计算机数学基础数值分析部分

1、计算机数学基础数值分析部分期末复习要点与重点第9章 数值分析中的误差 复习要点 1. 知道产生误差的主要来源. 模型误差、测量误差、截断误差和舍入误差.2. 了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限以及有效数字等概念以及它们 之间的关系.绝对误差设精确值x*的近似值x， 差e=xx*称为近似值x的绝对误差(误差). 绝对误差限绝对误差限e是绝对误差e绝对值的一个上界，即½e½=½xx*½£e相对误差er绝对误差e与精确值x*的比值，常用计算.相对误差限相对误差er绝对值的一个上界，常用计算.有效数字如果近似值x的误差限e是它某一个数位的半

2、个单位，我们就说x准确到该位. 从这一位起到前面第一个非0数字为止的所有数字称为x的有效数字.(1)设精确值x*的近似值x=±0.a1a2an´10m，a1,a2,an是09之中的自然数，且a1¹0，½xx*½£e=0.5´10ml，1£l£n， 则x有l位有效数字.(2)设近似值有l位有效数字，则其相对误差限½er½3. 知道四则运算中的误差传播公式.绝对误差限和相对误差限的估计式，重点是重点：有效数字与绝对(相对)误差.第10章线性方程组的数值解法复习要点1. 知道高斯消去法的基本

3、思想，熟练掌握高斯顺序消去法和列主元消去法.高斯顺序消去法设线性方程组AXb, 对增广矩阵Ab 顺序作初等行变换，使矩阵A化为上三角形矩阵，再回代，从而求得线性方程组的解.要求作初等行变换消元过程中.注意：本章讨论线性方程组解的方法，不讨论解的存在性.高斯列主元消去法在高斯顺序消去法中，每次消元之前，先确定主元把第r行作为主方程，做第k次消元.将增广矩阵的系数部分化为上三角形矩阵，再回代求得线性方程组的解.2. 掌握解线性方程组的雅可比迭代法和高斯¾赛德尔迭代法.雅可比迭代法(简单迭代法)解线性方程组AXb的雅可比迭代法格式为 (k=0,1,2,)高斯¾赛德尔迭代法解线性方

4、程组AXb的高斯¾¾赛德尔迭代法格式为：3. 知道解线性方程组的高斯消去法消元能进行到底的条件，知道迭代解数列收敛概念和上述两种迭代法收敛性的充分必要条件.【定理1】 高斯消去法消元过程能进行到底的充分必要条件是系数矩阵A的各阶顺序主子式不为0；AXb能用高斯消去法求解的充分必要条件是A的各阶顺序主子式不为0. 【定理4】(迭代法基本定理)设线性方程组XBXf对于任意初始向量X(0)及任意f，对应此方程组的迭代公式 X(k+1)B(k)X+f收敛的充分必要条件是,其中lI(i=1,2,n)为迭代矩阵B的特征根.当li为复. 数时，½li½表示li的模.

5、设线性方程组AXb, 令D，雅可比迭代格式为：X(k+1)B0X(k)f其中雅可比迭代矩阵：B0D1()， f=D1b 高斯赛德尔迭代格式为：X(k+1)GX(k)g其中高斯赛德尔迭代矩阵：G(D)1，g=(D)1b【定理5】(迭代法收敛的充分条件)设线性方程组XBXf，若矩阵B的元素bij(i=1,2,n,j=1,2,n)满足：(1) 或 (2) 则对于任意初始向量X(0)及任意f，解此方程组的迭代公式X(k+1)BX(k)+f (k=0,1,2,）收敛.【定理6】(迭代法收敛的充分条件)设线性方程组AXb，(1) 若A是严格对角占优矩阵，则雅可比迭代法和高斯¾¾赛德尔迭

6、代法收敛；(2) 若A为对称正定矩阵，则高斯¾¾赛德尔迭代法收敛.严格对角占优矩阵设矩阵A，若(i=1,2,n)或(j=1,2,n)则称矩阵A是严格对角占优矩阵.重点：高斯顺序消去法和列主元消去法，雅可比迭代法和高斯赛德尔迭代法以及迭代解收敛的充分必要条件.第11章 函数插值与最小二乘拟合复习要点1. 了解插值函数，插值节点等概念.已知函数f(x)的函数值yk=f(xk),k=0,1,2,n.构造一个多项式P(x)，使得P(xk)=yk.P(x)是插值多项式，f(x)是被插函数，xk是插值节点.误差R(x)=f(x)P(x).2. 熟练掌握拉格朗日插值多项式的公式，知道拉格

7、朗日插值多项式余项.拉格朗日插值多项式已知函数y=f(x)的n+1个值yk=f(xk)(k=0,1,2,n)，过n+1个点(xk,yk)(k=0,1,2,n)做n次多项式Pn(x)，满足Pn(xk)=yk，Pn(x)叫拉格朗日插值多项式，为 Pn(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+ynln(x)=其中插值基函数 (i=0,1,2,，n)当n=1时,线性插值：P1(x)=yklk(x)+yk+1lk+1(x)，当n=2时，得到二次插值多项式.拉格朗日插值多项式的余项为其中xÎ(a,b)，wn+1(x)=(xx0)(xx1)(xxn) 注意：过n+1个互异节点，所得插值多项式应该是次

8、数不超过n的多项式.3. 了解均差概念和性质，掌握均差表的计算，掌握牛顿插值多项式的公式，知道牛顿插值多项式的余项.均差函数值之差与自变量之差的商就是均差.一阶均差 二阶均差 n阶均差 均差有两条常用性质：(1)均差用函数值yk的线性组合表示；(2)均差与插值节点顺序无关(对称性).n阶均差与导数的关系为：牛顿插值多项式以均差为系数构造多项式，就是牛顿插值多项式，为Nn(x)= f(x0)f(x0,x1)(xx0)f(x0,x1,x2)(xx0)(xx1) f(x0,x1,x2,xn)(xx0)(xx1)(xx2)(xxn1) 牛顿插值多项式的余项为 Rn(x)=f(x)Nn(x) =f(x,

9、x0,x1,x2,xn)(xx0)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn) =f(x,x0,x1,xn)wn+1(x)4. 掌握分段线性插值的方法和线性插值基函数的构造.分段线性插值函数P(x)=，满足：(1)P(x)在a ,b上连续; (2) P(xk)=yk(k=0,1,2,n); (3)P(x)在xk ,xk+1上是线性函数.其中lk(x)(k=0,1,2,n)是分段线性插值基函数. 5. 知道三次样条插值函数的概念，会求简单的三次样条插值函数.三次样条插值函数S(x)，满足：(1)S(x)在a,b上具有2阶连续导数； (2)S(xj)=yj(j=0,1,2,n)，yj是已知数；(3)

10、在每个子区间xk,xk+1(k=0,1,2,n-1)上，S(x)是3次多项式.S(x)称为f(x)的三次样条函数. 6.了解曲线拟合最小二乘法的意义和推导过程，掌握法方程组的求法，以及线性拟合和二次多项式拟合的方法，. 最小二乘法用j(x)拟合n对数据(xk,yk) (k=1,2,n)，使得误差平方和 最小，求j(x)的方法，称为最小二乘法.(1) 直线拟合 若y=j(x)=a9+a1x，a0,a1满足法方程组 即a0, a1是法方程组的解.(2) 二次多项式拟合 若y=j(x)=a9+a1x+a2x2，a0,a1,a2满足法方程组是 最小，求j(x)的方法，称为最小二乘法.重点：拉格朗日插值

11、多项式及基函数的构造方法，均差与牛顿插值多项式，最小二乘法和一次、二次拟合的求法.第12章 数值积分与微分复习要点1. 了解数值积分和代数精度等基本概念.m次代数精度求积公式对任意不超过m次的代数多项式都准确成立, 而至少有一个m+1次代数多项式不成立, 称该求积公式具有m次代数精度. 2. 了解牛顿¾科茨求积公式和科茨系数的性质.熟练掌握并推导(复化)梯形求积公式和(复化)抛物线求积公式.牛顿科茨求积公式： . 其中Ak=(k=0,1,2,n)，称为牛顿科茨求积系数.称为科茨系数.有性质：归一性，=1；对称性 (k=0,1,n)3. 常见牛顿科茨求积公式梯形公式：复化梯形公式：抛物

12、线公式： 复化抛物线公式：其中(k=0,1,2,2m) 科茨公式：4. 知道高斯求积公式和高斯点概念.会用高斯¾勒让德求积公式求定积分的近似值. 高斯¾勒让德求积公式, 节点为 的零点(高斯点)5. 知道插值型求导公式概念，掌握两点求导公式和三点求导公式.(1) 等距节点两点求导公式： (2) 等距节点三点求导公式： 重点：复化梯形求积公式和抛物线求积公式，高斯莱让德求积公式. 第13章 方程求根 复习要点 1. 知道有根区间概念和方程f(x)=0在区间a,b有根的充分条件. 设方程f(x)=0在区间a,b内有惟一根，区间a,b称为f(x)=0的有根区间.设f(x)在a,b

13、上连续，若f(a)f(b)<0，则f(x)=0在区间a,b内至少有一个根. 2. 掌握方程求根的二分法与二分次数公式；掌握简单迭代法，知道其收敛性.二分法设方程f(x)=0在区间a,b内有根，用二分有根区间的方法得到f(x)=0的根x*»xn= (a0=a,b0=b),n=0,1,2, 有误差估计式: ½x*xn½£，n=0,1,2,， 二分次数:n+1 简单迭代法: 若方程f(x)=0表成x=j(x)(j(x)连续)，于是有迭代格式： xn=j(xn1) （n=1,2,） 取 x*»xn若存在0<l<1,½j

14、62;(x)½£l (),取区间a,b内任一点x0为初始值进行迭代，迭代解数列收敛.3. 熟练掌握牛顿(切线)法，掌握初始值的选择条件.牛顿法迭代公式为 （n=1，2，） 选初始值x0满足f(x0)f ²(x0)>0，迭代解数列一定收敛.4. 掌握弦截法.弦截法迭代公式为 (n=1,2,)重点：四个求方程近似根的方法. 第14章 常微分方程的数值解法复习要点1.掌握欧拉法和梯形公式以及改进的欧拉法(预报校正公式和平均形式公式)，知道其局部截断误差.欧拉公式：欧拉法的局部截断误差是O(h2)，(一阶精度)梯形公式：梯形公式的局部截断误差是O(h3)，(二阶精度

15、) 改进欧拉法. 预报校正公式：即 或表成平均的形式： 改进欧拉法的局部截断误差是O(h3)，(二阶精度) 2. 知道龙格¾库塔法的基本思想.掌握四阶龙格库塔法，知道各阶龙格¾库塔法的局部截断误差.二阶龙格库塔法的局部截断误差是O(h3)，(二阶精度)三阶龙格库塔法的局部截断误差是O(h4)，(三阶精度)四阶龙格¾库塔法公式： 其中 k1=f(xk,yk)；k2=f(xk+，yk+k1)；k3=f(xk+，yk+k2)；k4=f(xk+h，yk+hk3)四阶龙格库塔法的局部截断误差是O(h5).，(四阶精度)重点：欧拉法和改进欧拉法，四阶龙格库塔法计算机数学基础(

16、2)综合练习第9章数值分析中的误差一、单项选择题1.数值x*2.197224577的六位有效数字的近似值x=( ). (A) 2.19723 (B) 2.19722 (C) 2.19720 (D) 2.1972252.准确值x*与其有t位有效数字的近似值x0.0a1a2an×10s(a1¹0)的绝对误差½x*x½£( )(A) 0.5×10 s1t (B) 0.5×10 st (C) 0.5×10s1t (D) 0.5×10 st3.下列各数中，绝对误差限为0.000 05的有效近似数是( )(A)2.1

17、80. (B) 2.1200 (C) 123.000 (D) 2.1204. 数值x*的近似值x=0.1215×102，若满足( )，则称x有4位有效数字. (A) ×103 (B) ×104 (C) ×105 (D) ×1065. 以下近似值中，保留四位有效数字，相对误差限为的是( ) (A) 2.20 (B) 0.2200 (C) 0.01234 (D) 12.34 二、填空题1. 设近似值x=9.73421的相对误差限是0.0005，则x至少有 位有效数字2. 测量长度为x=10cm的正立方体，若e(x)0.05cm，则该正立方体的体积V

18、的绝对误差限e(V)= cm33. 用四舍五入的方法得到近似值x=0.0514，那么x的绝对误差限和相对误差限分别为 4. 已知x*1=x1±0.5×103，x*2=x2±0.5×102，那么近似值x1，x2之差的误差限是 5. 近似值x=9000.00的相对误差是 6. x=1.7321是的有五位有效数字的近似值，那么x的相对误差限er 7. 如果近似值x的绝对误差限它的某一位的 单位，则称x准确到该位参考答案一、1.B 2. A 3. B 4. D 5. B 二、1. 3 2. 15 3. 0.000 05，0.001 4. 0.55×10

19、2 5.0.000 000 56 6. £0.5×104 7.半个 第10章 线性方程组的数值解法一、单项选择题1.用高斯赛德尔迭代法解线性方程组AXb，假设已知，D则高斯赛德尔迭代矩阵G( )(A) (B) (C) (D) 2. 设n阶矩阵A(aij)n，若满足( )，称A为严格对角占优矩阵. 3. 设矩阵A，那么以A为系数矩阵的线性方程组AXb的雅可比迭代矩阵为( )(A) (B) (C) (D) 4. 用雅可比迭代法解线性方程组，构造迭代公式，则雅可比矩阵B0=( )(A) (B) (C) (D)5. 斯顺序消去法解线性方程组，能进行到底的充分必要条件是( )(A)

20、系数矩阵各阶顺序主子式不为零 (B) 系数矩阵主对角线元素不为零 (C)系数矩阵各阶主子式不为零 (D)系数矩阵各列元素不为零二、填空题 1.用列主元消去法解线性方程组第1次选主元a21=5进行消元后，第2次选主元 .2. 用列主元消去法解线性方程组AXb时，在第k1步消元时，在增广矩阵的第k列取主元，使得 .3.用高斯赛德尔迭代法解线性方程组的迭代格式中 (k=0,1,2,)4.用列主元消去法解线性方程组第1次消元，选择主元为 5. 用列主元消去法解线性方程组作第1次消元后的第3个方程为 三、计算题1. 用高斯顺序消去法解线性方程组2. 用列主元消去法解线性方程组3. 用雅可比迭代法解线性方

21、程组 从初始值(0,0,0)T开始，计算出第3次迭代结果，4. 取初始值(0.300 0, 1.560 0, 2.684 0)T，用高斯赛德尔迭代法计算线性方程组 求出迭代2次的结果，要求写出迭代格式四、证明题1. 证明线性方程组雅可比迭代法收敛,高斯赛德尔迭代法发散.2. 用多种方法证明线性方程组的迭代解收敛性.参考答案一、1. A 2. C 3. A 4. D 5. A二、1. 2.8 2. 3. 4.4 5. 三、1. X»(2.574 1,0.888 9,0.796 3)T ；2. X»(1.000 0,2.000 0,3.000 0)T .3. X(1)(0.30

22、00, 1.5000, 2.0000) T X(2)(0.8000, 1.7600, 2.6600) TX(3)=(0.918 0，1.926 0，2.864 0) T 4. X(1)=(0.8804, 1.9445, 2.9539)T所求结果为X(2)=(0.984 3, 1.992 3, 2.993 8)T 四、1.系数矩阵为A. 雅可比迭代矩阵为B0高斯赛德尔迭代矩阵为G 2.提示：系数矩阵为：A 方法1：雅可比迭代法.计算雅可比迭代矩阵其特征根是：方法2：高斯赛德尔迭代法.计算高斯赛德尔迭代矩阵G，其特征根是：方法3.用定理5.计算迭代格式：X(k+1)BX(k)+f的迭代矩阵.用定理

23、6(1).验证系数矩阵A是严格对角占优矩阵.第11章 函数插值与最小二乘拟合一、单项选择题1.过(x0,y0),(x1,y1)两点的线性插值基函数l0(x0),l1(x1)满足( )(A) l0(x0)1, l1(x0)=1 (B) l0(x1)=0,l1(x1)=0 (C) l0(x0)=1, l1(x1)=1 (D) l0(x0)=0, l1(x1)=02. 已知n1个互异节点(x0,y0), (x1,y1), (xn,yn)和过这些点的拉格朗日插值基函数lk(x)(k=0,1,2,n)，且w(x)=(xx0) (xx1) (xxn)则f(x0,x1, xn)=( )(A) (B) (C)

24、 (D) 3. 以下命题正确的是( )(A) 过n+1个互异节点的牛顿插值多项式最高次幂的系数为f(x0,x1,xn)(此项不为0时)(B) 过节点(x0,y0)，(x1,y1)，(xn,yn)(n>3)，则均差f(x3,x0,x4)¹f(x4,x0,x3)(C) 过n+1个互异节点的拉格朗日插值多项式一定是n次多项式(D) 三次样条函数S(x)在每个子区间上是不超过3次的多项式4. 下列条件中，不是分段线性插值函数P(x)必须满足的条件为( ) (A) P(xk)=yk,(k=0,1,n) (B) P(x)在a,b上连续 (C) P(x)在各子区间上是线性函数 (D) P(x

25、)在各节点处可导5. 设，x0,x1,x2是异于a的三个互异节点，则f(x0,x1,x2)=( )(A) (B) (C) (D) 6. 已知函数值f(0)=1，f(1)=0.5，f(2)=0.2，则f(x)的分段线性插值函数P(x)=( ) (A) (B) (C) (D) 二、填空题1. 分段线性插值就是将函数f(x)的定义域a,b用分点a=x0<x1<<xn=b分割，求一个函数P(x)在a,b上连续且在每个子区间xk,xk+1上线性，还要满足 2.已知四对互异节点(x0,y0), (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3)以及各阶均差f(x0)=12,f(x0,x1

26、)=2, f(x0,x1,x2)=3, f(x0,x1,x2,x3)=0则过这些点的牛顿插值多项式N(x)= 3. 三次样条函数S(x)满足：S(x)在区间a,b内二阶连续可导，S(xk)=yk(已知)，k=0,1,2,n，且满足S(x)在每个子区间xk,xk+1上是 4. 已知函数f(0.4)=0.411, f(0.5)=0.578 , f(0.6)=0.697，用此函数表作牛顿插值多项式，那么插值多项式x2的系数是 .5. 已知f(1)=1,f(2)=3,那么y=f(x)以x=1，2为节点的拉格朗日线性插值多项式为 .6.已知数据对(1,2),(2,3),(3,5),用直线y=a0+a1x

27、拟合这组数据，那么参数a0,a1满足的法方程是 三、计算题1. 已知数据表xk111213f(xk)2.397 92.484 92.564 9试用二次插值计算f(11.75)并回答用线性插值计算f(11.75)，应取哪两个点更好？2. 已知函数值f(0)=6，f(1)=10，f(3)=46，f(4)=82，f(6)=212，求函数的四阶均差f(0,1,3,4,6)和二阶均差f(4，1，3)3. 已知函数y=f(x)的函数值f(2.0)=1.414214 f(2.1)=1.449138, f(2.2)=1.483240, f(2.3)=1.516575 , 试用这4个节点构造f(x)的牛顿插值多

28、项式Nn(x)并求f(2.15)的值4.已知一组试验数据 22.5 3 455.5 44.5 6 88.59试用直线拟合这组数据.5.设函数值表为 1346 -75814试求拉格朗日插值多项式四、证明题1. 已知函数表 0123457452665128求证由此构造的牛顿插值多项式的最高次幂的系数为1. 2. 证明 已知一组数据(xk，yk)(k=1,2,n)，若用直线拟合这组数据，要求误差平方和最小，试推导a1,a0满足的法方程组参考答案一、1. C 2. D 3. A 4.D 5. B 6. D二、1. P(xk)=f(xk) (k=0,1,n) 2. 122(xx0)3(xx0)(xx1)

29、 3. 3次多项式 4.2.4 5. 2x1. 6. .三、1.已知三点作二次插值P2(x)= f(11.75)»P2(11.75)= =2.463 8 若用线性插值，应取x=11,x=12作线性插值合适 2. 计算均差列给出f(xk)一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差0611043461814/34823661/362126529/311/151/15f(0,1,3,4,6)=， f(4, 1, 3)=6 3. 计算各阶均差，如表一阶均差二阶均差三阶均差02.01.414 21412.11.449 1380.349 2422.21.483 2400.341 020.041 10032

30、.31.516 5750.333 350.038 3500.009 167N3(x)=1.414 2140.349 24(x2)0.0411(x2) (x2.1) 0.009 167(x2) (x2.1) (x2.2) f(2.15)=1.466 288 4. 设直线ya0+a1x，那么a0,a1满足的法方程组公式为 代入数据，经计算得到法方程组为 解得a0=1.229 a1=1.483 所求直线方程为 y=1.229+1.483x 5. 插值基函数分别为 多项式为P3(x)= + + = 四、1.作均差表一阶均差二阶均差三阶均差0-71-432593326216146539915128631

31、21因为三阶均差均为常数1，可见该函数的牛顿插值多项式最高次幂为3次，且其系数为1 2 对同一个xk(k=1,2,n)，误差为,k=1,2,n总误差平方和 Q(a1,a0)= a1,a0使Q(a1,a0)最小，由二元函数极值原理，有 即 整理得.第12章 数值积分与微分一、单项选择题1. 梯形求积公式具有( )次的代数精度 (A) 0(B) 1(C) 2(D) 32. 等距二点的求导公式是( )(A) (B) (C) (D) 3.将积分求积0，0.5四等分，有科茨求积公式，它的科茨系数为那么用科茨求积公式计算定积分dx中的系数A3( ) (A) (B) (C) (D) 4. 有3个不同节点的高

32、斯求积公式的代数精度是( )次的. (A) 5(B) 6(C) 7(D) 35. 步长为h的等距节点的插值型求积公式，当n=2时的牛顿科茨求积公式为( )(A) (B) (C) (D) 6. 已知等距节点的插值型求积公式，那么( )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 二、填空题1. 已知函数值f(0.7)=0.343, f(1.1)=1.331, f(1.5)=3.375，用抛物线求积公式计算定积分，那么» .2. 牛顿科茨求积公式，则 .3. 高斯勒让德求积公式»f(x0)+f(x1)，那么节点x0, x1分别为 4. 牛顿科茨求积公式中的科茨系数满足的两条性

33、质是 .5. 用梯形求积公式计算积分 6. 已知可微函数的值f(xk+1),f(xk)(h=xk+1xk),那么数值微分的二点求导公式，f ¢(xk)» (k=0,1,2,n1)三、计算题1. 试确定求积公式中的参数a，并证明该求积公式具有三次代数精度.2. 将区间1,98等分，试用复化梯形公式求积分的近似值，计算过程中保留3位小数. 3. 取m=4,即n=8，用复化抛物线求积公式计算积分 4. 已知两个节点的高斯勒让德求积公式的两个节点是勒让德多项式P(x)的零点，求积公式的系数是A0=A1=1用两点高斯勒让德求积公式计算积分5. 如果f(2.7)14.8797，f(2.

34、9)=18.1741，求函数f(x)在x=2.9的导数值试用三点导数公式且已知f(2.8)=16.4446,再次计算f ¢(2.9)四、证明题1. 试证明求积公式具有3次代数精度.2. 已知区间a,b上的抛物线求积公式，试证明将区间a,bn=2m(整数)等分，则复化抛物线求积公式为 其中fk=f(xk), k=0,1,2,2m, 3. 证明将求积区间1,3二等分，所得到的牛顿科茨求积公式中的系数A0=A2,A1=4. 已知勒让德多项式，求证3个节点的高斯勒让德求积公式是 )参考答案一、1. B 2. C 3. B 4. A 5. B 6. C二、1. 1.276 . 2. ba 3.

35、 »±0.57735 4. (或归一性和对称性) 5. 6. 三、1.用f(x)=1,x,x2代入公式，得到，再验证f(x)=x3成立，而f(x)=x4时不成立.2.计算列表 k 0 1 1.000 1 2 2.646 2 3 3.606 3 4 4.359 4 5 5.000 5 6 5.568 6 7 6.083 7 8 6.557 8 9 7.000h=1, 用梯形公式 (10分) =37.819 3. n=8, h=,f(x)=ln(1+x2) 计算列表 = 奇数号偶数号端点 0 0.000 1 0.15 0.022 3 2 0.30 0.086 2 3 0.45

36、0.184 4 4 0.60 0.307 5 5 0.75 0.446 3 6 0.90 0.593 3 7 1.05 0.743 1 8 1.200.892 0S 1.396 1 0.987 00.892 0 代入抛物线求积公式 4. 两个节点，即P(x)中的n=2，P(x)解得两个节点于是两个节点的高斯勒让德求积公式为 有5. 二点导数公式为 代入数据，有根据三点导数公式，有四、1. 提示：用f(x)=1,x,x2,x3,直至求积公式不能精确成立为止.2.参考教材复化抛物线公式的推导3.过节点x0=1,x1=2,x2=3作插值多项式P2(x)= = = 所以有A0=A2, A1=4. 参考

37、教材有关内容. 在，n=3，得到即，解得为三个节点有公式)用f(x)=1,x,x2代入上式，得到解得，于是得到求积公式)第13章 方程求根一、单项选择题1. 用牛顿法求方程f(x)=0的近似根，选择初始值x0应满足( )(A) (B) (C) (D) 2. 用简单迭代法解方程x=j(x)（j(x)称为迭代函数），迭代函数j(x)在有根区间满足( )，则在有根区间内任取初始值x0, 用公式xn+1=j(xn)(n=0,1,2,)所得的解序列收敛(A) ½j¢(x)½ £r<1 (B) ½j¢(x)½ <r<1

38、 (C) ½j¢(x)½ £1 (D) ½j¢(x)½ <13. 用二分法求方程f(x)=0在区间a,b上的根，那么二分有根区间的次数n ( )(A) 只与函数f(x)有关 (B) 只与有根区间的长度以及误差限有关(C) 与有根区间的长度、误差限以及函数f(x)有关 (D) 只与误差限有关4. 弦截法解方程f(x)=0，是用过曲线f(x)上的点()和()的直线与( )的交点的横坐标作为方程f(x)=0的近似根(A) x轴(B) y轴(C)直线yx(D)y=j(x)二、填空题1. 用二分法求方程x32x5=0在区间2，3

39、内的实根，取区间中点x0=2.5，那么下一个有根区间是 2. .用牛顿法求方程f(x)=0在a,b内的根，已知f¢(x)在a,b内不为0，f²(x)在a,b内不变号，那么选择初始值x0Îa,b且满足 ，则它的迭代解数列一定收敛到方程f(x)=0的根。3. 求方程f(x)0的近似根，只有能将f(x)=0表成 (称为迭代函数)的形式时，才可以用迭代法求解4. 用弦截法求方程f(x)=0的根的迭代计算公式为xn+1= 三、计算题1. 给定绝对误差限e=0.05，如果用二分法求方程3x+0在区间0,1内的近似根，需二分多少次，并求出满足条件的近似根2. 用简单迭代法求方程

40、 x22x30的近似根，取x0=4，要求近似根满足. 3. 用牛顿法求方程在0.5，0.6之间的一个近似根，取初始值0.5或0.6满足4. 用弦截法求方程x0.5=0在1.4，1.6之间的一个近似根，满足四、证明题1. 证明方程1xsinx0在区间0,1内有一个根，使用二分法求误差不超过0.5×104的根则至少要迭代14次 2. 设方程f(x)=在区间1,1.5内有惟一实根，证明迭代公式(k=0,1,2,)所得迭代解序列收敛到该方程的根参考答案一、1. D 2. A 3. B 4. A二、1.2，2.5 2. . (或f(x0)与f²(x0)同号)3. x=j(x) 4.

41、三、1.a=0,b=1,e=0.05，则二分次数为取n=4a0=0,b0=1f(0)=1<0，f(1)=1.12>0,>0令a1=0，b1=0.5， (8分),<0 令a2=0.25，b2=0.5， (11分),>0令a3=0.25，b3=0.375，,<0 令a4=0.3125，b4=0.375，=0.3438，所求根为x*»0.3438 2. 建立迭代格式： 因为k=0, x0=4 k=1, k=2,3.034=0.07 k=3, k=4 于是取 x*»x5=3.004 注意：若建立迭代格式：, 在x=4附近不收敛. 3. f(x)=

42、 , 因为f¢(x)= +，f²(x)= (2+)，f(0.5)f²(0.5)=(0.51) (2+0.5)<0，f(0.6)f²(0.6)=(0.61) (2+0.6)>0取x0=0.6牛顿法迭代公式 xk+1=xk(k=0,1,2,) x1=0.60.568 01x2=0.568 010.567 14x3=0.567 140.567 14 x*»0.567 14 4. 设f(x)=x0.5，取，f(1.4)=0.085 5<0, f(1.6)=0.100 4>0，故f(x)=0在1.4, 1.6内有根. 弦截法的公式

43、为：(n=1,2,) 于是，代入函数f(x)，本题有迭代公式 08 1，不满足精度要求. 当n=2时， ，满足精度要求. 所求方程的解为x*»1.4970 四、1. 用二分次数公式2. 由迭代公式知迭代函数 当， 满足定理的条件，可知在区间1,1.5内取任意值为初始值，迭代公式(k=0,1,2,) 所得迭代解序列都收敛到原方程的根 第14章 常微分方程的数值解法一、单项选择题1. 取h=0.2，用欧拉法求初值问题在x=0.2，0.4，0.6处的数值解的公式yk+1=( )，k=0,1,2(A) y0+0.2xkyk (B) (1+0.2xk)yk (C) yk+xkyk (D) (0

44、.2+xk)yk2. 解常微分方程初值问题的平均形式的改进欧拉法公式是那么yp,yc分别为( )(A) (B) (C) (D) 3. 解常微分方程初值问题的三阶龙格库塔法的局部截断误差是( ) (A) O(h2) (B) O(h3) (C) O(h4) (D) O(h5)4. 解微分方程初值问题的改进欧拉法预报校正值公式是 5.求初值问题的近似解，当取等距节点时的梯形公式为yk+1=( )(A) (B) (C) (D) 二、填空题：1. 解常微分方程初值问题的改进欧拉法预报校正公式是预报值：，校正值：yk+1= 2. 设初值问题 把区间0,110等分，用欧拉法解该初值问题的公式为 . 3. 解

45、常微分方程初值问题的三阶龙格库塔法的局部截断误差是 4.求初值问题在等距节点a=x0<x1<x2<<xn=b处的数值解的改进欧拉法平均形式公式是yk+1= ，其中三、计算题1. 用欧拉法求初值问题的数值解，取h=0.1并将计算结果与精确解进行比较2. 用改进的欧拉法平均公式，取步长h=0.1，求解初值问题 3. 取h=0.1, 用改进欧拉法预报校正公式求初值问题在x=0.1, 0.2处的近似值4. 用四阶龙格库塔法求解初值问题取h=0.2, 求x=0.2, 0.4时的数值解. 要求写出由h,xk,yk直接计算yk+1的迭代公式. 四、证明题1. 证明求解初值问题的梯形公

46、式是 yk+1=yk+, h=xk+1xk (k=0,1,2,n1)， 参考答案一、1. B 2. D 3. C 4. C 5. A二、1.yk+f(xk,yk)+f(xk1, ) 2. y(xk+1)»yk+0.1(yk+1)(k=0,1,2,n1),y(0)=y03.O(h4) 4. 或 三、1. f(x,y)=xy+1，h0.1，有计算公式yk+1=yk+0.1×(xkyk+1)=0.1+0.1xk0.9yk (k=0,1,2,3) 当k=0时，y1= 0.1+0.1×0+0.9×11，y(0.1)=0.1+e0.1=1.005½y1y(0.1)½=0.005当k=1时，y2= 0.1+0.1×0.1+0.9×11.01，y(0.2)=0.2+e0.2=1.018½y2y(0.2)½=0.008当k=2时，y3= 0.1+0.1×0.2+0.9×1.011.029，y(0.3)=0.3+e0.3=1.041½y3y(0.3)½=0.012 当k=3时，y4= 0.1+0.1×0.3+0.9×1.0291.056，y(0