 则（15）可写为 12 (在线性材料力学中, 拉压对称，强度条件为. J 若采用截面对中心轴的“惯性矩”（矩形截面的J = . 1 = M .(19 M J 3EJ Wz 1 (在线性材料力学中为 =. M . EJ 现列表比较新旧弹性定律在应用于简单弯曲的分析计算结果： -6- 表 1 新旧弹性定律应用结果比较表 正应力（拉伸）计算 用新定律计算 梁的弯 曲曲率 负应力（压缩）计算 用原线性定 律计算 用新定律计算 用原线性定 律计算 1 1 1 = 离中性 面最大 距 离 M M 3EJ J Wz 1 2 =. M 1 . = EJ 3 h 2 M M 3EJ J Wz 1 4

17、=. M EJ h 2 .y max1 = . y max 绝对值 最大的 应 变 h M + = 2 Ebh h 6Mh = + 2 EWz M 3EWz + M 3EWz 3EWz M .y max2 = . y max3 = h M 2 Ebh h 6Mh = 2 EWz . y max4 = max1 = max2 = = = max3 = = max4 = max M EWz M 3EWz max3 M EWz max4 绝对值 最大的 应 力 max1 = M M2 + 3Wz 6EWz2 max2 = = = = = = max M Wz M M2 + 3Wz 18EWz2 M

18、Wz 从表中可知按新定律计算的 max 、 max 、 1 都比按 Hooke 定律计算的结果要小， 而且大约只有原结果的 1/3。即按旧定律计算的结果是大大的夸大了，过于保守。即按新 定律计算可以大大发掘材料的潜在强度。 5. 结论与说明 5.1、本文提出的新的非线性弹性定律是全面综合考虑了应力应变相互因果关系的定律。它 不仅能满足弹性杆梁应力应变存在的两个自然限制条件（ . > 1.及. . > 0 ）,前者表 示不可能将杆长压缩至 0；后者表示 与. 的符号总是相同的，. .曲线 只有 1、3 象限 的部分有效。新的弹性定律除了一对因果迭代的方程组外，还有稳态时的应力、应变及

19、初 始应力这三者的关系式： . c = 式： E c 1+ c ； 0 = 1+ 4 µ （1 + c） 2 E c .； 当µ = 0.25时 有下面公 . c = 0 ； c = E 0 E c 1+ c ； c = 0 E 。应用时选择稳态时的 E 0 公式比较简便。 而且要注意 0 dF 0 = .dF. 。 5.2、新的弹性定律和已有的非线性弹性定律不同之处主要是引入了 与. 的因果迭代过 程。从图三可知，这种弹性迭代过程对拉伸和压缩是不同的。拉伸过程不会出现倍周期或 混沌现象，而压缩过程则不然，只要 E 和 µ 的数值适当，压缩的迭代过程则很可能出现倍

20、 -7- 周期或混沌现象，这是需要继续深入研究和实验观测的。 5.3、由于稳态时的应力应变位于 Hencky 对数曲线（指数曲线）上，和按照 Hooke 定律计 算的结果比较，在大变形的弹性过程中，在应变相同的前提下，按新定律计算的拉应力比 按 Hooke 定律计算的拉应力要小； 按新定律计算的压应力比按 Hooke 定律计算的压应力要 大。如果新定律是精确有效的，则按 Hooke 定律进行强度设计时，拉应力总是估计偏大， 但采用新定律不会高估其最大的拉应力（可以发掘材料的潜力）。 5.4、由于新定律的非线性，一方面，拉压不对称，所以强度核算时应该拉压两方面都要进 行，即 + .+ 和 . 都

21、要验算；另一方面，定律的非线性导致迭加原理不再成 立，超静定问题用“变位法”的计算结果必定有相应改变。例如若两杆初始长度相同，几何 关 系 有 1 = 2 2 , 采用弹性定律的公式 c = 即 0 10 20 后，可列出 =2 E 0 E 1 10 E 2 20 P1 P2 E 2 F2 P1 P 由此解出 P2 = .而不是 P2 = 1 。并且 P1、 P2 ， =2 E 1 F1 P1 E 2 F2 P2 2E 1 F1 P1 2 均与两杆的 EF有关。 5.5、本文提出的弹性定律只是按此思路的完整非线性弹性定律的一部分，文章未论及剪切 弹性定律的非线性化，未涉及复杂受力情况下的张量形

22、式的弹性定律。但它是整个非线性 弹性定律的基础。 -8- 参考文献 1徐秉业等：拉伸和压缩时的应力应变曲线；弹塑性力学中常用的简化力学模型，应用弹塑性力学M， 北京，清华大学出版社，1995，7482 2F. R. EIRICH 等主编：Theory and Applications,，RheologyJ， Volume I， New York ，Academic Press, 1956. 26-38 3 blue：常用材料弹性模量及泊松比，筑雅建筑论坛EB/OL 2006-5-24 11:11 AM 4.铁木辛柯（S.P. Timoshenko,）著、汪一麟译： 材料力学M，北京，科学出版社，1979 年 5孙训方、方孝淑、陆耀洪：轴向拉伸与压缩；梁的应力，材料力学 M，北京，人民教育出版社，1978， 1632， 142-148 The research of non-linearity elastic law of member bar and beam system Li Yuxin Changsha Post Office, Changsha, Hunan (410001 Abstract Based on the exponential form of Hencky elasticity law, the iterative